Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à des cercles pour déterminer les mesures des angles ou les longueurs des côtés manquants. Cela fait partie d’un sujet plus large sur les théorèmes des cercles, qui se concentre sur les propriétés des angles formés à l’intérieur des cercles par des cordes, des tangentes et des rayons. Dans cette leçon, nous nous concentrerons spécifiquement sur les propriétés des angles et des côtés formés par les tangentes issues des points extérieurs à la circonférence d’un cercle. Cependant, vous devez être familiers avec les propriétés générales des angles telles que la somme des angles sur une droite et la somme des angles dans un triangle.
Rappelez-vous tout d’abord qu’une tangente au cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point. Elle ne passe pas à l’intérieur du cercle, mais rencontre simplement le cercle à un point sur sa circonférence.
La première propriété clé que nous allons examiner est la suivante : une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Cela signifie que si nous traçons le rayon du cercle à partir du point sur la circonférence où la tangente touche le cercle, alors l’angle entre la tangente et le rayon sera un angle droit. Maintenant, bien sûr, il est également vrai que la tangente sera perpendiculaire au diamètre du cercle en ce point, car ce n’est qu’une continuation du rayon. Mais c’est le rayon que nous avons tendance à utiliser pour citer ce résultat. Maintenant, prouver cela nécessite certains autres théorèmes des cercles, y compris celui appelé le théorème de l’angle de la corde et l’angle de la tangente. Alors, nous n’entrerons pas dans les détails ici. Cependant, nous verrons une preuve d’une autre propriété clé plus loin dans cette vidéo. Donc, nous aurons toujours une idée de la façon de prouver ces théorèmes.
Considérons maintenant quelques exemples utilisant cette première propriété.
Étant donné que le segment 𝐴𝐵 est une tangente au cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐹 est de 123 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵.
L’angle 𝐴𝑀𝐵 est l’angle formé lorsque nous nous déplaçons de 𝐴 à 𝑀 à 𝐵. C’est donc l’angle marqué en orange sur la figure. L’angle 𝑀𝐵𝐹 est l’angle obtenu lorsque nous nous déplaçons de 𝑀 à 𝐵 à 𝐹. C’est donc l’angle désormais marqué en rose, et sa mesure est de 123 degrés. Nous pouvons voir que l’angle que nous recherchons - l’angle 𝐴𝑀𝐵 - est contenu dans un triangle. Si nous pouvons déterminer les deux autres angles de ce triangle, nous pourrons utiliser le fait que la somme des angles dans n’importe quel triangle est de 180 degrés pour trouver la mesure de l’angle que nous recherchons.
Considérons d’abord l’angle 𝑀𝐵𝐴. L’une de nos propriétés les plus élémentaires sur les angles est que les angles sur une droite ont une somme de 180 degrés. Et cet angle est sur une droite avec l’angle dont la mesure déterminée est de 123 degrés. Donc, nous pouvons dire que l’angle 𝑀𝐵𝐹 plus l’angle 𝑀𝐵𝐴 est égal à 180 degrés. Comme indiqué, nous connaissons déjà la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐹. Donc, nous pouvons remplacer cette valeur. Et nous avons maintenant une équation que nous pouvons résoudre pour trouver la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐴. Nous devons soustraire 123 de chaque membre de cette équation. Ce faisant, nous constatons que l’angle 𝑀𝐵𝐴 est de 57 degrés.
Nous avons donc trouvé l’un des angles du triangle 𝑀𝐵𝐴. Pouvons-nous en trouver un autre ? Qu’en est-il de l’angle 𝑀𝐴𝐵 ? Eh bien, c’est l’angle formé où une tangente au cercle - donc la droite 𝐴𝐵 - rencontre le rayon du cercle 𝐴𝑀. Et nous savons qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Donc, nous savons que l’angle 𝑀𝐴𝐵 est de 90 degrés. C’est un angle droit. Nous avons donc trouvé deux des angles du triangle 𝐴𝐵𝑀. Et en utilisant la somme des angles dans un triangle, nous pouvons trouver le troisième.
