Lesson Video: Probabilité conditionnelle Mathématiques • Third Year of Secondary School

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Dans cette vidéo, nous allons découvrir la probabilité conditionnelle. Nous récapitulerons quelques règles de bases sur la probabilité, examinerons des événements mutuellement exclusifs ou disjoints, jouerons avec les diagrammes de Venn et apprendrons à déterminer si deux événements sont indépendants. Mais tout d’abord, rappelons quelques règles de probabilité.

(1) Nous représentons les probabilités sur l’échelle des probabilités, avec des nombres allant de zéro à un. (2) Un évènement doit se produire ; si nous additionnons toutes les probabilités de tous les résultats possibles, leur somme doit être un. Soit un évènement se produit ou ne se produit pas. (3) Nous utilisons la notation 𝐴 avec une barre au-dessus ou 𝐴 prime pour représenter le complément de 𝐴, ou l’évènement « 𝐴 ne se produit pas ». Si nous connaissons la probabilité que l’événement 𝐴 se produise, si nous la soustrayons de un, nous obtenons la probabilité que l’événement 𝐴 ne se produise pas. Nous pouvons représenter cela sur un diagramme de Venn. Si le cercle A représente l’événement « 𝐴 se produit », alors la région hachurée à l’extérieur de celui-ci représente tous les cas s où il ne se produit pas.

(4) La probabilité que l’événement 𝐴 se produise ou que l’événement 𝐵 se produise est connue comme la probabilité 𝐴 union 𝐵. Et elle peut être représentée sur un diagramme de Venn comme cela. (5) La probabilité que l’événement 𝐴 se produise et que l’événement 𝐵 se produise est connue comme la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et elle peut être représentée sur un diagramme de Venn comme cela. (6) La probabilité que l’évènement 𝐴 se produise mais que l’événement 𝐵 ne se produise pas peut être représentée par 𝐴 inter le complément de 𝐵. Et ça ressemble à cela sur un diagramme de Venn. Et une autre façon d’écrire cela est la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

Ensuite, récapitulons nos connaissances sur les événements mutuellement exclusifs ou disjoints. Par exemple, un animal peut être un chat ou un chien. Mais il ne peut pas être à la fois un chat et un chien. Ainsi, être un chat et être un chien sont des événements mutuellement exclusifs ou disjoints. Et lorsque c’est le cas, la probabilité d’obtenir une intersection de ces deux événements est nulle. Et comme il n’y a pas de chevauchement, si nous voulons déterminer la probabilité qu’un animal soit un chat ou un chien, il suffit d’additionner la probabilité qu’il soit un chat et la probabilité qu’il soit un chien. Or, dans le cas d’événements non exclusifs ou non disjoints, deux événements peuvent se produire tous deux à la fois. Par exemple, une personne peut aimer les chats ou aimer les chiens. Elle peut même aimer les chats et les chiens. Ainsi, aimer les chats et aimer les chiens ne sont pas des événements mutuellement exclusifs ou disjoints.

Dans ce cas, il faut donc faire attention à la façon dont nous calculons la probabilité qu’une personne aime les chats ou les chiens, l’union du fait d’aimer les chats et du fait d’aimer les chiens. Cette région en rose représente les personnes qui aiment les chats, et cette région en vert représente les personnes qui aiment les chiens. Donc, si nous additionnons la probabilité qu’une personne aime les chats et la probabilité qu’une personne aime les chiens, nous aurons compté deux fois cette région au milieu. Nous devons donc faire un ajustement pour cela dans notre calcul. Notre formule générale est donc que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

Bon, nous avons passé en revue ce que nous connaissons déjà. Parlons de la probabilité conditionnelle. Si la probabilité d’un événement 𝐵 est affectée par l’occurrence d’un événement 𝐴, alors nous disons que la probabilité de 𝐵 est conditionnelle à la réalisation de 𝐴. Et nous pouvons écrire cela de cette manière, un 𝐵 avec une barre verticale suivie de 𝐴. Et nous disons que la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. Bon, regardons maintenant un exemple où les événements ne sont pas disjoints ou mutuellement exclusifs. Cela nous amène à une situation où la probabilité d’un événement est conditionnelle à la probabilité de l’autre.

Dans une rue, dix maisons ont un chat, C, huit maisons ont un chien, D, trois maisons ont les deux et sept maisons n’ont ni un chat ni chien. Cette question est composée de trois parties. Voyons d’abord la première partie. Déterminez le nombre total de maisons dans la rue. Déterminez ensuite la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien. Donnez votre réponse au millième près.

Maintenant, une très bonne façon de répondre à cette question est de tracer un diagramme de Venn. Dans ce cas, l’univers sur un diagramme de Venn est constitué de toutes les maisons dans la rue. Le cercle de gauche représente les maisons qui ont un chat. Le cercle de droite représente les maisons qui ont un chien. Et l’intersection de ces deux cercles représente les maisons qui ont les deux. Tout ce qui se trouve en dehors des cercles mais à l’intérieur du rectangle est une maison qui n’a ni chat ni chien. On nous dit maintenant que 10 maisons ont un chat, mais elles vont être réparties entre les maisons qui n’ont qu’un chat et les maisons qui ont un chat et un chien. De même, les huit maisons qui ont un chien vont être réparties entre les maisons qui n’ont qu’un chien et celles qui ont à la fois un chat et un chien.

