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Déterminez la valeur maximale de la fonction objectif d’expression 𝑝 égal deux 𝑥 plus six 𝑦 étant donné les contraintes 𝑥 supérieur ou égal à zéro, 𝑦 supérieur ou égal à zéro, 𝑥 plus 𝑦 inférieur ou égal à six, trois 𝑥 plus 𝑦 inférieur ou égal à neuf et 𝑥 plus deux 𝑦 inférieur ou égal à huit.
L’une de ces zones coloriées est en fait le point où toutes ces contraintes se superposent. Commençons et déterminons nous-mêmes laquelle des zones coloriées représente ces contraintes. La première contrainte est 𝑥 supérieur ou égal à zéro, ce que nous pouvons voir ici. C’est une droite continue et tout est supérieur à zéro, donc au-dessus de cette droite. 𝑦 est supérieur ou égal à zéro ; nous pouvons considérer ici toutes les valeurs à droite de cette droite parce que ce sont des valeurs positives et que c’est une droite continue.
Maintenant, pour notre troisième contrainte, nous pouvons réécrire cela sous la forme 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑏, mais en utilisant une inégalité. En soustrayant 𝑥 à chaque membre, nous obtenons 𝑦 inférieur ou égal à moins 𝑥 plus six, ce qui signifie que la droite coupe l’axe des ordonnées 𝑦 en six et a un coefficient directeur égal à moins un, ce qui correspond à cette droite. Et tout ce qui est inférieur à cela sera en dessous de cette droite.
Pour notre quatrième contrainte, nous pouvons soustraire trois 𝑥 à chaque membre afin d’obtenir 𝑦 inférieur ou égal à moins trois 𝑥 plus neuf. La droite coupe donc l’axe des ordonnées 𝑦 en neuf et a un coefficient directeur égal à moins trois. Nous pouvons voir que cette inéquation est représentée ici sur le graphique. Et enfin, la dernière inéquation peut être représentée par 𝑦 inférieur ou égal à moins 𝑥 sur deux plus quatre car nous allons soustraire 𝑥 à chaque membre puis diviser le tout par deux. Ainsi, cette droite coupe l’axe des ordonnées 𝑦 en quatre et a un coefficient directeur égal à moins un demi.
Et ici, nous pouvons voir cette droite sur le graphique. Donc, toutes ces contraintes se superposent en cette zone. Ainsi, pour déterminer la valeur maximale de notre fonction, nous devons vérifier tous les sommets : c’est à dire zéro, quatre, deux, trois, trois, zéro, puis le dernier sommet zéro, zéro. Celui-ci ne va certainement pas nous donner une valeur maximale car en prenant zéro pour 𝑥 et zéro pour 𝑦, nous obtenons seulement zéro. Nous pouvons donc l’ignorer.
Alors prenons chacun de ces points et évaluons la fonction objectif pour ces valeur afin de voir quel sommet nous donne la plus grande valeur. Donc, en prenant zéro pour 𝑥 et quatre pour 𝑦, nous avons deux fois zéro plus six fois quatre, soit zéro plus 24, ce qui donne 24. Maintenant, nous prenons deux, trois. Donc, deux fois deux plus six fois trois, soit quatre plus 18, nous donne 22. Et enfin, nous prenons trois, zéro. Donc, deux fois trois plus six fois zéro, soit six plus zéro qui donne six. Ainsi, 24 est la valeur maximale.