D’après l’équation, nous avons l’angle 𝐴𝑀𝐵 plus 90 degrés plus 57 degrés est égal à 180 degrés. 90 plus 57 est 147. Et en soustrayant 147 degrés de chaque membre de l’équation, l’angle 𝐴𝑀𝐵 est égal à 33 degrés. Ainsi, en utilisant deux propriétés de base sur les angles ainsi que le résultat clé selon lequel une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact, nous avons constaté que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 est de 33 degrés.
Considérons maintenant une deuxième application de ce résultat essentiel.
Étant donné que le segment 𝐴𝐵 est tangent au cercle de centre 𝑀 en 𝐴, 𝐴𝑀 est égal à 8,6 centimètres et 𝑀𝐵 est égal à 12,3 centimètres, déterminez la longueur du segment 𝐴𝐵 et arrondissez le résultat au dixième près.
Commençons par ajouter les informations données dans l’énoncé sur la figure. 𝐴𝑀 est de 8,6 centimètres. C’est cette longueur ici. 𝑀𝐵 est de 12,3 centimètres. C’est cette longueur ici. Et la longueur que nous recherchons est la longueur du segment 𝐴𝐵. Maintenant, nous remarquons que nous avons un triangle, le triangle 𝐴𝑀𝐵, dont nous connaissons les longueurs de deux côtés. Votre première pensée pourrait alors être que nous pourrions appliquer le théorème de Pythagore. Mais rappelez-vous, le théorème de Pythagore n’est valable que dans les triangles rectangles. Donc, nous devons nous demander si le triangle 𝐴𝑀𝐵 est un triangle rectangle.
L’autre information clé donnée dans l’énoncé est que le segment 𝐴𝐵 est tangent au cercle de centre 𝑀 en 𝐴. Une propriété clé des tangentes à des cercles indique qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Ainsi, le segment 𝐴𝐵 est perpendiculaire au rayon 𝐴𝑀. Et nous avons donc un angle droit en 𝐴 dans notre triangle 𝐴𝑀𝐵. En effet, il s’agit ici d’un triangle rectangle. Donc, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté.
Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts, que nous pouvons noter 𝑎 et 𝑏, est égale au carré du côté le plus long du triangle, que nous pouvons noter 𝑐. N’oubliez pas que le côté le plus long ou l’hypoténuse est toujours le côté directement opposé à l’angle droit. Donc, dans ce cas, c’est le côté 𝑀𝐵. En substituant 𝐴𝐵 et 8,6 désignant les deux côtés les plus courts du triangle, et 12,3 pour le côté le plus long ou l’hypoténuse, nous avons l’équation 𝐴𝐵 au carré plus 8,6 au carré égale 12,3 au carré. Nous pouvons calculer 8,6 au carré et 12,3 au carré, puis soustraire 73,96 - soit 8,6 au carré - de chaque côté, ce qui donne 𝐴𝐵 au carré égale 77,33.
Nous résolvons cette équation en prenant la racine carré. Et nous allons seulement prendre la valeur positive ici car 𝐴𝐵 a une véritable signification comme étant la longueur d’un côté dans ce triangle. En calculant cette racine carrée à l’aide d’une calculatrice, nous constatons que 𝐴𝐵 est égal à 8,79374. N’oubliez pas, cependant, qu’on nous a demandé d’arrondir le résultat au dixième près. Donc, comme il y a un neuf dans la colonne des centaines, nous arrondissons vers le haut, en obtenant 𝐴𝐵 est égal à 8,8 centimètres.
Donc, dans ce problème, en appliquant la propriété clé selon laquelle une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact, nous avons pu déduire que le triangle 𝑀𝐴𝐵 était un triangle rectangle. Et donc, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de son troisième côté. Nous avons constaté que la longueur de 𝐴𝐵 au dixième près est de 8,8 centimètres.
Voyons maintenant un dernier exemple de la façon dont nous pouvons appliquer cette première propriété.
