Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à dériver les formules d'addition et de différence graphiquement ou à partir du cercle trigonométrique, et à les utiliser pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques. Les formules trigonométriques de la somme et différence des angles ont été utilisées en mathématiques pendant des siècles pour résoudre des problèmes de la vie courante. Les anciens Grecs utilisaient ces formules pour résoudre des problèmes d’astronomie, tels que les distances entre la Terre et le Soleil. Avant d’essayer de dériver certaines de ces formules ou de les utiliser pour résoudre des problèmes, rappelons quelles sont les formules de la somme et de la différence. Pour les formules de la somme d’angles, on a sinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal à sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 plus cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Cosinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal à cosinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins sinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Et enfin, tangente de 𝐴 plus 𝐵 sera égal à tangente de 𝐴 plus tangente de 𝐵 le tout sur un moins tangente de 𝐴 fois tangente de 𝐵.
Notez ici que les variables 𝐴 et 𝐵 peuvent représenter n’importe quelle mesure d’angle, et cela fonctionne avec les radians et les degrés. Parfois, vous pourriez voir ces mesures d’angle représentées par les variables 𝑥 et 𝑦 ou même les lettres grecques 𝛼 et 𝛽. On utilise la formule de la somme d’angles lorsque on veut décomposer un grand angle en deux angles plus petits. En général, on connait déjà les valeurs du sinus et du cosinus pour les deux petits angles, ce qui nous aide à calculer le sinus, le cosinus ou la tangente d’un plus grand angle. Nous savons donc que sinus de 𝐴 moins 𝐵 est égal à sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Cosinus de 𝐴 moins 𝐵 est égal à cosinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 plus sinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Et tangente de 𝐴 moins 𝐵 est égal à tangente de 𝐴 moins tangente de 𝐵 le tout sur un plus tangente de 𝐴 fois tangente de 𝐵.
Maintenant, nous allons prendre cette première formule de la somme d’angles et démontrer géométriquement qu’elle est vraie. Pour prouver que sinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal à sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 plus cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵, on peut utiliser ce qu’on sait des triangles rectangles. Supposons que nous ayons un triangle rectangle et que nous savons que l’un de ces angles mesure 𝐵 degrés. Au-dessus, se trouve le triangle rectangle 𝐷𝐶𝑋, qui a un angle qui mesure 𝐴 degrés. En traçant une perpendiculaire de 𝐷 à la droite 𝑋𝑌, nous avons créé un troisième triangle rectangle, et ce troisième triangle rectangle a un angle de 𝐴 plus 𝐵.
On peut ensuite utiliser cette figure pour obtenir une preuve géométrique. Soit la distance de 𝑋 à 𝐷 égale un. Dans notre figure, quel est le sinus de 𝐴 plus 𝐵 ? Ce serait à l’intérieur du triangle 𝐷𝐹𝑋. Et nous savons que dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est égal à la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. Ainsi, sinus de 𝐴 plus 𝐵 sera égal à la longueur du côté 𝐷𝐹 sur un. Dans notre figure, on peut diviser 𝐷𝐹 en deux plus petites parties. Si on appelle ce point 𝐸, alors on peut dire que 𝐷𝐹 est égal à 𝐷𝐸 plus 𝐸𝐹.
Maintenant, nous voulons voir si on peut trouver le sinus ou cosinus de l’angle 𝐴 et le sinus ou cosinus de l’angle 𝐵. Si on considère le triangle rectangle qui inclut l’angle 𝐴, on remarque qu’il a une hypoténuse de un, ce qui signifie que le sinus de l’angle 𝐴 sera la longueur du côté opposé 𝐷𝐶 sur un, ce qui est simplement 𝐷𝐶. Et nous pouvons appeler cette longueur sinus de 𝐴. De même, pour cosinus de 𝐴, nous savons que le cosinus d’un angle est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Ici, on a la longueur du côté 𝑋𝐶 sur un, ce qui est simplement 𝑋𝐶. Et donc nous pouvons appeler cette longueur cosinus de 𝐴.
Maintenant, nous allons considérer le triangle rectangle contenant l’angle 𝐵. Pour trouver le sinus de l’angle 𝐵, on a la longueur du côté opposé, 𝐶𝑌, sur l’hypoténuse, qui est ici le cosinus de l’angle 𝐴. À ce stade, nous remarquons quelque chose d’intéressant. Nous avons une équation dans laquelle il y a deux termes, cosinus de 𝐴 et sinus de 𝐵. On peut réorganiser cette équation en multipliant les deux membres par cosinus de 𝐴. Et puis on voit que le segment 𝐶𝑌 est égal à cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Nous savons déjà que sinus de 𝐴 plus 𝐵 sera égal au segment 𝐷𝐸 plus le segment 𝐸𝐹. Et maintenant, nous disons que cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵 est égal au segment 𝐶𝑌. Mais nous voulons poser la question, peut-on relier le segment 𝐸𝐹 au segment 𝐶𝑌 ?
Si nous examinons notre figure, le segment 𝐶𝑌 et le segment 𝐸𝐹 se trouvent dans un rectangle, et ils sont opposés. Cela signifie que le segment 𝐶𝑌 est égal en longueur au segment 𝐸𝐹. Et nous pouvons remplacer cette valeur par cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Maintenant, on a le segment 𝐸𝐹 des deux membres de cette équation. Et cela signifie que nous voulons poser la question, peut-on relier sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 au segment 𝐷𝐸 ? Le segment 𝐷𝐸 est ici. Et si nous remarquons que le segment 𝐸𝐶 et le segment 𝑋𝑌 sont parallèles, ils sont coupés par la sécante 𝑋𝐶, ce qui signifie qu’on peut dire que cet angle est égal à l’angle 𝐵. Et puis on peut dire que cet angle est de 90 moins 𝐵. Par conséquent, cet angle est aussi l’angle 𝐵.
Si on utilise cet angle comme l’angle 𝐵, on peut dire que le cosinus de l’angle 𝐵 est égal à la longueur du côté adjacent 𝐷𝐸 sur son hypoténuse, qui est le sinus de 𝐴. On a donc cosinus de 𝐵 est égal à 𝐷𝐸 sur sinus de 𝐴. Et si on multiplie les deux membres de cette équation par sinus de 𝐴, on obtient que le segment 𝐷𝐸 est égal à sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵. Si on remplace sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 par le segment 𝐷𝐸, on a montré que, sur cette figure, sinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal au segment 𝐷𝐸 plus le segment 𝐸𝐹. Sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 est égal au segment 𝐷𝐸. Cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵 est égal au segment 𝐸𝐹. Et par conséquent, le segment 𝐷𝐸 plus le segment 𝐸𝐹 est égal au segment 𝐷𝐸 plus le segment 𝐸𝐹.
Il serait également possible d’utiliser cette figure pour dériver cosinus de 𝐴 plus 𝐵 et ensuite trouver tangente de 𝐴 plus 𝐵. Mais vous pouvez le faire un autre jour. Pour l’instant, regardons quelques exemples dans lesquels on utilise les formules de la somme et la différence d’angles. Pour résoudre les problèmes avec les formules de la somme et la différence d’angles, on doit souvent reconnaître des schémas et / ou réorganiser des équations. Voyons donc notre premier exemple.
Simplifiez cosinus de deux 𝑋 fois cosinus de 22𝑋 moins sinus de deux 𝑋 fois sinus de 22𝑋.
