Vidéo de la leçon: Division d’un polynôme par un binôme en utilisant la factorisation Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à diviser les polynômes par les binômes en utilisant la factorisation. Il existe plusieurs façons de diviser des expressions algébriques. L’une d’entre elles consiste à utiliser un processus appelé longue division polynomiale. Mais cette méthode peut être assez lente. Nous devons donc toujours vérifier s’il existe d’autres méthodes d’effectuer une telle division. L’une de ces méthodes consiste à utiliser la factorisation. Essentiellement, nous commençons par écrire notre division sous forme de fraction. Ensuite, nous pouvons écrire le numérateur et le dénominateur, si possible sous forme factorisée.

Une fois que nous avons fait cela, nous simplifions comme nous le ferions avec n’importe quelle autre fraction numérique en divisant par un diviseur commun. Avant d’aller plus loin, il convient de noter que ce processus repose sur notre capacité à factoriser des expressions algébriques. Celles-ci seront principalement du second degré. Nous allons aussi considérer les polynômes du troisième degré, qui peuvent être exprimés sous la forme d’un produit de deux binômes. Veuillez donc vous assurer que vous êtes en mesure de factoriser des expressions de ce type avant d’aller plus loin. Nous allons maintenant voir un exemple simple.

Simplifiez deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins trois sur 𝑥 plus trois.

Tout d’abord, nous rappelons que cette barre de fraction signifie division. Ainsi, lorsque nous simplifions, nous disons en fait comment diviser deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins trois par 𝑥 plus trois. Eh bien, une fois que notre problème de division est écrit sous forme de fraction, nous cherchons à factoriser là où c’est possible. Or, il n’est pas possible de factoriser l’expression au dénominateur. Mais nous pouvons factoriser le numérateur. Regardons le diviseur deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins trois. Il y a plusieurs façons de procéder. L’une d’entre elles est appelée la méthode AC. On l’appelle la méthode AC car, étant donné une équation du deuxième degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, nous commençons par multiplier la valeur de 𝑎 et 𝑐. Dans notre équation, 𝑎, qui est le coefficient de 𝑥 au carré, est deux, et 𝑐 est moins trois. Deux fois moins trois donne moins six.

Notre étape suivante est la même que lorsque nous factorisons une équation du second degré où le coefficient de 𝑥 au carré est un. Nous cherchons deux nombres dont le produit donne un coefficient de moins six et la somme donne un coefficient de cinq. Eh bien, six fois moins un est moins six. Et six plus moins un donne cinq. Nous allons donc chercher à décomposer ce terme de milieu en six 𝑥 et moins 𝑥. Nous écrivons maintenant notre expression du second degré comme deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins un égale trois. Nous n’avons rien fait d’époustouflant ici. Nous avons juste réécrit notre expression initiale. Si nous devions maintenant simplifier l’expression de droite, cela nous ramènerait à l’expression de gauche.

L’étape suivante consiste à examiner les deux paires de termes. Nous allons factoriser chaque paire. Nous voyons que deux 𝑥 au carré et six 𝑥 ont comme plus grand commun diviseur deux 𝑥. Ainsi, deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 peuvent s’écrire comme deux 𝑥 fois 𝑥 plus trois. De même, moins 𝑥 moins trois ont comme diviseur commun moins un. Ainsi, lorsque nous factorisons cette expression, nous obtenons moins 𝑥 plus trois.

Remarquez maintenant que chaque expression contient un diviseur de 𝑥 plus trois. Nous pouvons donc factoriser par 𝑥 plus trois. Deux 𝑥 fois 𝑥 plus trois divisé par 𝑥 plus trois nous donne deux 𝑥. Ensuite, moins un fois 𝑥 plus trois divisé par 𝑥 plus trois nous donne moins un. Nous avons donc factorisé complétement notre expression du second degré. C’est 𝑥 plus trois fois deux 𝑥 moins un. Et c’est très bien car nous pouvons maintenant réécrire notre fraction. Nous avons remplacé l’expression du second degré par sa forme factorisée. Et nous voyons qu’elle est égale à 𝑥 plus trois fois deux 𝑥 moins un le tout sur 𝑥 plus trois.

