Transcription de la vidéo
Déterminez le nombre de façons différentes dont 4 joueurs peuvent s’asseoir sur 11 sièges disposés en une rangée.
Il s'agit de trouver le nombre de positions possibles pour ces quatre joueurs sur les 11 sièges. On peut aborder ce problème de deux façons : tout d'abord, en utilisant une perspective logique. On peut considérer le nombre de choix dont dispose chaque joueur. Le premier joueur peut s'asseoir là où il veut, il y a donc 11 sièges parmi lesquels il peut choisir. Mais quand le deuxième joueur arrive, il s'aperçoit qu'un siège est déjà occupé, il n'a donc que 10 sièges libres. Quant au troisième joueur, il ne peut choisir que parmi les neuf sièges restants. Et enfin, le quatrième joueur n'a que huit choix.
Les choix du joueur un peuvent être combinés avec ceux du joueur deux, du joueur trois et du joueur quatre. Ainsi, le nombre total de façons différentes dont ces quatre joueurs peuvent s'asseoir sur les 11 sièges est de 11 fois 10 fois neuf fois huit. Soit 110 fois 72, ce qui donne 7 920.
Une autre façon d'aborder ce problème est de comprendre que ce qu’on demande de calculer est une permutation, le nombre de façons dont nous pouvons sélectionner quatre objets, c'est-à-dire les sièges sur lesquels ces joueurs s'assoient parmi 11 sièges lorsque l'ordre est important.
Il est important de reconnaître que l'ordre intervient ici. La première personne assise à la place trois est considérée comme différente de la personne quatre assise à la place trois. On peut utiliser la notation 11𝐴 quatre pour noter le nombre de façons de choisir puis d'arranger quatre objets distincts parmi un groupe de 11 objets distincts. De manière générale, la notation 𝑛𝐴𝑟 signifie le nombre d’arrangements de 𝑟 objets distincts parmi 𝑛 objets distincts. Et il est calculé comme factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑛 moins 𝑟, que vous pouvez également écrire en utilisant un point d'exclamation.
11𝐴 quatre est donc factorielle 11 sur factorielle sept. Il s'agit du produit des entiers de un à 11 sur le produit des entiers de un à sept. Évidemment, une grande partie de ce calcul se simplifie, ne laissant que 11 fois 10 fois neuf fois huit au numérateur et un au dénominateur. Il s'agit du même calcul que celui que nous avons trouvé en utilisant l’approche logique. On sait donc que la réponse sera à nouveau 7 920.
Si vous avez une calculatrice, vous pouvez également calculer cette valeur en utilisant le bouton 𝑛𝑃𝑟. L'emplacement de ce bouton sera spécifique à votre calculatrice. Sur la mienne, c'est la deuxième fonction au-dessus du bouton de multiplication. Je dois donc appuyer sur shift puis sur ce bouton afin d'accéder à cette fonction.
On a donc trouvé qu'il y a 7 920 façons pour quatre joueurs de s'asseoir sur 11 sièges d'affilée.