Lorsqu’on examine cette expression, on constate qu’on a l’angle deux 𝑋 et l’angle 22𝑋. On a cosinus et sinus de l’angle deux 𝑋, et on a cosinus et sinus de l’angle 22𝑋, ce qui signifie qu’il s’agit d’une expression sous la forme cosinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins sinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Et nous pouvons simplifier cette expression en utilisant les formules de la somme d’angles. Nous savons que cosinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins sinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵 est égal à cosinus de 𝐴 plus 𝐵. Dans notre cas, l’angle 𝐴 est de deux 𝑋 et l’angle 𝐵 est de 22𝑋, ce qui rend cette expression égale à cosinus de deux 𝑋 plus 22𝑋, cosinus de 24𝑋. Et donc la forme simplifiée de cette expression est cosinus de 24𝑋.
Nous pouvons à présent voir un autre exemple.
Sachant que sinus de 60 degrés fois cosinus de 30 degrés moins cosinus de 60 degrés fois sinus de 30 degrés est égal à sinus de 𝜃 degrés, déterminez la valeur de 𝜃 en degrés.
Lorsqu’on regarde cette équation, on remarque qu’on a affaire à deux angles de 60 degrés et à deux angles de 30 degrés. Et cela devrait nous rappeler d’une formule de la somme ou différence d’angles. C’est-à-dire sinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins cosinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵 est égal à sinus de 𝐴 moins 𝐵. Si on définit 𝐴 comme égale à 60 degrés et 𝐵 égale à 30 degrés, on peut écrire l’angle 𝜃 en fonction de 𝐴 et 𝐵. 𝜃 sera égal à 𝐴 moins 𝐵. 𝜃 sera alors égal à 60 degrés moins 30 degrés, ce qui est égal à 30 degrés. En utilisant les formules de la différence d’angles, on peut montrer que 𝜃 ici est égale à 30 degrés.
Dans notre exemple suivant, on nous donne les valeurs de cosinus de deux petits angles et on nous demande de trouver leur valeur de cosinus combinée.
Calculez cosinus de 𝐴 plus 𝐵 sachant que cosinus de 𝐴 est égal à 15 sur 17 et cosinus de 𝐵 est égal à cinq sur 13, où 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus.
Lorsque nous voyons ce cosinus de 𝐴 plus 𝐵, cela devrait nous rappeler nos formules de la somme d’angles. Nous savons que cosinus de 𝐴 plus 𝐵 est égal à cosinus de 𝐴 fois cosinus de 𝐵 moins sinus de 𝐴 fois sinus de 𝐵. Nous avons suffisamment d’informations pour le premier terme puisque nous connaissons déjà la valeur de cosinus de 𝐴 et cosinus de 𝐵. Alors, comment peut-on trouver le sinus de 𝐴 et le sinus de 𝐵 si on connait les rapports de cosinus ? Ce sont des angles aigus. Et donc, une stratégie pour trouver sinus de 𝐴 et sinus de 𝐵 serait de faire des triangles rectangles avec ces proportions.
Tout d’abord, on peut tracer un triangle rectangle avec l’angle 𝐴. Nous savons que la relation cosinus sera égale à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et donc on appelle le côté adjacent à 𝐴 15 et l’hypoténuse 17. Pour trouver la relation sinus, nous devons connaître cette longueur du côté opposé, ce qui signifie que nous devons utiliser le théorème de Pythagore. Nous allons appeler notre côté inconnu petit 𝑎. Et puis nous aurons 17 au carré égale 𝑎 au carré plus 15 au carré, ce qui nous donnera 289 est égal à 𝑎 au carré plus 225. Pour déterminer 𝑎, on soustrait 225 des deux membres, et on obtient 64 est égal à 𝑎 au carré. En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient 𝑎 égal à huit.