Maintenant qu’elle est sous cette forme, nous pouvons simplifier notre fraction comme nous le ferions pour une fraction numérique en la divisant par un diviseur commun. Dans ce cas, nous pouvons diviser par 𝑥 plus trois. Lorsque nous faisons cela, nous constatons que notre expression se simplifie complètement à deux 𝑥 moins un sur un ou simplement deux 𝑥 moins un. Ainsi, la réponse à notre question et, en fait, la réponse à deux 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 moins trois divisé par 𝑥 plus trois est deux 𝑥 moins un. Nous avons utilisé la méthode AC pour factoriser notre expression du second degré. Vous avez peut-être l’habitude d’utiliser une autre méthode. Et c’est très bien tant que vous vous retrouvez effectivement avec 𝑥 plus trois fois deux 𝑥 moins un.

Nous allons maintenant voir comment trouver le dénominateur d’une fraction lors de la division d’un polynôme par un binôme en utilisant la factorisation.

Déterminez le dénominateur de la fraction dans cette équation : trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit sur quoi égale 𝑥 plus un.

Appelons le dénominateur de notre fraction 𝑦 pour l’instant, où 𝑦 sera une fonction de 𝑥. Ensuite, nous allons rappeler la relation entre les fractions et la division. Une fraction n’est qu’une autre façon d’écrire une division. Cette question nous demande donc également quelle est la valeur de 𝑦 telle que trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit divisé par 𝑦 égale 𝑥 plus un ? Nous pourrions réorganiser cela pour faire de 𝑦 le sujet. Ou nous pouvons citer que si 𝑎 divisé par 𝑏 égale 𝑐, alors 𝑎 divisé par 𝑐 doit être égal à 𝑏. Cela a beaucoup de sens car si nous réorganisons chaque équation, nous constatons que 𝑎 est égal à 𝑏 fois 𝑐. Nous pouvons considérer 𝑏 et 𝑐 comme une paire d diviseurs de 𝑎. Nous pouvons donc dire que trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit divisé par 𝑥 plus un doit être égal à 𝑦.

Mais comment faire cette division à gauche ? Eh bien, nous avons plusieurs méthodes, mais la factorisation est la plus simple. Nous allons chercher à factoriser l’expression trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit. Il y a plusieurs façons de procéder. L’une des méthodes est une sorte d’observation. C’est une équation du second degré, et il n’y a pas de diviseurs communs, sauf un dans chacun de nos termes. Et nous savons donc que nous pouvons l’écrire comme le produit de deux binômes. Les premiers termes de ces binômes doivent être trois 𝑥 et 𝑥, parce que trois 𝑥 fois 𝑥 nous donnent trois 𝑥 au carré.

Ensuite, nous devons rechercher des paires de diviseurs de huit en gardant à l’esprit que l’un d’entre eux sera multiplié par trois. Et puis, lorsque nous additionnons nos nombres, nous allons obtenir 11. Eh bien, une paire de diviseurs que nous pourrions utiliser est huit et un. Et si nous multiplions trois par un, nous obtenons trois. Alors, trois plus huit, c’est 11. Pour que cela fonctionne, il faut que huit et un soient tous deux positifs. Nous avons donc factorisé notre expression. C’est trois 𝑥 plus huit fois 𝑥 plus un. Nous pouvons donc maintenant réécrire notre équation comme trois 𝑥 plus huit fois 𝑥 plus un le tout sur 𝑥 plus un est égal à 𝑦.

Maintenant, puisqu’elle est écrite sous forme de fraction, donc l’étape suivante consiste à simplifier comme nous le ferions pour toute autre fraction en divisant par un diviseur commun. Ici, nous voyons que nous avons un diviseur commun de 𝑥 plus un. 𝑥 plus un divisé par 𝑥 plus un est simplement un. Et nous voyons donc que 𝑦 est égal à trois 𝑥 plus huit. Et puisque nous avons dit que 𝑦 était le dénominateur de notre fraction, alors le dénominateur est trois 𝑥 plus huit. Maintenant, un moyen très rapide de vérifier cette réponse est de vérifier que le produit de 𝑥 plus un et de notre dénominateur est bien égal à trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit. Et en fait, si nous multiplions ces deux binômes, nous obtenons effectivement trois 𝑥 au carré plus 11𝑥 plus huit.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment nous pouvons utiliser une méthode similaire pour nous aider à trouver la valeur d’un inconnu.

