Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment tracer et identifier les transformations graphiques des fonctions exponentielles. Une fonction exponentielle est une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥. 𝑏 est un nombre réel positif différent de un et la variable 𝑥 est un exposant. Ces fonctions sont extrêmement importantes en mathématiques car elles ont des applications dans de nombreux domaines. On peut les utiliser pour modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle. Par exemple, on peut utiliser une fonction exponentielle pour modéliser la croissance démographique ou le montant d’un placement sur un compte, en tenant compte d’intérêts composés spécifiques. Nous allons commencer par nous intéresser à la forme de ces courbes.
Quelle courbe représente une croissance exponentielle ?
Tout d’abord, rappelons ce qu’est une fonction exponentielle. C’est une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif différent de un et dont la variable 𝑥 est un exposant. Voyons ce qui se passe en traçant les courbes de deux types de fonctions différentes. Nous allons tracer la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux puissance 𝑥. C’est-à-dire une fonction où 𝑏 est plus grand que un et la fonction 𝑔 de 𝑥 égale à un demi puissance 𝑥. Pour cette fonction, nous allons considérer le cas où 𝑏 est compris dans l’intervalle ouvert zéro, un.
Nous allons utiliser une table de valeurs pour les deux fonctions. Lorsque 𝑥 vaut moins deux, 𝑓 de 𝑥 vaut deux puissance moins deux. C’est-à-dire un sur deux au carré, ce qui est égal à un sur quatre, soit 0, 25. Lorsque 𝑥 vaut moins un, 𝑓 de 𝑥 vaut deux puissance moins un, ce qui est égal à un demi, soit 0,5. De la même manière, 𝑓 de zéro est égal à un, 𝑓 de un est égal à deux, 𝑓 de deux est égal à quatre et 𝑓 de trois est égal à deux au cube, ce qui fait huit. De même, pour 𝑔 de 𝑥, nous obtenons 𝑔 de moins deux égale quatre, 𝑔 de moins un égale deux, et ainsi de suite. Plaçons les points sur le même graphique. Lorsque nous plaçons les points de la fonction 𝑓 de 𝑥 et que nous les relions avec par une courbe, nous voyons que la fonction est croissante sur l’intervalle. En d’autres termes, sa pente est toujours dirigée vers le haut. Alors que 𝑔 de 𝑥 est décroissante ; sa pente est toujours dirigée vers le bas.
En fait, on dit qu’une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un terme constant réel plus grand que un, représente une croissance exponentielle. Alors que lorsque 𝑏 est plus grand que zéro et plus petit que un, la fonction représente une décroissance exponentielle. Alors, laquelle des courbes représente une croissance exponentielle ? Cela ressemble un peu à la fonction 𝑓 de 𝑥. Alors, nous voyons que cette fonction est 𝑏.
Alors, en fait, nous pouvons déduire une autre propriété de ces fonctions à partir des courbes que nous avons tracées. Remarquez comment ces parties des courbes semblent se rapprocher de plus en plus de l’axe des 𝑥. Cependant, elles n’atteindront jamais réellement l’axe des 𝑥. Et c’est parce que la valeur devient de plus en plus petite à chaque fois, puisque nous réduisons la valeur de la fonction de moitié. Mais elle n’atteindra jamais zéro. Cette droite, l’axe des 𝑥 ou la droite 𝑦 égal zéro, est appelée une asymptote horizontale.
Voilà donc ce qu’on peut dire. Une fonction exponentielle est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif différent de un. Si 𝑏 est plus grand que un, la fonction modélise une croissance exponentielle. Et si 𝑏 est plus grand que zéro et plus petit que un, la fonction modélise une décroissance exponentielle. Ces fonctions admettent l’axe des 𝑥, ou la droite 𝑦 égale zéro, comme asymptote horizontale. Il existe en fait une autre propriété que nous pouvons établir, pour cela, regardons un exemple.
Déterminez le point où la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale six puissance 𝑥 coupe l’axe des 𝑦.