Nous ne sommes intéressés que par la positive de la racine carrée puisqu’il s’agit d’une distance. Si 𝑎 est égal à huit, alors le sinus de l’angle 𝐴 sera égal à huit sur 17. Si nous considérons un deuxième triangle rectangle avec l’angle 𝐵, la longueur de son côté adjacent est cinq et son hypoténuse est 13. Nous devons reconnaître qu’il s’agit d’un triplet de Pythagore. C’est un ensemble d’entiers positifs qui se produisent dans le rapport 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Et puisque nous savons que l’hypoténuse est 13 et l’un des côtés est cinq, c’est un triangle avec les côtés mesurant cinq, 12, 13. Et par conséquent, la longueur du côté adjacent sera de 12 et le sinus de l’angle 𝐵 est de 12 sur 13. Et nous pouvons introduire cette valeur. 15 sur 17 fois cinq sur 13 est égal à 75 sur 221. Huit sur 17 fois 12 sur 13 est égal à 96 sur 221, ce qui rend cosinus de 𝐴 plus 𝐵 égal à moins 21 sur 221.
Avant de terminer, nous allons voir un dernier exemple avec des triangles rectangles et dans lequel on combine deux angles différents.
La figure montre le triangle 𝐴𝐵𝐶. Sachant que 𝐴𝐷 est perpendiculaire à 𝐵𝐶, 𝐴𝐷 est égal à 15 centimètres, 𝐵𝐷 est égal à 10 centimètres et 𝐶𝐷 est égal à sept centimètres, déterminez la valeur de tangente de 𝑥 plus 𝑦.
Nous allons commencer par remplir notre schéma. 𝐴𝐷 est égal à 15 centimètres, 𝐵𝐷 est égal à 10 centimètres et 𝐶𝐷 est égal à sept centimètres. Nous sommes intéressés par la tangente de cet angle, l’angle 𝑥 plus 𝑦. Cependant, cet angle se trouve dans un triangle qui n’est pas un triangle rectangle, nous aurons donc besoin d’une autre stratégie pour trouver cet angle. En examinant, on constate que l’angle 𝑥 et l’angle 𝑦 sont situés dans des triangles rectangles. Cela signifie qu’il est possible de trouver la valeur de la tangente de 𝑥 et la valeur de la tangente de 𝑦. Et par notre formule de la somme d’angles, nous savons que tangente de 𝐴 plus 𝐵 est égal à tangente de 𝐴 plus tangente de 𝐵 le tout sur un moins tangente de 𝐴 fois tangente de 𝐵.
La tangente d’un angle dans un triangle rectangle est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Pour l’angle 𝑥, la longueur du côté opposé est 10 et la longueur du côté adjacent est 15. Tangente de 𝑥 est égal à 10 sur 15. Pour trouver tangente de 𝑦, on a la longueur du côté opposé qui est sept sur la longueur du côté adjacent qui est 15. Ainsi, tangente de 𝑦 est égal à sept sur quinze. Ainsi, tangente de 𝑥 plus 𝑦 est égal à 10 sur 15 plus sept sur 15 le tout sur un moins 10 sur 15 fois sept sur 15. Notre numérateur devient 17 sur 15.
Avant de faire cette multiplication dans le dénominateur, nous pouvons simplifier. 10 sur 15 devient deux tiers, et deux tiers fois sept sur quinze est égal à 14 sur 45. Dans le dénominateur, puisqu’on a un moins 14 sur 45, on peut réécrire un comme 45 sur 45. 45 moins 14 est égal à 31. Cela signifie qu’on divise dix-sept sur quinze par 31 sur 45. Et pour diviser par une fraction, on multiplie par l’inverse. On a dix-sept sur quinze fois 45 sur 31. 45 divisé par 15 donne trois. 17 fois trois est égal à 51, ce qui donne tangente de 𝑥 plus 𝑦 est égal à 51 sur 31.
Avant de terminer, résumons les points clés de cette vidéo. On peut utiliser les formules de la somme et la différence pour simplifier les expressions impliquant deux angles. Il existe trois formules de la somme d’angles pour sinus de 𝐴 plus 𝐵, cosinus de 𝐴 plus 𝐵 et tangente de 𝐴 plus 𝐵 et trois formules de la différence d’angles pour sinus de 𝐴 moins 𝐵, cosinus de 𝐴 moins 𝐵 et tangente de 𝐴 moins 𝐵, elles sont toutes listées ici.
