Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à définir des suites arithmétiques à partir d’informations sur leurs termes et leurs relations. On rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. On appelle cette différence constante la raison. Si la suite a un nombre fini de termes, alors on dit que c’est une suite arithmétique finie. Si ce n‘est pas le cas, on parle simplement de suite arithmétique. Prenons un exemple.
Si le premier terme d’une suite arithmétique est 100 et que sa raison est moins cinq, alors nous pouvons trouver le terme suivant de la suite. Soit a un le premier terme de la suite et a deux le deuxième terme. Comme la différence entre le deuxième et le premier terme est égale à moins cinq, 𝑎 deux moins 100 égale moins cinq. En ajoutant 100 aux deux membres de cette équation, on trouve 𝑎 deux égale moins cinq plus 100. 𝑎 deux, le deuxième terme de cette suite arithmétique, est donc égal à 95.
Nous pouvons continuer ce modèle pour trouver un nombre infini de termes de la suite. Cela revient à dire que nous pouvons trouver le terme suivant de la suite en ajoutant la raison au terme précédent. 𝑎 deux est donc égal à 𝑎 un plus . 𝑎 trois, le troisième terme, est égal à 𝑎 deux, le deuxième terme, plus la raison r. Et 𝑎 quatre est égal à 𝑎 trois plus r. Ce modèle continue.
Si nous désignons le terme de rang de toute suite arithmétique par 𝑎 𝑛, alors nous pouvons déterminer une formule du terme général de cette suite arithmétique. En revenant aux expressions de 𝑎 deux et 𝑎 trois, puisque 𝑎 deux est égal à 𝑎 un plus r, alors 𝑎 trois est égal à 𝑎 un plus r plus r. En simplifiant, on voit que 𝑎 trois est égal à 𝑎 un plus deux r. Et en continuant ce raisonnement, 𝑎 quatre est égal à 𝑎 un plus trois r. La formule du terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique de raison r et de premier terme 𝑎 un est donc 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r.
Nous allons maintenant utiliser cette formule pour déterminer des informations sur des suites arithmétiques en utilisant les termes de la suite. Commençons par étudier quelques exemples de définition d’une suite arithmétique à partir d’informations sur ses termes.
Définissez la suite finie 𝑎 , sachant que 𝑎 un égale moins 82, 𝑎 12 égale moins 203, et le douzième terme à partir du dernier est égal à moins 115.
Commençons par rappeler que comme notre suite est finie, elle a un nombre fixe de termes. Nous rappelons également qu’une suite arithmétique est une suite de nombres dont la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante s’appelle la raison. Pour toute suite arithmétique, la formule du terme de rang 𝑛 indique que 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r, où 𝑎 𝑛 est le terme de rang 𝑛, 𝑎 un est le premier terme et r est la raison.
La question indique que 𝑎 un, le premier terme, est égal à moins 82. Le douzième terme, 𝑎 12, est égal à moins 203. En utilisant la formule générale, on voit que 𝑎 12 est égal à 𝑎 un plus 12 moins un fois r. Substituer les valeurs de 𝑎 12 et 𝑎 un nous donne l’équation moins 203 égale moins 82 plus 11r. En ajoutant 82 aux deux membres de cette équation, on trouve 11r égale moins 121. Et en divisant les deux membres de cette équation par 11, on obtient r, qui est égal à moins 11. La raison de cette suite finie est moins 11.
Comme nous connaissons maintenant le premier terme et la raison, tout ce qu’il nous reste à déterminer est le dernier terme de la suite finie. Pour cela, nous allons utiliser le fait que le douzième terme à partir du dernier est égal à moins 115. Si on définit 𝑎 𝑙 comme étant le dernier terme, alors la suite peut s’écrire comme cela. Cela signifie que 𝑎 𝑙 moins un sera l’avant-dernier terme. 𝑎 𝑙 moins deux sera le troisième terme à partir du dernier. Nous pouvons continuer ce modèle pour montrer que 𝑎 𝑙 moins 11 sera le douzième terme à partir du dernier de la suite.
En utilisant à nouveau la formule générale, il est égal à 𝑎 un plus 𝑙 moins 11 moins un fois r. Substituer les valeurs de 𝑎 𝑙 moins 11, 𝑎 un et r nous donne l’équation moins 115 égale moins 82 plus 𝑙 moins 12 fois moins 11. On peut ajouter 82 aux deux membres de cette équation pour obtenir moins 33 égale 𝑙 moins 12 fois moins 11. En divisant les deux membres de cette équation par moins 11, on a trois égale 𝑙 moins 12. On peut alors ajouter 12 aux deux membres de cette équation et on obtient 𝑙 égale 15.
Nous pouvons donc conclure que la suite a 15 termes. Ce quinzième, ou dernier, terme, 𝑎 15, est égal à moins 82 plus 15 moins un fois moins 11. 15 moins un égale 14. Et en multipliant cela par moins 11, on obtient moins 154. Moins 82 moins 154 égale moins 236. Faisons un peu de place et résumons ce que nous avons trouvé. Notre suite a une raison de moins 11, un premier terme de moins 82 et un dernier terme de moins 236. La suite arithmétique finie 𝑎 𝑛 contient les termes moins 82, moins 93, moins 104, et ainsi de suite, avec un dernier terme égal à moins 236.
Dans le prochain exemple, nous devons résoudre un problème en utilisant un système d’équations.
