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Laquelle des expressions suivantes ne décrit pas le graphique illustré? Est-ce A : 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance de ln 1,25 sur ln deux, le tout à la puissance de 𝑡? Est-ce l’option B : 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance ln 1,25 sur ln deux fois 𝑡? Est-ce l’option C : 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance ln deux sur ln 1,25 fois 𝑡? L’option D : 𝑁 est égal à 80 fois 𝑒 à la puissance de ln 1,25 fois 𝑡? Ou est-ce l’option E : 𝑁 est égal à 80 fois 1,25 à la puissance 𝑡?
Notez que dans chacune de ces options, 𝑁 est une fonction exponentielle de 𝑡. Raison pour laquelle, c’est écrit comme une constante multiplicative 𝐶 fois 𝑎 à la puissance de 𝑏𝑡. Vous pouvez remarquer en fait que chaque option a la même valeur de la constante multiplicative 𝐶; chaque valeur est 80. Et cela a du sens compte tenu de ce que nous voyons sur notre graphique. L’ordonnée à l’origine 𝑦 ou nous devrions l’appeler l’intersection avec l’axe des 𝑁 est 80. Et en général, la valeur de la constante multiplicative 𝐶 est la valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦, ou dans ce cas l’intersection avec l’axe des 𝑁.
Rappelez-vous que nous recherchons l’option qui ne décrit pas le graphique illustré. Cela signifie que quatre de ces options décrivent le graphique illustré. Et donc quatre de ces options auraient bien entendu la valeur de la constante multiplicative 𝐶 égale à 80. Malheureusement pour nous, l’option incorrecte a également une constante multiplicative de 80. Et donc nous ne pouvons pas utiliser le fait que la constante multiplicative devrait être 80 pour savoir quelle option est fausse.
Cependant, bien que ces options aient toutes la même constante multiplicative 𝐶, elles ont toutes des valeurs différentes de 𝑎 et 𝑏. Vous pourriez penser que c’était un problème étant donné que quatre de ces options sont censées décrire le graphique illustré et doivent donc toutes être équivalentes. Mais en réalité, il existe une infinité de façons d’écrire une équation exponentielle donnée.
Par exemple, imaginons que nous ayons une équation plus simple 𝑁 égale cinq fois huit à la puissance un 𝑡. Donc 𝐶 est cinq, 𝑎 est huit et 𝑏 est un. Bien sûr, normalement, nous ne prenons pas la peine d’écrire le nombre un, donc nous écrivions simplement cinq fois huit à la puissance 𝑡. Et bien sûr, huit est deux à la puissance trois. Nous pouvons donc écrire cela comme cinq fois deux à la puissance trois à la puissance 𝑡.
Et nous pouvons utiliser l’une de nos lois des exposants pour écrire deux à la puissance trois à la puissance 𝑡 comme deux à la puissance trois 𝑡. Nous avons donc une fonction exponentielle équivalente, mais avec des valeurs différentes de 𝑎 et 𝑏. Maintenant, 𝑎 est deux et 𝑏 est trois, avant 𝑎 était huit et 𝑏 était un. Si vous avez une fonction exponentielle, vous pouvez choisir la valeur de 𝑎 que vous voulez et qui déterminera la valeur de 𝑏, ou vous pouvez choisir la valeur de 𝑏 que vous voulez et qui déterminera la valeur de 𝑎.
Souvent, nous choisissons que la base 𝑎 soit 𝑒, la base du logarithme naturel, qui détermine la valeur de 𝑏. Alternativement, nous pourrions choisir que le nombre dans l’exposant 𝑏 soit un et cela déterminera la valeur de la base 𝑎. Notre plan est donc d’écrire chaque option sous la forme : 𝑁 est égal à 𝐶 fois 𝑎 à la puissance 𝑡. Nous avons donc choisi que la valeur de 𝑏 est un.
Il existe une façon unique d’écrire une fonction exponentielle sous cette forme. Et donc, une fois que nous avons réécrit toutes les options sous cette forme, nous pouvons voir quelles sont les quatre équivalentes et laquelle est l’intrus. C’est notre plan. Voyons si nous pouvons déterminer quelles devraient être les valeurs de 𝐶 et 𝑎 à partir du graphique.
Nous avons déjà vu que l’intersection avec l’axe des 𝑁 est 80 ; en d’autres termes, lorsque 𝑡 est nul, 𝑁 est 80. Et bien sûr, pour toutes les valeurs de 𝑎, 𝑎 à la puissance zéro est un et donc 80 est égal à 𝐶. 𝐶 est égal à 80. D’accord, nous savons donc que 𝑁 est égal à 80 fois 𝑎 à la puissance de 𝑡. Et il suffit de trouver la valeur de 𝑎.
En regardant le graphique, nous pouvons voir que lorsque 𝑡 est égal à un, 𝑁 est égal à 100. En substituant ces valeurs, nous obtenons que 100 est égal à 80 fois 𝑎 à la puissance un. Nous avons choisi de regarder quand 𝑡 est égal à un parce que nous savons que 𝑎 à la puissance un est 𝑎. Et nous obtenons donc une belle et simple équation : 100 est égal à 80 fois 𝑎. Et donc 𝑎 est égal à 100 sur 80 ou cinq sur quatre ou 1,25. En conséquence, l’équation de ce graphique sous la forme que nous recherchons est 𝑁 est égal à 80 fois 1,25 à la puissance 𝑡.
Et nous pouvons immédiatement remarquer que c’est l’option E. Et donc l’option E décrit certainement le graphique montré. Nous savons donc que l’option E est correcte. Voyons quelles autres options sont équivalentes à l’option E.
Nous pouvons donc avancer et essayer l’option D. Nous avons 𝑁 est égal à 80 fois 𝑒 à la puissance ln 1,25 fois 𝑡. Et notre plan est de l’écrire sous la forme 𝑁 est égal à 𝐶 fois 𝑎 à la puissance 𝑡 et de voir si nous obtenons la même chose que dans l’option E, qui est correcte à notre connaissance.
Nous pouvons utiliser ici l’une de nos lois de puissance pour écrire ceci comme 80 fois 𝑒 à la puissance ln 1,25 à la puissance 𝑡. Et c’est parce que 𝑎 à la puissance 𝑚 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑎 à la puissance 𝑚 fois 𝑛. Et donc nous voyons que nous l’avons sous cette forme essentiellement : 𝐶 est 80 et 𝑎 est 𝑒 à la puissance de ln 1,25, mais bien sûr nous pouvons simplifier ceci à 𝑒 à la puissance ln 1,25.
𝑒 à la puissance ln 1,25 est juste 1,25. C’est parce que 𝑒 à la puissance ln 𝑥 ; c’est-à-dire 𝑒 à la puissance du logarithme naturel de 𝑥 est égal à 𝑥. Cela est vrai pour toute valeur de 𝑥. Et il est donc vrai pour 𝑥 égale 1,25. Nous pouvons voir maintenant que c’est la même chose que dans E, nous savons que c’est correct ; cela décrit le graphique illustré. D est équivalent à E. Et donc D décrira également le graphique montré.
Alors D et E décrivent le graphique montré. Que diriez-vous de l’option C ? Nous avons que 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance ln deux divisé par ln 1,25 fois 𝑡. Nous pouvons utiliser la même astuce, qui est d’écrire 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance ln deux sur ln 1,25 à la puissance 𝑡.
Donc 𝑎 est deux à la puissance ln deux sur ln 1,25. Pouvons-nous simplifier cela ? Nous pouvons utiliser le fait que ln 𝑥 sur ln 𝑦 est log de base 𝑦 de 𝑥 ; en fait, cela s’applique à tout logarithme, pas uniquement au logarithme naturel ln. Et donc l’exposant de notre base, pour ainsi dire, ln deux sur ln 1,25 est log de base 1,25 de deux. Et donc nous avons 𝑁 égale 80 fois deux à la puissance log de base 1,25 de deux à la puissance de 𝑡.
Pouvons-nous simplifier davantage notre base ? Eh bien, ce n’est pas particulièrement évident comment faire cela. Si vous tapez cette expression dans une calculatrice, vous obtenez un nombre commençant par 8,611, Ce qui importe est que vous n’obtenez pas 1,25. Et donc pour l’option C, 𝑁 n’est pas égal à 80 fois 1,25 à la puissance 𝑡, qui est l’équation qui décrit notre graphique.
Par conséquent, sans regarder les autres options, il semble que notre réponse est C. 𝑁 est égal à 80 fois deux à la puissance de ln deux sur ln 1,25 fois 𝑡 est l’intrus. Mais bien sûr, il est logique de vérifier les options restantes. Alors maintenant, vérifions B.
La première chose que nous faisons est d’utiliser l’une de nos lois sur les exposants. Alors maintenant, nous avons 80 fois quelque chose à la puissance 𝑡. Voyons si nous pouvons simplifier quelque chose. Nous pouvons simplifier cet exposant en faisant quelque chose de similaire à ce que nous avons fait dans l’option C. In 1,25 sur ln deux est log de base deux de 1,25. Maintenant, nous avons quelque chose de similaire à ce que nous avions dans l’option C. Nous avons 80 fois deux à la puissance de log de base deux de 1,25 à la puissance 𝑡.
Mais contrairement au cas où nous avions deux à la puissance log de base 1,25 sur deux, nous pouvons simplifier davantage ce que nous avons ici. Pour toute base 𝑏, 𝑏 à la puissance log de base 𝑏 de 𝑎 est égal à 𝑎. Et donc, deux à la puissance log de base deux de 1,25 est 1,25. Et nous obtenons donc 𝑁 égale 80 fois 1,25 à la puissance 𝑡. Ceci est bien sûr équivalent aux options D et E. Et donc évidemment, B n’est pas notre réponse.
Enfin, pour l’option A, nous pouvons voir que c’est la deuxième opération effectuée lorsque nous vérifions l’option B. Et donc il est clair que c’est équivalent à l’option B et donc équivalent aux options D et E également. Donc là nous le constatons bien qu’elles soient écrites de différentes manières. Les options A, B, D et E sont en fait équivalentes. Et seule l’option C ne décrit pas le graphique illustré.
