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Vidéo de la leçon: Dénombrement en utilisant les permutations Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les permutations pour résoudre des problèmes de dénombrement.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les permutations pour résoudre des problèmes de dénombrement.

Une permutation est une disposition ordonnée d’une collection d’éléments. Par exemple, si on a les lettres A, B et C. On peut les réorganiser et avoir ABC ou BCA, BAC, etc. Chaque arrangement est un exemple de permutation. Notez que pour les permutations, l’ordre compte ; BCA et ABC ne sont pas pareils. Il ne peut avoir de répétition, donc AAB n’est pas une permutation valide de nos lettres. Notre travail consiste alors à trouver un moyen de les dénombrer. Et pour nous aider à trouver une formule, nous allons commencer par considérer un exemple.

De combien de façons peut-on former un nombre à trois chiffres, sans répétition, avec les chiffres deux, neuf et huit ?

Nous avons trois chiffres que nous pouvons utiliser. Et nous voulons dénombrer le nombre de façons de classer ces chiffres, supposant qu’aucun chiffre ne se répète. Puisque l’ordre compte, c’est-à-dire que le nombre 298 n’est pas le même que 928, on veut déterminer le nombre de permutations de ces chiffres. Une méthode consiste simplement à énumérer toutes les options possibles. Cela s’appelle l’énumération systématique. Comme son nom l’indique, on essaie juste de trouver une technique qui nous évitera de manquer des nombres. On peut commencer par 298. Ensuite, on peut échanger le huit et le neuf, et on a 289. Ensuite, on met huit à l’avant et on a 829 et on échange le deux et le neuf pour obtenir 892. Enfin, on met le neuf à l’avant. On obtient 928. Et lorsqu’on échange le huit et le deux, on obtient 982.

On peut donc voir qu’on a six différentes permutations. On peut former six nombres différents à trois chiffres en utilisant les chiffres deux, neuf et huit. Ce n’est, toutefois, pas la méthode la plus efficace, et nous allons donc envisager une alternative. Nous allons considérer chaque chiffre de notre nombre à tour de rôle. Et on sait que pour choisir le premier chiffre, on peut choisir entre le chiffre deux, le chiffre neuf et le chiffre huit. Il y a donc trois différentes options possibles pour le premier chiffre de notre nombre. Ensuite, lorsqu’on passe au deuxième chiffre, on a déjà choisi l’un des chiffres. Et comme on ne peut pas répéter de chiffres, on a deux options possibles pour notre deuxième chiffre.

Enfin, lorsqu’on passe au troisième chiffre, il ne reste qu’une seule option. Le principe de dénombrement stipule qu’on peut calculer le nombre total de permutations en multipliant ces nombres. C’est-à-dire trois fois deux fois un, qui est égal à six. Le nombre total de permutations ou le nombre total de nombres à trois chiffres qu’on peut former est six. Maintenant, on peut généraliser cela et dire que le nombre de permutations d’un ensemble de 𝑛 éléments est 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux et ainsi de suite jusqu’à un. Cela peut être représenté plus simplement comme factorielle de 𝑛. Donc, le nombre de permutations d’un ensemble de 𝑛 éléments est factorielle de 𝑛.

Ce n’est pas toujours aussi simple. Par exemple, que fait-on si on veut juste trouver le nombre de permutations de disons 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 ? Revenons à cet exemple. Considérons la question : combien de nombres à deux chiffres peut-on obtenir à partir d’un ensemble de trois chiffres ? Cette fois, nous avons trois options de choix pour le premier chiffre et deux options pour le second. Et qu’en est-il du nombre de nombres à un chiffre qu’on peut former à partir d’un ensemble de trois chiffres ? Il y a trois façons de choisir ce chiffre, donc la réponse est trois.

Lorsqu’on introduit la notation 𝑛 P 𝑟 pour représenter le nombre de permutations de 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛, on obtient que trois P trois est égal à trois fois deux fois un, trois P deux est égal à trois fois deux et trois P un est égal à trois. Et nous pouvons relier cela à la notation factorielle que nous venons de voir. Si on considère trois P deux, on voit que cela ressemble un peu à factorielle de trois, c’est-à-dire trois fois deux fois un, puis divisée par factorielle de un. Et puis les uns s’éliminent, nous laissant avec trois fois deux. De même, trois P un peut être représenté comme trois factorielle divisé par factorielle de deux. Les deux et les uns s’éliminent, nous laissant trois.