Rappelons que l’axe des 𝑦 correspond à la droite verticale dont l’équation est 𝑥 égale zéro. Nous cherchons à déterminer le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦, c’est-à-dire en prenant 𝑥 égal zéro et en cherchant la valeur de 𝑦. En faisant cela, en prenant 𝑥 égal zéro, nous obtenons 𝑦 égal six puissance zéro. Mais bien sûr, nous savons que tout nombre à la puissance zéro est égal à un. Cela signifie que la courbe coupe l’axe des 𝑦 en 𝑦 égal un. Cela correspond bien sûr à 𝑥 égal zéro. Donc, les coordonnées du point d’intersection sont zéro, un. En fait, si nous prenons la courbe représentative d’une fonction du type 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un terme constant réel plus grand que zéro et différent de un, nous savons que 𝑓 de zéro est égal à 𝑏 puissance zéro, ce qui est aussi égal à un.
Rappelons que peu importe la valeur de 𝑏, tant qu’il s’agit d’un terme constant réel, 𝑏 puissance zéro sera toujours égal à un. On peut donc dire qu’une fonction exponentielle de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥 coupe l’axe des 𝑦 en un ou au point de coordonnées zéro, un.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment identifier la courbe représentant une fonction exponentielle en utilisant les caractéristiques que nous avons vues et un peu de substitution.
Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 égale trois puissance 𝑥 ?
L’équation 𝑦 égale trois puissance 𝑥 correspond à une fonction exponentielle. Rappelons donc ce que nous savons sur les fonctions exponentielles. D’abord, nous savons qu’une fonction exponentielle de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un terme constant réel positif, passe par le point zéro, un. Autrement dit, la courbe coupe l’axe des 𝑦 en un. Voyons donc si nous pouvons exclure l’une des courbes de la question. La courbe B passe par zéro. La courbe C ne semble pas du tout couper l’axe des 𝑦. La courbe E coupe l’axe des 𝑦 en moins un. Donc, il nous reste les courbes A et D, qui coupent toutes les deux l’axe des 𝑦 en un.
Il existe deux méthodes pour vérifier laquelle des courbes est correcte. Nous pourrions choisir un point et le tester. Par exemple, la première courbe passe par le point de coordonnées un, trois. Supposons que 𝑥 égal à un, comme l’abscisse 𝑥 est égal à un et voyons si l’ordonnée 𝑦 est bien égale à trois. Si 𝑥 égal un, 𝑦 égal trois puissance un, ce qui fait en effet trois. Et nous pouvons donc en déduire que la courbe d’équation 𝑦 égale trois puissance 𝑥 passe bien par le point un, trois. Et il s’agit donc de la courbe A.
Mais il existe une autre manière de vérifier cela. Nous savons que si 𝑏 est plus grand que un, la courbe représente une croissance exponentielle. Autrement dit, elle est toujours croissante. Alors que si 𝑏 est compris entre zéro et un, la courbe représente une décroissance exponentielle ; elle est toujours décroissante. Nous pouvons voir que la courbe D est toujours décroissante sur l’ensemble de définition. La pente est toujours dirigée vers le bas. Et donc la valeur de 𝑏, la base, doit être comprise entre zéro et un. Donc, il pourrait s’agir, par exemple, de 𝑦 égal un tiers puissance 𝑥. La bonne réponse ici est la courbe A.
Voyons un autre exemple.
Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 égale un quart puissance 𝑥.
Il est utile de commencer par remarquer qu’il s’agit d’une fonction exponentielle. Une fonction exponentielle est une fonction de la forme 𝑦 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un terme constant positif réelle différent de un. Alors, nous savons plusieurs choses sur les courbes des fonctions exponentielles. Nous savons, tout d’abord, que ces courbes coupent l’axe des 𝑦 en un. Ces courbes passent par le point zéro, un. Nous pouvons donc exclure directement trois des courbes. Nous pouvons exclure les courbes A, B et C. La courbe A coupe en fait l’axe des 𝑦 en zéro, tout comme la courbe C, tandis que la courbe B ne semble pas du tout couper l’axe des 𝑦.
Alors, nous savons aussi quelque chose sur la forme de ces courbes. Si la valeur de 𝑏 est plus grande que un, alors la courbe représente une croissance exponentielle. Et la courbe ressemble un peu à ceci. Notons que l’axe des 𝑥 correspond à une asymptote horizontale de la courbe. La courbe se rapproche de plus en plus mais ne touche jamais l’asymptote. Cependant, si 𝑏 est plus grand que zéro et plus petit un, la courbe représente une décroissance exponentielle. La courbe est décroissante sur tout son ensemble de définition. L’axe des 𝑥 correspond toujours à une asymptote horizontale de la courbe, mais cette fois, la courbe ressemble un peu à ceci.