Définissez la suite arithmétique pour laquelle la somme du premier et du troisième terme est égale à moins 142 et la somme du troisième et du quatrième terme est égale à moins 151.
La question donne deux informations sur la suite. Tout d’abord, la somme des premier et troisième termes est égale à moins 142. Ensuite, la somme des troisième et quatrième termes est égale à moins 151. Comme il s’agit d’une suite arithmétique, commençons par rappeler que le terme de rang 𝑛, 𝑎 , est égal à 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r, où 𝑎 un est le premier terme de la suite et r est sa raison.
Dans cette question, nous devons considérer les premier, troisième et quatrième termes de la suite. Le premier terme est égal à 𝑎 un. Le troisième terme est égal à 𝑎 un plus deux r. Et le quatrième terme est égal à 𝑎 un plus trois r. Cela signifie que nous avons deux équations. 𝑎 un plus 𝑎 un plus deux r égale moins 142. Et 𝑎 un plus deux r plus 𝑎 un plus trois r égale moins 151.
La première équation se simplifie par deux 𝑎 un plus deux r égale moins 142. Nous appellerons cette équation un. La deuxième équation se simplifie par deux 𝑎 un plus cinq r égale moins 151. Nous appellerons cette équation deux. Nous avons maintenant un système à deux équations que nous pouvons résoudre par substitution ou par élimination. Nous allons ici résoudre par élimination en soustrayant l’équation un à l’équation deux. Deux 𝑎 un moins deux 𝑎 un égale zéro, et cinq r moins deux r égale trois r.
À droite, soustraire moins 142 à moins 151 donne moins neuf. Comme trois r égale moins neuf, on peut diviser les deux membres de l’équation par trois, ce qui donne r égale moins trois. La raison de la suite arithmétique est donc moins trois. On peut maintenant remplacer cette valeur de r dans l’équation un ou dans l’équation deux. Substituer r égale moins trois dans l’équation un nous donne deux 𝑎 un plus deux fois moins trois égale moins 142. Cela se simplifie par deux 𝑎 un moins six égale moins 142. On peut alors ajouter six aux deux membres de cette équation. Enfin, diviser les deux membres par deux nous donne 𝑎 un égale moins 68.
Le premier terme de notre suite arithmétique est moins 68 et sa raison est moins trois. Nous pouvons donc conclure que cette suite arithmétique a les valeurs moins 68, moins 71, moins 74, etc.
Dans la dernière question, nous devons définir une suite arithmétique à partir de la somme et du produit de ses termes.
Définissez la suite arithmétique pour laquelle 𝑎 deux plus 𝑎 quatre est égal à moins 28 et 𝑎 trois fois 𝑎 cinq est égal à 140.
Dans cette question, nous savons que la somme des deuxième et quatrième termes d’une suite arithmétique est égale à moins 28 et que le produit de ses troisième et cinquième termes est égal à 140. Commençons par rappeler que le terme de rang 𝑛 de toute suite arithmétique, noté 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 un, le premier terme, plus 𝑛 moins un fois r, la raison. Nous pouvons donc formuler deux équations avec les informations données. Tout d’abord, comme le deuxième terme est 𝑎 un plus r et le quatrième terme est 𝑎 un plus trois r, on a l’équation 𝑎 un plus r plus 𝑎 un plus trois r égale moins 28. Elle se simplifie par deux 𝑎 un plus quatre r égale moins 28.
On peut alors diviser les deux membres de l’équation par deux. 𝑎 un plus deux r égale moins 14. En soustrayant deux r aux deux membres de cette équation, on obtient 𝑎 un égale moins 14 moins deux r. Nous appellerons cette équation un. Nous considérons ensuite le fait que 𝑎 trois fois 𝑎 cinq égale 140. Comme le troisième terme, 𝑎 trois, est égal à 𝑎 un plus deux r et le cinquième terme, 𝑎 cinq, est égal à 𝑎 un plus quatre r, le produit de ces deux expressions est égal à 140.
Nous pourrions distribuer les parenthèses. Cependant, une autre méthode consiste à substituer l’expression de 𝑎 un dans cette équation. En remplaçant 𝑎 un par moins 14 moins deux r, on a moins 14 moins deux r plus deux r fois moins 14 moins deux r plus quatre r égale 140. Moins deux r plus deux r égale zéro. Moins deux r plus quatre r égale deux r. Il nous reste donc moins 14 fois moins 14 plus deux r égale 140.
On peut diviser les deux membres de cette équation par moins 14 pour obtenir moins 14 plus deux r égale moins 10. En ajoutant 14 aux deux membres, on a deux r égale quatre. Et enfin, en divisant les deux membres de cette équation par deux, nous trouvons que r est égal à deux. Nous pouvons maintenant substituer la raison dans l’équation un pour calculer le premier terme, 𝑎 un. 𝑎 un égale moins 14 moins deux fois deux. Soit moins 18. Puisque le premier terme de notre suite est moins 18 et que sa raison est deux, la suite arithmétique est moins 18, moins 16, moins 14, et ainsi de suite.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence s’appelle la raison. Le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique de premier terme 𝑎 un et de raison r peut être trouvé en utilisant la formule 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r. Nous avons vu que nous pouvons utiliser cette formule pour construire une expression de n’importe quel terme de la suite arithmétique en fonction du terme initial, ou premier terme, et de la raison. Si nous pouvons créer deux équations en fonction de ces variables, nous pouvons alors les résoudre comme un système pour calculer les valeurs de 𝑎 un et de r.
