Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à dériver les formules d'addition et de différence graphiquement ou à partir du cercle trigonométrique, et à les utiliser pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques.
Les identités trigonométriques ou formules d’addition et de soustraction d’angles sont utilisées en mathématiques depuis des siècles pour résoudre des problèmes de la vie courante. Les Grecs anciens utilisaient ces formules pour résoudre des problèmes d’astronomie tels que la recherche de la distance entre la Terre et le Soleil.
On considère l’expression . On va utiliser le cercle trigonométrique pour démontrer l’identité trigonométrique concernant la somme d’angles.
La figure suivante montre une partie du cercle trigonométrique tel que , et sont de longueur unitaire et est composé de deux angles, et , où et . On observe que est en position standard et que le côté initial de est le côté final de . Les points et sont les points d’intersections des côtés finaux de et avec le cercle trigonométrique.
On va ajouter quelques segments perpendiculaires à ce schéma pour créer une série de triangles rectangles auxquels on peut appliquer la trigonométrie des triangles rectangles : est perpendiculaire à , et sont perpendiculaires à l’axe des et est perpendiculaire à comme indiqué.
On observe ensuite que et , car la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à . Donc car des angles opposés par le sommet sont égaux ; par conséquent, . En outre, , comme indiqué sur le schéma suivant.
Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles sur le triangle permet de trouver une relation entre et :
Cependant, comme ,
Puis, en utilisant le sinus dans le triangle ,
En utilisant le cosinus dans le triangle ,
Par conséquent,
De même, pour le triangle , ,
Et pour le triangle ,
Par conséquent,
En combinant les équations (1), (2) et (3), on obtient la formule du sinus pour l’addition d’angles :
Ceci est une démonstration de l’une des trois formules trigonométriques pour l’addition d’angles. Bien que nous ayons fait des hypothèses sur et , et , notre démonstration peut être généralisée pour tous les angles et . Nous pouvons adopter une approche similaire pour démontrer que .
Définition : Formules trigonométriques de l’addition et la soustraction d’angles
Pour tous angles et mesurés en degrés ou en radians,
Par exemple, on considère l’expression . En écrivant l’angle comme ou similaire, on peut utiliser la formule du cosinus pour l’addition d’angles et les valeurs trigonométriques exactes pour déterminer la valeur de l’expression.
En posant et , on obtient
Le tableau des valeurs trigonométriques exactes permet de trouver la valeur de l’expression assez facilement. On rappelle que pour un angle mesuré en degrés, on a
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 0 |
Par conséquent,
Nous allons maintenant montrer comment appliquer ces formules pour résoudre des problèmes plus complexes qui nécessitent de reconnaître leur forme générale.
Exemple 1: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier des expressions trigonométriques
Simplifiez .
Réponse
On doit d’abord reconnaître que l’on a deux angles, et , donnés sous la forme . On rappelle que pour deux angles quelconques et ,
En posant et , on obtient
Par conséquent, se simplifie par .
Dans cet exemple, nous avons montré comment être capable de reconnaître la forme d’une formule trigonométrique pour l’addition ou la soustraction d’angles peut nous aider à simplifier une expression. Nous allons maintenant répéter ce processus avec la formule du sinus pour la soustraction d’angles.
Exemple 2: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour déterminer la valeur des expressions trigonométriques impliquant des angles spéciaux
Sachant que , déterminez la valeur de sachant que l’angle est aigu.
Réponse
Cette équation contient deux angles de et donnés sous la forme . On peut reconnaître qu’il s’agit de la même forme que la formule du sinus pour la soustraction d’angles,
En posant et , on obtient
En égalisant l’angle de l’expression et celui de la question,
Dans les exemples précédents, nous avons montré comment appliquer les identités du sinus et du cosinus. Nous allons maintenant simplifier une expression de la tangente d’un angle.
Exemple 3: Utiliser les formules de la tangente pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier une expression trigonométrique
Simplifiez .
Réponse
Pour répondre à cette question, on doit reconnaître que cette expression contient deux angles de et qui sont donnés sous la forme . Il s’agit de la même forme que la formule de la tangente pour l’addition d’angles qui stipule que pour tous angles et ,
En posant et , on a
Par conséquent, l’expression peut être simplifiée par , qui est la réponse A.
Dans les premiers exemples, nous avons utilisé les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier des expressions impliquant les fonctions trigonométriques. Dans le prochain exemple, nous allons combiner ces formules avec la trigonométrie des triangles rectangles.
Exemple 4: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique de la somme de deux angles à partir de leurs cosinus et de leurs quadrants
Déterminez sachant que et , où et sont des angles aigus.
Réponse
On rappelle que la formule du cosinus pour l’addition d’angles stipule que pour tous angles et ,
Comme on connaît les valeurs de et , si on peut trouver et , on pourra calculer la valeur de . Sachant que est un angle aigu et que pour un triangle rectangle d’angle interne , on peut construire un triangle rectangle d’angle interne , son côté adjacent mesurant 15 unités et son hypoténuse mesurant 17 unités.
En utilisant le sinus alors, en utilisant le théorème de Pythagore, on peut déterminer la longueur du côté opposé :
Comme il s’agit d’une longueur, on ne conserve que de la racine carrée positive , ce qui donne
On répète ensuite ce processus pour trouver en utilisant un triangle rectangle et le théorème de Pythagore. Comme , on construit le triangle rectangle ci-dessous.
On trouve alors
Par conséquent,
Enfin, on substitue les valeurs de , , et dans la formule du cosinus pour l’addition d’angles :
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser nos connaissances des formules trigonométriques pour l’addition d’angles pour déterminer la relation tangente dans un triangle non-rectangle.
Exemple 5: Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour trouver la valeur de la tangente de la somme de deux angles dans un triangle
La figure montre un triangle . Sachant que est perpendiculaire à , , et , déterminez la valeur de .
Réponse
Le triangle n’est pas un triangle rectangle. Cependant, on sait que est perpendiculaire à donc le triangle et le triangle sont deux triangles rectangles. En utilisant la trigonométrie des triangles rectangles, on peut déterminer les valeurs de et . Une fois que l’on a ces valeurs, on peut utiliser la formule de la tangente pour l’addition d’angles pour trouver .
Dans les triangles rectangles, ; par conséquent,
On substitue ensuite ces valeurs dans la formule de la tangente pour l’addition d’angles :
Par conséquent,
Dans les exemples précédents, nous avons vu comment les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles peuvent nous aider à simplifier des expressions algébriques en utilisant des valeurs exactes. Il est important de réaliser que nous pouvons également utiliser ces formules pour nous aider à simplifier des expressions dont la valeur peut être calculée à l’aide d’une calculatrice.
Exemple 6: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles
Déterminez la valeur exacte de .
Réponse
On rappelle que les formules du cosinus pour l’addition et la soustraction d’angles stipulent que pour tous angles et ,
On peut remarquer que l’expression peut être factorisée comme
On cherche ensuite un moyen de manipuler et pour créer une expression avec des termes ayant le même angle.
On écrit et
Puis, en utilisant la formule du cosinus pour l’addition d’angles,
Et
Par conséquent,
On peut utiliser les valeurs exactes ou taper ceci dans une calculatrice pour démontrer que
Nous allons maintenant récapituler certains des concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles peuvent être utilisées pour simplifier des expressions impliquant la somme ou la différence de deux angles et pour déterminer la valeur des expressions trigonométriques.
- Les formules peuvent être démontrées en utilisant le cercle trigonométrique et la trigonométrie des triangles rectangles.
- Pour tous angles et ,