Alors, quelle est la valeur de 𝑏 ? Eh bien, l’équation est 𝑦 égale un quart puissance 𝑥. Donc 𝑏 égal un quart, ce qui est plus grand que zéro et plus petit que un. Cela nous indique que la courbe représente une décroissance exponentielle. La courbe est décroissante sur tout son ensemble de définition. Il s’agit donc de la courbe D.
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment identifier la courbe d’une fonction exponentielle plus complexe.
Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 égale deux fois trois puissance 𝑥.
Alors, même si cela ne semble pas être le cas, c’est un exemple de fonction exponentielle. C’est en fait un multiple de la forme générale 𝑦 égal 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un terme constant réel positif différent de un. Mais cette fois, il est de la forme 𝑎𝑏 puissance 𝑥. Rappelons-nous, selon l’ordre des opérations, il faut d’abord appliquer l’exposant avant de multiplier. Donc, c’est trois puissance 𝑥 fois deux. Et il faut donc se rappeler ce que nous savons sur les transformations des courbes. Alors, pour une courbe associée à la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus une constante 𝑎 est une translation qui transforme zéro en 𝑎. Elle déplace la courbe de 𝑎 unités vers le haut.
La courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏 est une translation qui transforme moins 𝑏 en zéro. Cette fois, la courbe se déplace de 𝑏 unités vers la gauche. Alors, si nous regardons l’équation, nous voyons que nous n’avons pas du tout ajouté de constante. Rappelons donc les autres règles que nous connaissons. 𝑦 égal un terme constant 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 est une dilatation verticale ou un agrandissement de facteur d’échelle 𝑎. Alors que 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏𝑥 est une dilatation horizontale de facteur d’échelle un sur 𝑏. Revenons maintenant à l’équation, nous avons trois puissance 𝑥. Et nous multiplions la fonction entière par deux. Donc nous avons une dilatation verticale. En fait, nous devons effectuer une dilatation verticale de la fonction 𝑦 égale trois puissance 𝑥 par un facteur d’échelle deux.
Alors, à quoi ressemble la courbe de 𝑦 égale trois puissance 𝑥. C’est une fonction exponentielle et la base est plus grande que un. Cela signifie que la fonction représente une croissance exponentielle. Cela signifie que nous pouvons exclure les courbes A et B. Ces courbes représentent en fait une décroissance exponentielle, car elles sont décroissantes ; les pentes sont dirigées vers le bas. Nous devons donc choisir parmi C, D et E. Rappelons également que la fonction 𝑦 égale 𝑏 puissance 𝑥 coupe l’axe des 𝑦 en un. Il en va de même pour la fonction 𝑦 égale trois puissance 𝑥. Elle passe par zéro, un. Mais elle a été agrandie verticalement par un facteur d’échelle deux. Cela signifie que la fonction 𝑦 égale deux fois trois puissance 𝑥 doit passer par zéro, deux.
Parmi C, D et E, la seule courbe qui correspond à cela est la courbe E. C passe par un et D passe par trois. Et donc la courbe qui représente l’équation 𝑦 égal deux fois trois puissance 𝑥 est la courbe E.
Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une fonction exponentielle est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif différent de un. Nous avons vu que pour des valeurs de 𝑏 plus grandes que un, la fonction modélise une croissance exponentielle ; sa pente est dirigée vers le haut. Et que si à 𝑏 est compris entre zéro et un, la fonction modélise une décroissance exponentielle ; sa pente est dirigée vers le bas. Notons que nous avons écarté le cas où 𝑏 est égal à un parce que si 𝑏 est égal à un, la fonction est une simple droite horizontale, ce qui n’est pas une croissance exponentielle. Enfin, nous avons vu que ces courbes coupent l’axe des 𝑦 en un et qu’elles admettent une asymptote horizontale qui est l’axe des 𝑥 ou la droite 𝑦 égale zéro.