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Fiche explicative de la leçon : Formules d’addition et de différence Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à dériver les formules d'addition et de différence graphiquement ou à partir du cercle trigonométrique, et à les utiliser pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques.

Les identités trigonométriques ou formules d’addition et de soustraction d’angles sont utilisées en mathématiques depuis des siècles pour résoudre des problèmes de la vie courante. Les Grecs anciens utilisaient ces formules pour résoudre des problèmes d’astronomie tels que la recherche de la distance entre la Terre et le Soleil.

On considère l’expression sin(𝛼+𝛽). On va utiliser le cercle trigonométrique pour démontrer l’identité trigonométrique concernant la somme d’angles.

La figure suivante montre une partie du cercle trigonométrique tel que 𝑂𝑃, 𝑂𝐴 et 𝑂𝐵 sont de longueur unitaire et 𝑂 est composé de deux angles, 𝛼 et 𝛽, 𝛼+𝛽<90 et 𝛼;𝛽>0. On observe que 𝛼 est en position standard et que le côté initial de 𝛽 est le côté final de 𝛼. Les points 𝐴 et 𝑃 sont les points d’intersections des côtés finaux de 𝛼 et 𝛽 avec le cercle trigonométrique.

On va ajouter quelques segments perpendiculaires à ce schéma pour créer une série de triangles rectangles auxquels on peut appliquer la trigonométrie des triangles rectangles: 𝑃𝑅 est perpendiculaire à 𝐴𝑂, 𝑃𝑇 et 𝑅𝑆 sont perpendiculaires à l’axe des 𝑥 et 𝑄𝑅 est perpendiculaire à 𝑃𝑇 comme indiqué.

On observe ensuite que 𝑃𝑅𝐶=90 et 𝑂𝐶𝑇=90𝛼, car la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180. Donc 𝑃𝐶𝑅=90𝛼 car des angles opposés par le sommet sont égaux. Par conséquent, 𝑇𝑃𝑅=180(90+90𝛼)=𝛼. En outre, 𝑄𝑇=𝑅𝑆, comme indiqué sur le schéma suivant.

Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles sur le triangle 𝑂𝑃𝑇 permet de trouver une relation entre sin(𝛼+𝛽) et 𝑃𝑇: sin(𝛼+𝛽)=𝑃𝑇1=𝑃𝑇.

Cependant, comme 𝑃𝑇=𝑃𝑄+𝑄𝑇=𝑃𝑄+𝑅𝑆,

sin(𝛼+𝛽)=𝑃𝑄+𝑅𝑆.(1)

Puis, en utilisant le sinus dans le triangle 𝑂𝑅𝑃, sin𝛽=𝑃𝑅1=𝑃𝑅.

En utilisant le cosinus dans le triangle 𝑃𝑄𝑅, coscos𝛼=𝑃𝑄𝑃𝑅𝑃𝑄=𝑃𝑅𝛼.

Par conséquent,

𝑃𝑄=𝛽𝛼.sincos(2)

De même, pour le triangle 𝑂𝑆𝑅 , sinsin𝛼=𝑅𝑆𝑅𝑂𝑅𝑆=𝑅𝑂𝛼.,

Et pour le triangle 𝑂𝑅𝑃, cos𝛽=𝑅𝑂1=𝑅𝑂.

Par conséquent,

𝑅𝑆=𝛽𝛼.cossin(3)

En combinant les équations (1), (2) et (3), on obtient la formule du sinus pour l’addition d’angles: sinsincossincos(𝛼+𝛽)=𝛼𝛽+𝛽𝛼.

Ceci est une démonstration de l’une des trois formules trigonométriques pour l’addition d’angles. Bien que nous ayons fait des hypothèses sur 𝛼 et 𝛽, 𝛼+𝛽<90 et 𝛼;𝛽>0, notre démonstration peut être généralisée pour tous les angles 𝛼 et 𝛽. Nous pouvons adopter une approche similaire pour démontrer que coscoscossinsin(𝛼+𝛽)=(𝛼)(𝛽)(𝛼)(𝛽).

Définition : Formules trigonométriques de l’addition et la soustraction d’angles

Pour tous angles 𝛼 et 𝛽 mesurés en degrés ou en radians, sinsincossincoscoscoscossinsintantantantantan(𝛼±𝛽)𝛼𝛽±𝛽𝛼;(𝛼±𝛽)(𝛼)(𝛽)(𝛼)(𝛽);(𝛼±𝛽)𝛼±𝛽1𝛼𝛽.

Par exemple, on considère l’expression cos120. En écrivant l’angle 120 comme 90+30 ou similaire, on peut utiliser la formule du cosinus pour l’addition d’angles et les valeurs trigonométriques exactes pour déterminer la valeur de l’expression.