Trouvez la valeur de 𝑘 qui rend l’expression 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 divisible par 𝑥 moins cinq.

Lorsque nous divisons des polynômes par des binômes, nous cherchons à les écrire d’abord sous forme de fraction, puis à les simplifier autant que possible. Ainsi, pour diviser 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 par 𝑥 moins cinq, nous commençons par l’écrire comme 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 sur 𝑥 moins cinq. Et pour que notre expression soit divisible par 𝑥 moins cinq, cette fraction peut être simplifiée. Et nous simplifions, bien sûr, en divisant par un diviseur commun. Au dénominateur de notre fraction, nous avons 𝑥 moins cinq. Cela doit donc nous indiquer que 𝑥 moins cinq est un diviseur de 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30. Nous devrions donc pouvoir écrire 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 comme un binôme — j’ai appelé cela 𝑥 plus 𝑎, où 𝑎 est une constante — fois 𝑥 moins cinq.

Mais comment décider ce que 𝑎 doit être ? Nous réfléchissons à la façon dont nous factorisons les expressions du second degré où le coefficient de 𝑥 au carré est un. Nous avons un 𝑥 à l’avant de chaque binôme. Puis nous cherchons deux nombres dont le produit est la constante – ici, ce serait 30 – et dont la somme est le coefficient de 𝑥. Donc ici, c’est moins 𝑘. Ces deux nombres nous donnent les parties numériques de nos binômes. Et donc, bien que nous ne sachions pas ce qu’est 𝑘, nous pouvons dire que 𝑎 fois moins cinq doit être 30. Et donc nous allons déterminer 𝑎 en divisant par moins cinq. 30 divisé par moins cinq est moins six. Nous disons donc que 𝑎 est égal à moins six.

Si nous remplaçons 𝑎 par moins six — et oublions pour l’instant les dénominateurs parce qu’ils sont bien sûr égaux — alors nous voyons que les numérateurs doivent être égaux. Nous voyons que 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 doit être égal à 𝑥 moins six fois 𝑥 moins cinq. Si nous distribuons ces parenthèses et que nous simplifions, cela nous indiquera la valeur de 𝑘. Nous commençons donc par multiplier le premier terme de chaque binôme. 𝑥 fois 𝑥 est 𝑥 au carré. Nous multiplions ensuite les termes extérieurs pour obtenir moins cinq 𝑥, puis nous multiplions les termes intérieurs pour obtenir moins six 𝑥. Enfin, nous multiplions les derniers termes. Moins six fois moins cinq égale 30. Nous obtenons donc 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 moins six 𝑥 plus 30. Et comme moins cinq 𝑥 moins six 𝑥 est moins 11𝑥, alors cela donne 𝑥 au carré moins 11𝑥 plus 30.

Comparons les deux côtés de cette équation. Nous avons 𝑥 au carré des deux côtés, et nous avons 30. Et nous pouvons donc dire que ces deux termes doivent être égaux. Moins 𝑘𝑥 doit être égal à moins 11𝑥. Pour que cela soit vrai, 𝑘 doit donc être égale à 11. La valeur de 𝑘 qui rend l’expression 𝑥 au carré moins 𝑘𝑥 plus 30 divisible par 𝑥 moins cinq est 11.

Nous allons maintenant voir comment ce processus peut nous aider à résoudre des problèmes de géométrie.

L’aire d’un rectangle est 𝑦 au cube plus deux 𝑦 au carré plus cinq 𝑦 plus 10 centimètres carrés, et sa largeur est 𝑦 plus deux centimètres. Trouvez sa longueur en fonction de 𝑦, et son périmètre lorsque 𝑦 égale quatre.