Si on remarque que la différence entre 𝑛 et 𝑟 est toujours la valeur de la factorielle sur le dénominateur, on voit qu’il est possible de généraliser. Le nombre de façons de classer 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 sans répétition est défini par 𝑛 P 𝑟. Et cela est l’équivalent de factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑟. Voici une notation alternative et le choix de celle que vous allez utiliser n’est qu’une question de préférence personnelle et dépend principalement du pays où vous vivez. On va utiliser cette version ci.

Alors maintenant, nous avons une définition du nombre de permutations de 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛, considérons un exemple d’application de la formule.

Laquelle des options ci-dessous représente le nombre de façons de former un nombre à quatre chiffres à partir de cinq chiffres, sachant que chaque chiffre ne peut être utilisé qu’une seule fois ? Est-ce (A) cinq P quatre, (B) six P quatre, (C) quatre P quatre ou (D) neuf P quatre ?

Commençons par rappeler que le nombre de façons de classer 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 sans répétition et où l’ordre compte est 𝑛 P 𝑟. Il existe différentes façons de représenter cela, et dans cet exemple, nous utilisons la première. On les appelle les permutations. Dans cette question, on veut déterminer le nombre de façons de former un nombre à quatre chiffres à partir de cinq chiffres. Donc, 𝑛 est égal à cinq, puisque c’est le nombre total de chiffres disponibles. Et 𝑟 est égal à quatre, puisque c’est le nombre que nous devons choisir. En utilisant la première notation de cette définition, nous écrivons donc cinq P quatre. La bonne réponse est (A). Le nombre de façons de former un nombre de quatre chiffres à partir d’un ensemble de cinq chiffres sachant que chaque chiffre ne peut être utilisé qu’une seule fois est cinq P quatre.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment évaluer les permutations et comment le faire en utilisant quelques raccourcis.

Évaluez 123 P trois.

Cette notation nous demande essentiellement de trouver le nombre de façons de classer trois articles d’un ensemble de 123 sans répétition et où l’ordre compte. C’est le nombre de permutations. Et la formule générale qu’on utilise pour classer 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 sans répétition est factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑟. En comparant ce que nous avons dans notre question avec la formule générale, nous voyons que 𝑛 sera égal à 123 et que 𝑟 sera égal à trois. Et donc 123 P trois est factorielle de 123 sur factorielle de 123 moins trois, sachant qu’on ne peut pas distribuer la factorielle sur les parenthèses et qu’on évalue plutôt 123 moins trois. Et on voit que 123 P trois est égal à factorielle de 123 sur factorielle de 120.

Et bien qu’on puisse utiliser une calculatrice pour évaluer cela, il est important de voir comment simplifier cette expression. On écrit factorielle de 123 comme 123 fois 122 fois 121 et ainsi de suite. Mais, bien sûr, 120 fois 119 et ainsi de suite est en fait factorielle de 120. On réécrit donc 123 P trois comme 123 fois 122 fois 121 fois factorielle de 120 sur factorielle de 120. Et cette étape est importante car nous pouvons maintenant diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par factorielle de 120. Cela nous laisse avec un dénominateur de un. Et, cela signifie que notre fraction devient 123 fois 122 fois 121. Et donc 123 P trois, qui est le nombre de façons de classer trois éléments d’un ensemble de 123 sans répétition, est 123 fois 122 fois 121.

Maintenant, cette technique peut être vraiment utile car elle permet de simplifier un calcul assez compliqué qu’on peut ensuite effectuer à la main. Voyons maintenant comment utiliser les permutations pour résoudre des problèmes.

Dans les courses de chevaux, un trio c’est lorsqu’un parieur gagne en ayant choisi les trois premiers dans le bon ordre : la première place, la deuxième place et la troisième place. Combien de différents trios sont possibles dans une course de 14 chevaux ?