Étant donné que le segment 𝐴𝐵 est tangent au cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝑀 est de 49 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵.
L’angle 𝐴𝐷𝐵 est l’angle formé lorsque nous nous déplaçons de 𝐴 à 𝐷 à 𝐵. C’est donc l’angle marqué en orange sur la figure. L’angle 𝐴𝐵𝑀 est l’angle formé lorsque nous nous déplaçons de 𝐴 à 𝐵 à 𝑀. C’est l’angle désormais marqué en rose sur la figure avec sa mesure de 49 degrés. À partir des informations fournies, nous ne pouvons pas calculer l’angle 𝐴𝐷𝐵 directement. Nous allons devoir trouver les mesures de certains autres angles sur la figure en premier. L’autre information clé donnée dans l’énoncé, cependant, est que la droite 𝐴𝐵 est une tangente au cercle de centre 𝑀. Et la propriété clé des tangentes à des cercles indique qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
Le point où la tangente rencontre le cercle est le point 𝐴. Et le rayon ici est le segment 𝐴𝑀. Donc, nous savons que l’angle 𝐵𝐴𝑀 est de 90 degrés. Donc, nous connaissons maintenant un angle de plus sur la figure. Nous ne sommes toujours pas en mesure de calculer l’angle 𝐴𝐷𝐵 directement. Voyons donc quels autres angles nous pourrions trouver. Nous avons un triangle. En fait, c’est un triangle rectangle, le triangle 𝐴𝑀𝐵. Et nous connaissons deux de ses angles, l’angle droit et l’angle de 49 degrés. Ainsi, en utilisant le fait que les mesures des angles dans un triangle ont une somme de 180 degrés, nous pouvons calculer le troisième angle dans ce triangle.
Nous avons cet angle 𝐴𝑀𝐵 plus 90 degrés plus 49 degrés est égal à 180 degrés. 90 plus 49 est 139. Et en soustrayant ce résultat à 180, nous trouvons que l’angle 𝐴𝑀𝐵 est de 41 degrés. Donc, nous connaissons maintenant un autre angle sur notre figure. Nous n’avons toujours pas assez d’informations pour calculer l’angle 𝐴𝐷𝐵. Mais nous pouvons maintenant calculer un angle différent, l’angle 𝐴𝑀𝐷. Nous savons que les angles sur toute droite ont une somme de 180 degrés. Donc, l’angle 𝐴𝑀𝐷 et l’angle dont la mesure déterminée est de 41 degrés doivent avoir une somme de 180 degrés. L’angle 𝐴𝑀𝐷 est donc égal à 180 degrés moins 41 degrés. C’est 139 degrés.
Maintenant, nous avons trouvé presque tous les angles sur la figure, mais toujours pas celui que nous recherchions. La dernière étape consiste à considérer le triangle 𝐴𝑀𝐷, dont nous connaissons un angle de 139 degrés. Nous devons remarquer que 𝑀𝐷 et 𝑀𝐴 sont tous deux des rayons du cercle de centre 𝑀. Et par conséquent, ils sont de même longueur. Cela signifie que le triangle 𝑀𝐷𝐴 est un triangle isocèle. Et cela signifie également que l’angle 𝑀𝐷𝐴 sera égal à l’angle 𝑀𝐴𝐷. Nous pouvons donc trouver la mesure de chaque angle en soustrayant le troisième angle, 139 degrés, à la somme totale des angles dans un triangle, à savoir 180 degrés, puis en divisant le reste par deux. Cela donne à chacun de ces angles une valeur de 20,5 degrés. Or, l’angle 𝑀𝐷𝐴 est en fait le même angle que l’angle 𝐴𝐷𝐵. Ils font tous deux référence à cet angle ici. Donc, nous avons résolu le problème.
En utilisant certaines des propriétés les plus élémentaires sur les angles dans les triangles et les angles sur les droites, puis la propriété clé selon laquelle une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact, nous avons trouvé que la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 est de 20,5 degrés.