Notre rectangle pourrait ressembler à quelque chose comme ça. Nous savons qu’il a une largeur 𝑦 plus deux centimètres, et nous essayons de trouver sa longueur en fonction de 𝑦. Pour l’instant, nous appellerons sa longueur 𝑥 centimètres, où 𝑥 sera une fonction de 𝑦. Nous savons maintenant que l’aire d’un rectangle est donnée en multipliant sa largeur par sa longueur. Dans ce cas, l’aire du rectangle serait donc 𝑦 plus deux fois 𝑥. Écrivons cela comme 𝑥 fois 𝑦 plus deux. Mais on nous donne en fait une expression pour l’aire. Il s’agit de 𝑦 au cube plus deux 𝑦 au carré plus cinq 𝑦 plus 10. Nous avons donc en fait une équation que nous pouvons chercher à résoudre ou au moins faire de 𝑥 le sujet.

Nous allons faire de 𝑥 le sujet en divisant les deux côtés par 𝑦 plus deux. Au côté droit, cela nous laisse 𝑥. Mais que se passe-t-il au côté gauche ? Eh bien, pour l’instant, nous allons l’écrire sous forme de fraction, car une barre de fraction signifie simplement diviser. Et l’une des meilleures façons de simplifier une fraction, qui est la même chose qu’une division, est de commencer par la factorisation lorsque c’est possible. Factorisons l’expression 𝑦 au cube plus deux 𝑦 au carré plus cinq 𝑦 plus 10. Pour ce faire, nous commençons par factoriser les paires de termes. Lorsque nous factorisons 𝑦 au cube plus deux 𝑦 au carré, nous obtenons 𝑦 au carré fois 𝑦 plus deux.

De même, lorsque nous factorisons cinq 𝑦 plus 10, nous obtenons cinq fois 𝑦 plus deux. Nous savons maintenant qu’il y a un diviseur commun de 𝑦 plus deux dans nos deux termes. Nous pouvons donc factoriser par 𝑦 plus deux. 𝑦 au carré fois 𝑦 plus deux divisé par 𝑦 plus deux, c’est 𝑦 au carré. Ensuite, lorsque nous divisons notre deuxième terme, cinq fois 𝑦 plus deux, par 𝑦 plus deux, il nous reste simplement cinq. Cela signifie que nous pouvons réécrire notre fraction comme 𝑦 plus deux fois 𝑦 au carré plus cinq sur 𝑦 plus deux. Et maintenant, nous voyons qu’il y a un diviseur commun de 𝑦 plus deux au numérateur et au dénominateur de notre fraction. Nous allons donc diviser par 𝑦 plus deux. Et lorsque nous le faisons, nous constatons que 𝑥 est égal à 𝑦 au carré plus cinq.

Rappelez-vous, nous avons dit que la longueur de notre rectangle était de 𝑥 centimètres. Donc, en fait, nous avons découvert que la longueur en fonction de 𝑦 est 𝑦 au carré plus cinq centimètres. Nous n’avons pas encore tout à fait terminé. La question veut que nous trouvions le périmètre de ce rectangle lorsque 𝑦 est égale à quatre. Nous allons donc substituer par 𝑦 égale quatre dans les expressions pour la largeur et la longueur. La largeur devient quatre plus deux, soit six centimètres. Et la longueur devient quatre au carré plus cinq, soit 21 centimètres. Le périmètre est la distance totale autour de l’extérieur. Nous allons donc additionner 21 et 6, puis multiplier cela par deux pour représenter les deux autres côtés. 21 plus six font 27, et 27 fois deux font 54. Le périmètre de notre rectangle est donc de 54 centimètres.

Dans cette vidéo, nous avons vu que pour diviser un polynôme par un binôme, l’une des méthodes les plus efficaces est d’utiliser la factorisation. Lorsque nous utilisons cette méthode, la première chose que nous faisons est d’écrire notre division sous forme de fraction. Le dividende, c’est-à-dire l’expression que nous divisons, est le numérateur de notre fraction. Et le diviseur, qui est l’expression par laquelle nous divisons, est le dénominateur. Nous factorisons alors les diviseurs lorsque c’est possible. Et dans cette vidéo, nous avons principalement factorisé les numérateurs. Mais il y aura des cas où nous devrons également factoriser le dénominateur. Une fois que nous avons fait cela, nous cherchons les diviseurs communs et nous divisons. C’est la même chose que de simplifier une fraction normale. Et une fois complètement simplifiée, nous effectuons notre division.