En posant 𝛼=90 et 𝛽=30, on obtient coscoscoscossinsin120=(90+30)=90309030.

Le tableau des valeurs trigonométriques exactes permet de trouver la valeur de l’expression assez facilement. On rappelle que pour un angle 𝜃 mesuré en degrés, on a

𝜃030456090
sin𝜃01222321
cos𝜃13222120

Par conséquent, cos120=0×321×12=12.

Nous allons maintenant montrer comment appliquer ces formules pour résoudre des problèmes plus complexes qui nécessitent de reconnaître leur forme générale.

Exemple 1: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier des expressions trigonométriques

Simplifiez coscossinsin2𝑋22𝑋2𝑋22𝑋.

Réponse

On doit d’abord reconnaître que l’on a deux angles, 2𝑋 et 22𝑋, donnés sous la forme coscossinsin(𝛼)(𝛽)(𝛼)(𝛽). On rappelle que pour deux angles quelconques 𝛼 et 𝛽, coscoscossinsin(𝛼+𝛽)=𝛼𝛽𝛼𝛽.

En posant 𝛼=2𝑋 et 𝛽=22𝑋, on obtient coscossinsincoscos(2𝑋)(22𝑋)(2𝑋)(22𝑋)=(2𝑋+22𝑋)=(24𝑋).

Par conséquent, coscossinsin2𝑋22𝑋2𝑋22𝑋 se simplifie par cos(24𝑋).

Dans cet exemple, nous avons montré comment être capable de reconnaître la forme d’une formule trigonométrique pour l’addition ou la soustraction d’angles peut nous aider à simplifier une expression. Nous allons maintenant répéter ce processus avec la formule du sinus pour la soustraction d’angles.

Exemple 2: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour déterminer la valeur des expressions trigonométriques impliquant des angles spéciaux

Sachant que sincoscossinsin60306030=𝜃, déterminez la valeur de 𝜃 sachant que l’angle est aigu.

Réponse

Cette équation contient deux angles de 30 et 60 donnés sous la forme sincoscossin𝛼𝛽𝛼𝛽. On peut reconnaître qu’il s’agit de la même forme que la formule du sinus pour la soustraction d’angles, sinsincoscossin(𝛼𝛽)=𝛼𝛽𝛼𝛽.

En posant 𝛼=60 et 𝛽=30, on obtient sincoscossinsinsin60306030=(6030)=(30).

En égalisant l’angle de l’expression et celui de la question, 𝜃=30.

Dans les exemples précédents, nous avons montré comment appliquer les identités du sinus et du cosinus. Nous allons maintenant simplifier une expression de la tangente d’un angle.

Exemple 3: Utiliser les formules de la tangente pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier une expression trigonométrique

Simplifiez tantantantan33+299133299.

  1. tan332
  2. tan226
  3. tantan33299
  4. 233229tantan

Réponse

Pour répondre à cette question, on doit reconnaître que cette expression contient deux angles de 33 et 299 qui sont donnés sous la forme tantantantan(𝛼)+(𝛽)1(𝛼)(𝛽). Il s’agit de la même forme que la formule de la tangente pour l’addition d’angles qui stipule que pour tous angles 𝛼 et 𝛽, tantantantantan(𝛼+𝛽)=(𝛼)+(𝛽)1(𝛼)(𝛽).

En posant 𝛼=33 et 𝛽=299 , on a tantantantantantan33+299133299=(33+299)=332.

Par conséquent, l’expression peut être simplifiée par tan332, qui est la réponse A.

Dans les premiers exemples, nous avons utilisé les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles pour simplifier des expressions impliquant les fonctions trigonométriques. Dans le prochain exemple, nous allons combiner ces formules avec la trigonométrie des triangles rectangles.

Exemple 4: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique de la somme de deux angles à partir de leurs cosinus et de leurs quadrants

Déterminez cos(𝐴+𝐵) sachant que cos𝐴=1517 et cos𝐵=513, 𝐴 et 𝐵 sont des angles aigus.

Réponse

On rappelle que la formule du cosinus pour l’addition d’angles stipule que pour tous angles 𝐴 et 𝐵, coscoscossinsin(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵.

Comme on connaît les valeurs de cos𝐴 et cos𝐵, si on peut trouver sin𝐴 et sin𝐵, on pourra calculer la valeur de cos(𝐴+𝐵). Sachant que 𝐴 est un angle aigu et que cosadjacenthypoténuse𝜃= pour un triangle rectangle d’angle interne 𝜃, on peut construire un triangle rectangle d’angle interne 𝐴, son côté adjacent mesurant 15 unités et son hypoténuse mesurant 17 unités.

En utilisant le sinus sin𝐴=𝑎17; alors, en utilisant le théorème de Pythagore, on peut déterminer la longueur du côté opposé: 𝑎+15=17𝑎=1715𝑎=64.

Comme il s’agit d’une longueur, on ne conserve que de la racine carrée positive 𝑎=8, ce qui donne sin𝐴=817.

On répète ensuite ce processus pour trouver sin𝐵 en utilisant un triangle rectangle et le théorème de Pythagore. Comme cos𝐵=513, on construit le triangle rectangle ci-dessous.

On trouve alors 5+𝑏=13𝑏=135𝑏=144𝑏=12.

Par conséquent, sin𝐵=1213.

Enfin, on substitue les valeurs de sin𝐴, sin𝐵, cos𝐴 et cos𝐵 dans la formule du cosinus pour l’addition d’angles coscoscossinsin(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵: cos(𝐴+𝐵)=1517×513817×1213=7522196221=21221.

Par conséquent, cos(𝐴+𝐵)=21221.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser nos connaissances des formules trigonométriques pour l’addition d’angles pour déterminer la relation tangente dans un triangle non-rectangle.

Exemple 5: Utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour trouver la valeur de la tangente de la somme de deux angles dans un triangle

La figure montre un triangle 𝐴𝐵𝐶. Sachant que 𝐴𝐷 est perpendiculaire à 𝐵𝐶, 𝐴𝐷=15cm, 𝐵𝐷=10cm et 𝐶𝐷=7cm, déterminez la valeur de tan(𝑋+𝑌).

Réponse

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 n’est pas un triangle rectangle. Cependant, on sait que 𝐴𝐷 est perpendiculaire à 𝐵𝐶 donc le triangle 𝐴𝐵𝐷 et le triangle 𝐴𝐷𝐶 sont deux triangles rectangles. En utilisant la trigonométrie des triangles rectangles, on peut déterminer les valeurs de tan𝑋 et tan𝑌. Une fois que l’on a ces valeurs, on peut utiliser la formule de la tangente pour l’addition d’angles pour trouver tan(𝑋+𝑌).

Dans les triangles rectangles, tanopposéadjacent𝜃=; par conséquent, tanettantanettan𝑋=𝐵𝐷𝐴𝐷𝑌=𝐶𝐷𝐴𝐷𝑋=1015𝑌=715.

On substitue ensuite ces valeurs dans la formule de la tangente pour l’addition d’angles: tantantantantantan(𝐴+𝐵)=𝐴+𝐵1𝐴𝐵(𝑋+𝑌)=+1×=1715×4531.

Par conséquent, tan(𝑋+𝑌)=5131.

Dans les exemples précédents, nous avons vu comment les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles peuvent nous aider à simplifier des expressions algébriques en utilisant des valeurs exactes. Il est important de réaliser que nous pouvons également utiliser ces formules pour nous aider à simplifier des expressions dont la valeur peut être calculée à l’aide d’une calculatrice.

Exemple 6: Utiliser les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles

Déterminez la valeur exacte de 3(75)3(15)coscos.

Réponse

On rappelle que les formules du cosinus pour l’addition et la soustraction d’angles stipulent que pour tous angles 𝐴 et 𝐵, coscoscossinsin(𝐴±𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵.

On peut remarquer que l’expression 3(75)3(15)coscos peut être factorisée comme 3(75)3(15)=3((75)(15)).coscoscoscos

On cherche ensuite un moyen de manipuler cos(75) et cos(15) pour créer une expression avec des termes ayant le même angle.

On écrit coscos(75)=(45+30) et coscos(15)=(4530).

Puis, en utilisant la formule du cosinus pour l’addition d’angles, coscoscoscossinsin(75)=(45+30)=(45)(30)(45)(30).

Et coscoscoscossinsin(15)=(4530)=(45)(30)+(45)(30).

Par conséquent, 3((75)(15))=3(((45)(30)(45)(30))((45)(30)+(45)(30)))=3(2(45)(30)).coscoscoscossinsincoscossinsinsinsin

On peut utiliser les valeurs exactes ou taper ceci dans une calculatrice pour démontrer que 3(75)3(15)=322.coscos

Nous allons maintenant récapituler certains des concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Les formules trigonométriques pour l’addition et la soustraction d’angles peuvent être utilisées pour simplifier des expressions impliquant la somme ou la différence de deux angles et pour déterminer la valeur des expressions trigonométriques.
  • Les formules peuvent être démontrées en utilisant le cercle trigonométrique et la trigonométrie des triangles rectangles.
  • Pour tous angles 𝛼 et 𝛽, sinsincossincoscoscoscossinsintantantantantan(𝛼±𝛽)𝛼𝛽±𝛽𝛼;(𝛼±𝛽)(𝛼)(𝛽)(𝛼)(𝛽);(𝛼±𝛽)𝛼±𝛽1𝛼𝛽.

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