Ainsi, nous avons maintenant vu trois applications de la première propriété clé des tangentes à des cercles. Présentons maintenant la deuxième propriété. C’est cette propriété : les tangentes à un cercle issues du même point extérieur sont de même longueur.
Sur notre figure, les deux tangentes sont issues du point extérieur 𝐴. Ainsi, la longueur de la droite 𝐴𝐵 sera égale à 𝐴𝐶. Maintenant, nous pouvons prouver cette propriété en utilisant des triangles superposables et la première propriété. Nous allons ajouter deux droites à notre figure, d’une part, les rayons 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 et, d’autre part, une droite reliant notre point extérieur 𝐴 au centre du cercle 𝑀. Maintenant, nous allons considérer les deux triangles 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀.
Nous savons que, d’après la première propriété, les deux tangentes seront perpendiculaires au rayon au point de contact. Donc, nous savons que l’angle 𝐴𝐵𝑀 et l’angle 𝐴𝐶𝑀 mesure chacun 90 degrés. Et, notamment, ils sont égaux. Nous savons également que les segments 𝐵𝑀 et 𝐶𝑀 sont chacun des rayons du cercle. Donc, ils seront de même longueur. En outre, la droite 𝐴𝑀 est un côté partagé dans ces deux triangles. En fait, c’est l’hypoténuse des deux triangles. Nous avons montré alors que ces deux triangles ont chacun un angle droit, qu’ils partagent une hypoténuse commune et qu’ils ont l’un des deux côtés les plus courts du triangle également de même longueur. Par conséquent, les deux triangles sont superposables selon la règle de superposition correspondante. Il s’agit de la condition de superposition impliquant côté-angle droit-hypoténuse. Si les deux triangles sont superposables, alors les longueurs de leurs troisièmes côtés, donc 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, doivent être égaux. Nous avons montré ainsi que 𝐴𝐵 est bel et bien égal à 𝐴𝐶, et donc prouvé cette propriété.
Regardons alors une application de cette propriété.
Trouvez la valeur de 𝑥.
Sur la figure, nous pouvons voir que nous avons un cercle, puis deux droites 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, chacune étant tangente au cercle. Les deux tangentes sont issues du même point extérieur, le point 𝐴. L’une des propriétés clés des tangentes à des cercles est que les tangentes issues du même point extérieur sont de même longueur. Ainsi, nous savons que le segment 𝐴𝐵 est égal au segment 𝐴𝐶. On connaît la longueur de 𝐴𝐵. C’est 21 centimètres. Et on nous a donné une expression pour la longueur de 𝐴𝐶. C’est deux 𝑥 plus cinq centimètres. Donc, en les égalisant, nous pouvons former une équation, deux 𝑥 plus cinq égale 21.
Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑥. Nous soustrayons d’abord cinq de chaque côté, ce qui nous donne deux 𝑥 égale 16, puis nous divisons par deux, pour obtenir 𝑥 égale huit. En utilisant la propriété clé selon laquelle les tangentes issues du même point extérieur sont de même longueur, nous avons trouvé la valeur de 𝑥. Ainsi, 𝑥 est égal à huit.
Cet exemple implique la résolution d’une équation linéaire simple. Mais des exemples plus compliqués de ce type peuvent impliquer d’établir et de résoudre un système d’équations. L’algèbre est peut-être plus compliquée, mais les principes utilisés seront les mêmes.
Récapitulons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Nous avons introduit deux propriétés clés des tangentes à des cercles. Premièrement, une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Et par extension, elle est également perpendiculaire au diamètre du cercle en ce point. Deuxièmement, nous avons vu et prouvé la propriété selon laquelle les tangentes issues du même point extérieur à un cercle sont de même longueur. Sur cette figure, cela signifie que 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐶. Nous avons également vu que nous pouvons utiliser ces propriétés avec d’autres règles sur les angles et le théorème de Pythagore pour déterminer les mesures des angles et les longueurs des côtés manquants dans les problèmes impliquant des tangentes à des cercles.
