Video Transcript
Dans une étude portant sur la relation entre les notes des élèves en mathématiques et en sciences, six élèves ont obtenu les résultats suivants. Déterminez le coefficient de corrélation de Spearman. Arrondissez votre réponse au millième près.
Le coefficient de corrélation de Spearman s’applique à ce qu’on appelle des données à deux variables. C’est-à-dire des données où chaque point est représenté par deux variables. Dans notre cas, nous pouvons dire que chaque point de l’ensemble de données se compose des notes d’un étudiant donné. Les deux variables en question sont, d’abord, la note de l’étudiant en mathématiques, puis la note de l’étudiant en sciences. Nous avons donc un ensemble de données à deux variables et nous pouvons donc calculer le coefficient de corrélation de Spearman.
Alors, il est intéressant de noter que ce coefficient ne concerne pas directement la valeur de l’ensemble de données. Il décrit plutôt ce qu’on appelle le rang relatif de ces données. Pour voir ce que cela signifie, ajoutons deux autres lignes au tableau. Cette ligne représente le rang de la note en mathématiques des élèves et celle-ci le rang de la note en sciences. Pour compléter ces lignes, nous allons attribuer un nombre à chaque lettre. Nous allons attribuer ce nombre de sorte que la note la plus basse de chaque ligne corresponde au rang le plus bas. Cela signifie que la note la plus basse dans une ligne donnée correspond au rang un, la note la plus basse suivante correspond au rang deux et ainsi de suite.
En regardant la liste de notes en mathématiques, nous voyons tout de suite un problème. Il y a en fait trois élèves avec la note la plus basse en mathématiques. Techniquement, il s’agit du premier, du deuxième et du troisième rang. Seulement, comme ils correspondent tous à la même note, il n’est pas logique de leur attribuer les rangs un, deux et trois. Au lieu de cela, nous allons prendre la moyenne de ces trois rangs. La moyenne de un, deux et trois vaut deux. Nous allons donc dire que le rang de la note 𝐷 en mathématiques est deux.
En regardant la note de mathématiques suivante, nous voyons qu’il y a deux notes 𝐵. Il s’agit donc du quatrième et du cinquième rang les plus bas de l’ensemble des notes de mathématiques. Seulement, au lieu de leur attribuer des rangs différents, puisqu’ils correspondent à la même note, nous allons leur attribuer de même la moyenne de ces deux rangs, quatre et cinq. La moyenne de quatre et cinq vaut 4,5. Enfin, nous avons la sixième note la plus basse ou la note la plus élevée, 𝐴. Puisque nous nous classons du plus petit au plus grand, le rang de cette note sera de six.
Nous avons maintenant classé les notes de mathématiques et nous pouvons passer au classement en sciences. Encore une fois, nous classerons les notes faibles avec des rangs faibles. Commençons donc avec la note la plus basse, 𝐹. Son rang est de un. La note suivante la plus basse est 𝐶, pour trois étudiants. Ces notes ont donc le deuxième, troisième et le quatrième rang. En prenant la moyenne de ces rangs, nous obtenons un résultat de trois. Ensuite, il y a la note 𝐵. Elle correspond au cinquième rang le plus bas. Enfin, il y a la note 𝐴 qui a le sixième rang le plus bas.
Maintenant que nous connaissons le classement relatif de chacun de ces points de données, nous avons déterminé les nombres que le coefficient de corrélation de Spearman mesure réellement. Plus précisément, ce coefficient mesure les différences entre le classement en mathématiques et le classement en sciences. Ce que nous pouvons faire alors, c’est ajouter une autre ligne à notre tableau. Cette ligne 𝑑 indice 𝑖 représente les différences entre les rangs des notes en mathématiques et en sciences. Ainsi, pour le premier point de données, les notes du premier élève, cette différence de rangs est égale à deux moins trois, soit moins un. Ensuite, pour le deuxième étudiant, nous avons 4,5 moins trois, soit 1,5. Puis, nous continuons le long de la ligne. Six moins cinq est égal à un. 4,5 moins six est égal à moins 1,5. Deux moins trois est égal à moins un. Enfin, deux moins un est égal à un.
À ce stade, nous pouvons rappeler l’équation du coefficient de corrélation de Spearman. Ce coefficient est égal à un moins six fois la somme, c’est ce que ce symbole 𝛴 signifie, de toutes les différences 𝑑 indice i au carré divisé par 𝑛, où 𝑛 est le nombre de points de données de notre ensemble de données, fois 𝑛 carré moins un. Nous voyons alors que pour calculer ce coefficient, nous avons besoin de deux informations. Tout d’abord, il nous faut la somme de tous les termes 𝑑 indice i au carré. Deuxièmement, il nous faut le nombre de points de l’ensemble de données. Puisque nous avons six notes d’élèves dans notre cas, nous savons que 𝑛 est égal à six. Pour nous aider à déterminer la somme de 𝑑 indice 𝑖 au carré, nous pouvons ajouter une dernière ligne dans le tableau.
Pour compléter cette ligne, nous allons simplement mettre les valeurs de la ligne d indice i au carré. Moins un carré est égal à un. 1,5 au carré est égal à 2,25. Un carré est égal à un et ainsi de suite. Pour calculer la somme des 𝑑 indice 𝑖 au carré, il faut additionner toutes les valeurs de cette dernière ligne. Un plus 2,25 plus un plus 2,25 plus un plus un est égal à 8,5. Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur dans l’équation du coefficient de corrélation de Spearman. En remplaçant la somme des 𝑑 indice 𝑖 au carré par 8,5 et 𝑛 par 6, nous obtenons cette expression pour le coefficient. Notons que dans cette fraction, nous pouvons simplifier par un facteur six au numérateur et au dénominateur. Parallèlement à cela, puisque six au carré est égal à 36, nous pouvons réécrire la fraction comme 8,5 sur 35. Tout cela est égal à une valeur décimale de 0,757142 etc.
Cependant, rappelons que nous voulons arrondir le résultat au millième près. Puisque la quatrième décimale est inférieure à cinq, le résultat arrondi est de 0,757. Il s’agit donc du coefficient de corrélation de Spearman au millième près.