Il sera donc plus facile pour nous de commencer par examiner les maisons qui ont à la fois un chat et un chien, et il y en a trois. Et il y a dix maisons qui ont un chat et trois de ces maisons ont aussi un chien. Il reste donc dix moins trois, soit sept maisons qui n’ont qu’un chat. Et sur les huit maisons qui ont un chien, trois d’entre elles ont aussi un chat, ce qui laisse huit moins trois, soit cinq, qui n’ont qu’un chien. Et enfin, on nous dit aussi que sept maisons n’ont ni chat ni chien. Donc, il y en a sept ici.

Le nombre total de maisons dans la rue est donc composé des sept maisons qui n’ont qu’un chat, des cinq maisons qui n’ont qu’un chien, des trois maisons qui ont à la fois un chat et un chien, et des sept maisons qui n’ont ni chat ni chien. Et quand on additionne tout cela, on obtient 22. Maintenant, nous devons trouver la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien. Une façon de réfléchir à cette question de probabilité est de savoir quelle proportion des maisons dans la rue ont à la fois un chat et un chien. Nous avons vu que trois maisons ont un chat et un chien, et qu’il y a 22 maisons en tout. La proportion de maisons ayant à la fois un chat et un chien est donc de trois sur 22. Et si vous choisissez les maisons au hasard, alors la probabilité de choisir une maison avec un chat et un chien est la même que cette proportion. Et au millième près, c’est 0.316.

La deuxième partie de la question, déterminez la probabilité qu’une maison dans la rue ait un chat ou un chien ou les deux. Donnez votre réponse au millième près.

Bon, supposons que la maison sera choisie au hasard. Il s’agit simplement de compter les cas où les maisons ont un chat ou un chien ou les deux à partir de notre diagramme de Venn. Et la probabilité que nous recherchons est juste le nombre de maisons avec un chat ou un chien ou les deux par rapport au nombre total de maisons dans la rue. Ainsi, sept maisons n’ont qu’un chat, cinq maisons n’ont qu’un chien, et trois maisons ont les deux. Cela fait donc 15 maisons. Et nous avons vu tout à l’heure que le nombre total de maisons était de 22. La probabilité que nous recherchons est donc de 15 sur 22. Et au millième près, ça fait 0.682.

Maintenant, la troisième partie est une question de probabilité conditionnelle. Si une maison dans la rue a un chat, trouvez la probabilité qu’il y ait aussi un chien.

On nous a donc dit que dans la maison il y a un chat. Dans ce cas, quelle est la probabilité qu’il y ait également un chien ? Si l’on regarde notre diagramme de Venn, on peut tout de suite ignorer tous les cas de maisons qui n’ont pas de chat. On peut donc penser à cette question comme, parmi les maisons qui ont un chat, quelle est la proportion de celles qui ont aussi un chien ? Nous ne considérons que ces sept maisons et ces trois maisons. Cela fait un total de dix maisons qui ont des chats. Et sur ces dix maisons, seules ces trois-là ont aussi un chien. Trois des dix maisons qui ont des chats ont aussi un chien. Donc la probabilité qu’une maison ait un chien, sachant qu’elle a un chat, est de trois dixièmes. Nous avons donné nos autres réponses sous forme de nombre décimal, alors faisons de même ici. La probabilité qu’une maison ait un chien, sachant qu’elle a un chat, est de 0.3.

Maintenant, avant de passer à notre exemple suivant, généralisons ce dernier résultat. Le fait que la maison ait un chat nous a donné un sous-ensemble de cas à considérer. Nous avons limité notre champ d’application à l’examen des maisons qui avaient des chats. Et étant donné que nous n’examinons que les maisons qui ont des chats, les maisons qui ont des chiens doivent aussi avoir des chats. Ainsi, la probabilité qu’une maison ait un chien sachant qu’elle a un chat est égale à la probabilité d’un chien inter un chat sur la probabilité d’un chat. Ou plus généralement, la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐵.

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est de deux tiers et que la probabilité de 𝐴 est de neuf treizièmes, déterminez la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

Vous pouvez maintenant vous rappeler la formule générale de la probabilité conditionnelle, d’après laquelle la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Mais on nous demande de trouver la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. Inversons donc 𝐴 et 𝐵 dans notre formule. Parfait. Nous cherchons la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. On nous donne la probabilité de 𝐴 dans la question, mais on nous a donné la probabilité de 𝐴 inter 𝐵, et non celle de 𝐵 inter 𝐴. Mais considérons un diagramme de Venn.

La région 𝐴 inter 𝐵 est la même que la région 𝐵 inter 𝐴. Une formule équivalente est donc la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐴. On nous dit que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est de deux tiers et que la probabilité de 𝐴 est de neuf treizièmes. Ainsi, la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est égale à deux tiers divisés par neuf treizièmes. Et un calcul équivalent à la division par neuf treizièmes est la multiplication par son inverse, 13 sur neuf, ce qui nous donne notre réponse. La probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est de 26 sur 27.

Nous avons donc vu que nous pouvons résoudre les questions de probabilité conditionnelle soit en utilisant un diagramme de Venn, soit en utilisant la formule de probabilité conditionnelle. Mais la formule de probabilité conditionnelle a une autre utilisation particulière. Elle peut nous aider à déterminer si deux événements sont indépendants ou dépendants.

Les événements indépendants sont des événements dont le résultat n’est pas du tout affecté par le résultat d’un autre événement. Par exemple, si je lance une pièce de monnaie et un dé, j’aurai soit pile soit face sur la pièce de monnaie, et un ou deux ou trois ou quatre ou cinq ou six sur le dé. Maintenant, peu importe si la pièce de monnaie tombe sur pile ou face, cela n’affectera pas le fait que j’obtienne un ou deux ou trois ou quatre ou cinq ou six sur le dé. