Vidéo : Courbes de fonctions exponentielles

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment esquisser et identifier les transformations graphiques des fonctions exponentielles.

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Dans cette vidéo, nous apprendrons comment esquisser et identifier les transformations graphiques des fonctions exponentielles. Une fonction exponentielle est de la forme 𝑓 de 𝑥 égal 𝑏 à la puissance 𝑥. 𝑏 est un nombre réel positif non égal à un et la variable 𝑥 apparaît comme un exposant. Ces fonctions sont extrêmement importantes en mathématiques car elles ont toutes sortes d’applications. Nous les utilisons pour modéliser la croissance exponentielle et la décroissance. Par exemple, nous pourrions utiliser une fonction exponentielle pour modéliser la croissance démographique ou le montant d’argent dans un compte de placement compte tenu des exigences spécifiques en matière d’intérêts composés. Nous allons commencer par regarder la forme de ces courbes.

Quel courbe montre une croissance exponentielle ?

Rappelons d’abord ce que nous entendons par fonction exponentielle. C’est une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif non égal à un et dans lequel la variable 𝑥 apparaît comme un exposant. Voyons ce qui se passe si nous essayons de tracer deux types de cette fonction. Nous tracerons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux à la puissance 𝑥. En d’autres termes, celui où 𝑏 est supérieur à un et la fonction 𝑔 de 𝑥 est égale puissance un demi de 𝑥. Dans ce cas, nous examinons le comportement où 𝑏 est dans l’intervalle ouvert de zéro à un.

Nous utiliserons un tableau pour chacun. Lorsque 𝑥 est moins deux, 𝑓 de 𝑥 est deux à la puissance de moins deux. C’est un sur deux au carré, ce qui est un sur quatre ou 0.25. Lorsque 𝑥 est négatif, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux à la puissance moins un, qui est un demi ou 0.5. De la même manière, 𝑓 de zéro est un, 𝑓 de un est deux, 𝑓 de deux est de quatre et 𝑓 de trois est de deux cubes, ce qui est huit. De même, pour 𝑔 de 𝑥, nous obtenons 𝑔 de moins deux pour être quatre, 𝑔 de moins un pour deux, et ainsi un. Représentons-les sur les mêmes axes. Lorsque nous traçons la fonction 𝑓 de 𝑥 et la joignons avec une courbe lisse, nous voyons qu’elle augmente sur tout son ensemble de définition. En d’autres termes, elle est toujours en pente ascendante. Alors que 𝑔 de 𝑥 décroît ; elle est toujours en pente descendante.

On dit, en effet, qu’une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle supérieure à un, représente une croissance exponentielle. Alors que lorsque 𝑏 est supérieur à zéro et inférieur à un, la fonction représente la décroissance exponentielle. Alors, lequel de nos graphiques montre une croissance exponentielle ? En d’autres termes, cela ressemble un peu à la fonction 𝑓 de 𝑥. Eh bien, nous voyons que cette fonction est 𝑏.

Maintenant, en fait, nous pouvons déduire une autre propriété de ces fonctions à partir des courbes que nous avons tracées. Remarquez comment ces parties des droites semblent se rapprocher de plus en plus de l’axe 𝑥. Cependant, ils n’atteindront jamais réellement l’axe 𝑥. Et c’est parce que le nombre décroît à chaque fois car nous réduisons de moitié la valeur de la fonction. Mais il n’atteindra jamais zéro. Nous appelons cette droite, l’axe 𝑥 ou la droite 𝑦 est égal à zéro, une asymptote horizontale.

Nous pouvons donc dire ce qui suit. Une fonction exponentielle est l’une des formes 𝑓 de 𝑥 égal 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif non égal à un. Si 𝑏 est supérieur à un, la fonction modélise la croissance exponentielle. Et s’il est supérieur à zéro et inférieur à un, elle modélise la décroissance exponentielle. L’axe 𝑥, ou la droite 𝑦 égale zéro, est une asymptote horizontale à de telles fonctions. Il y a en fait une autre propriété que nous pouvons établir, alors regardons un exemple.

Déterminez le point en lequel la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à six à la puissance 𝑥 coupe l’axe 𝑦.

Nous rappelons que l’axe 𝑦 est la droite verticale dont l’équation est 𝑥 égale zéro. On peut donc trouver le point d’intersection de la courbe avec l’axe 𝑦 en laissant 𝑥 égal à zéro et en résolvant 𝑦. Lorsque nous le faisons, lorsque nous fixons 𝑥 égal à zéro, nous obtenons 𝑦 égal à six à la puissance de zéro. Mais bien sûr, nous savons que tout ce qui a une puissance de zéro est un. Cela signifie que la courbe coupe l’axe 𝑦 en 𝑦 est égal à un. Maintenant, c’est bien sûr quand 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, la coordonnée d’intersection est zéro, un. En fait, si nous prenons la courbe générale d’une fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle supérieure à zéro et non égale à un, nous savons que 𝑓 de zéro est 𝑏 à la puissance de zéro, qui est aussi un.

N’oubliez pas, quelle que soit la valeur de 𝑏, tant qu’il s’agit d’une constante réelle, 𝑏 à la puissance de zéro sera toujours un. On peut donc dire qu’une fonction exponentielle de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 à la puissance 𝑥 coupe l’axe 𝑦 en un ou le point de coordonnées zéro, un.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment identifier la bonne courbe de fonctions exponentielles en utilisant les fonctionnalités que nous avons établies et un peu de substitution.

Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 égale trois à la puissance 𝑥 ?

Notre équation 𝑦 est égale à trois à la puissance 𝑥 représente une équation exponentielle. Rappelons donc ce que nous savons des fonctions exponentielles. Premièrement, nous savons qu’une fonction exponentielle de la forme 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle positive, passe à zéro, un. En d’autres termes, il passe par l’axe 𝑦 à un. Voyons donc si nous pouvons éliminer l’une de nos courbes de notre question. La courbe B passe en zéro. La courbe C ne semble pas du tout couper l’axe 𝑦. La courbe E la coupe à moins un. Et cela nous laisse avec la courbe A et la courbe D, qui coupent tous les deux l’axe 𝑦 en un.

Il y a deux façons de vérifier laquelle de nos courbes est correcte. Nous pourrions choisir un point et le tester. Par exemple, notre première courbe passe par le point avec les coordonnées un, trois. Supposons que 𝑥 soit égal à un, puisque la coordonnée 𝑥 est un, et voyons si la coordonnée 𝑦 est bien trois. Si 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à trois à la puissance de un, qui est en effet trois. Et nous pouvons donc en déduire que la courbe de l’équation 𝑦 est égal à trois à la puissance 𝑥 doit passer par le point un, trois. Et donc notre courbe est A.

Il existe cependant une autre façon de tester cela. Nous savons que si 𝑏 est supérieur à un, notre courbe représente une croissance exponentielle. En d’autres termes, il augmente toujours. Alors que si 𝑏 est compris entre zéro et un, il représente une décroissance exponentielle ; ça décroît toujours. Nous pouvons voir que la courbe de D décroît sur tout son ensemble de définition. Elle est toujours en pente descendante. Et donc la valeur de 𝑏, la base si vous voulez, doit être comprise entre zéro et un. Cela pourrait donc être 𝑦 égal à un tiers à la puissance 𝑥, par exemple. La bonne réponse ici est alors A.

Jetons un coup d’œil à un autre exemple.

Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 est égal à un quart à la puissance 𝑥.

Il est utile de commencer par remarquer qu’il s’agit d’une équation exponentielle. Une équation exponentielle est de la forme 𝑦 égale 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est une constante positive réelle non égale à un. Maintenant, nous savons plusieurs choses sur les courbes d’équations exponentielles. Nous savons que leurs interceptions 𝑦 pour commencer sont un. Elles passent par le point zéro, un. Et ainsi nous pouvons éliminer instantanément trois de nos courbes. Nous pouvons éliminer A, B et C. La courbe A coupe en fait en zéro comme le fait la courbe C, tandis que la courbe B ne semble pas du tout couper l’axe 𝑦.

Maintenant, nous savons aussi quelque chose sur la forme de ces courbes. Si notre valeur 𝑏 est supérieure à un, alors nous représentons une croissance exponentielle. Et la courbe ressemble un peu à ceci. Notez que l’axe 𝑥 représente une asymptote horizontale de notre courbe. Elle se rapproche de plus en plus mais ne le touche jamais vraiment. Maintenant, si 𝑏 est supérieur à zéro et inférieur à un, nous avons une décroissance exponentielle. Notre courbe décroît sur l’ensemble de son ensemble de définition. L’axe 𝑥 est toujours une asymptote horizontale à notre courbe, mais cette fois, il ressemble un peu à ceci.

Alors, quelle est notre valeur de 𝑏 ? Eh bien, l’équation est 𝑦 égale un quart à la puissance 𝑥. Donc 𝑏 est égal à un quart supérieur à zéro et inférieur à un. Cela nous indique que notre courbe représente la décroissance exponentielle. Elle va décroître sur l’ensemble de son ensemble de définition. Nous pouvons voir que c’est la courbe D.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment identifier la courbe d’une équation exponentielle plus compliquée.

Laquelle des courbes suivantes représente l’équation 𝑦 est égal à deux fois trois à la puissance 𝑥.

Maintenant, même si cela ne lui ressemble pas, c’est un exemple d’équation exponentielle. C’est essentiellement un multiple de sa forme générale 𝑦 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle positive non égale à un. Cette fois, cependant, c’est de la forme 𝑎𝑏 à la puissance 𝑥. N’oubliez pas, selon l’ordre des opérations, nous appliquons l’exposant avant de multiplier. C’est donc trois fois la puissance 𝑥 fois deux. Et cela signifie que nous allons devoir rappeler ce que nous savons sur les transformations des courbes. Eh bien, pour une courbe de la fonction 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 plus une constante 𝑎 est une translation de zéro 𝑎. Elle se déplace de 𝑎 unités vers le haut.

La courbe de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏 est une translation par moins 𝑏 zéro. Cette fois, elle se déplace de 𝑏 unités vers la gauche. Maintenant, si nous regardons notre équation, nous voyons que nous n’avons pas ajouté de constante du tout. Nous rappelons donc les autres règles que nous connaissons. 𝑦 est égal à une constante 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 est un étirement vertical ou un agrandissement d’un facteur d’échelle de 𝑎. Alors que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑏𝑥 est un étirement horizontal par le facteur d’échelle un sur 𝑏. Revenons maintenant à notre équation, nous avons trois à la puissance 𝑥. Et nous multiplions la fonction entière par deux. Et donc nous regardons un étirement vertical. En fait, nous devons effectuer un étirement vertical de la fonction 𝑦 égale trois à la puissance 𝑥 par un facteur d’échelle de deux.

Alors, à quoi ressemble la courbe de 𝑦 égal à trois à la puissance 𝑥. C’est une fonction exponentielle et la base est supérieure à un. Cela signifie que notre fonction représente une croissance exponentielle. Cela signifie que nous pouvons éliminer les courbes A et B. Elles représentent en fait une décroissance exponentielle, car elles décroissent ; elles sont en pente vers le bas. Nous devons donc choisir entre C, D et E. Et nous rappelons également que la fonction 𝑦 est égale à 𝑏 à la puissance 𝑥 passe par l’axe 𝑦 à un. Notre fonction 𝑦 égale trois à la puissance 𝑥 fera de même. Elle passera par zéro, un. Mais elle a été étirée verticalement par un facteur d’échelle de deux. Cela signifie que notre fonction 𝑦 est égale à deux fois trois à la puissance 𝑥 doit passer en zéro, deux.

Sur C, D et E, la seule fonction qui le fait est E. C passe à un et D passe à trois. Et donc la courbe qui représente l’équation 𝑦 est égal à deux fois trois à la puissance 𝑥 est E.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une fonction exponentielle est de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑥, où 𝑏 est un nombre réel positif non égal à un. Nous avons vu que pour des valeurs de 𝑏 supérieures à un, notre fonction modélise la croissance exponentielle ; elle s’incline vers le haut. Et que si zéro est inférieur à 𝑏, qui est inférieur à un, la fonction modélise la décroissance exponentielle ; elle descend vers le bas. Notez que la raison pour laquelle nous avons ignoré 𝑏 est égal à un est que si 𝑏 est égal à un, la fonction donne une droite horizontale simple, qui n’est pas une croissance exponentielle. Enfin, nous avons vu que ces courbes passent par l’axe 𝑦 en un et qu’ils ont une asymptote horizontale donnée par l’axe 𝑥 ou la droite 𝑦 est égale à zéro.

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