Ce que cette question nous demande c’est : de combien de différentes façons peut-on classer trois chevaux d’un ensemble de 14. Nous savons bien sûr qu’aucun cheval ne peut apparaître dans le top trois plus d’une fois. En d’autres termes, le même cheval ne peut pas être en première et deuxième place en même temps. Et, bien sûr, on sait que l’ordre compte. Et donc nous devons déterminer le nombre de permutations, en particulier le nombre de permutations de trois éléments d’un ensemble de 14. Et nous rappelons donc que le nombre de permutations de 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 est 𝑛 P 𝑟, et il est défini par factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑟.

On voit donc que 𝑛 est égal à 14 puisque c’est le nombre total de chevaux et 𝑟 est égal à trois. Ce sont les trois premiers qui nous intéressent, et le nombre de permutations est donc de 14 P trois. On a donc factorielle de 14 sur factorielle de 14 moins trois. Bien sûr, 14 moins trois font 11, donc on a factorielle de 14 sur factorielle de 11. Mais puisqu’on peut écrire factorielle de 14 comme 14 fois 13 fois 12 fois 11 fois 10 et ainsi de suite, on sait qu’on peut également écrire cela comme 14 fois 13 fois 12 fois factorielle de 11. Et cela est vraiment utile car on peut maintenant diviser par le facteur commun, factorielle de 11. Et on voit que 14 P trois devient 14 fois 13 fois 12, soit 2184. Et donc on obtient qu’il y a un total de 2184 trios possibles dans une course de 14 chevaux.

Dans notre dernier exemple, nous allons examiner ce qui se passe si on essaie de dénombrer plus d’un ensemble de permutations.

Une entreprise étiquette ses produits avec des codes qui commencent par trois lettres françaises suivies de huit chiffres non-nuls. Laquelle des options ci-dessous représente le nombre de codes qu’on peut créer sans répétition de lettre ou de chiffre ? Est-ce (A) trois P trois plus huit P huit ? Est-ce (B) 26 P trois plus neuf P huit ? Est-ce (C) trois P trois fois huit P huit ? Ou est-ce (D) 26 P trois fois neuf P huit ?

Commençons par considérer les deux parties du code. La première partie est constituée de trois lettres françaises. Ensuite, on a huit chiffres non-nuls. Et pour déterminer le nombre de façons de choisir ou de classer les trois lettres françaises, nous allons rappeler que le nombre de façons de classer 𝑟 éléments d’un ensemble de 𝑛 sans répétition et où l’ordre compte est 𝑛 P 𝑟. Qui est égal à factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑟.

On veut choisir trois lettres d’un total de 26 dans l’alphabet français. L’ordre compte ; en d’autres termes, ABC n’est pas égal à BAC. Et donc le nombre de façons de les choisir est de 26 P trois. Ensuite, si on veut choisir huit chiffres non-nuls, on peut choisir n’importe quel chiffre entre un et neuf inclusivement. On choisit donc huit chiffres d’un total de neuf. Encore une fois, l’ordre compte et il ne doit pas y avoir de répétition. Donc, pour choisir huit chiffres de neuf, c’est neuf P huit.

Si le nombre de façons de choisir les trois lettres françaises est de 26 P trois et le nombre de façons de choisir les huit chiffres est de neuf P huit, alors le principe de dénombrement stipule que le nombre total de possibilités à savoir le nombre total de codes, est le produit de ces deux. On a donc 26 P trois fois neuf P huit. Et si on compare cela aux options disponibles dans notre question, on voit que la bonne réponse est (D). Le nombre total de codes qu’on peut créer sans répétition de lettre ou de chiffre est 26 P trois fois neuf P huit.

Dans cette vidéo, nous avons vu que le nombre de façons de ranger 𝑟 éléments de 𝑛 est 𝑛 P 𝑟 ou P de 𝑛, 𝑟. Chacune de ces notations est acceptable. Mais de toute façon, nous pouvons les évaluer en utilisant la formule factorielle de 𝑛 sur factorielle de 𝑛 moins 𝑟 ou même en utilisant la fonction de permutations sur une calculatrice. Nous avons vu que lorsqu’on a affaire aux permutations, on doit s’assurer d’avoir un scénario où l’ordre compte et qu’on dénombre sans répétition. Et nous avons également examiné un certain nombre de situations du monde réel qu’on peut résoudre avec des permutations.

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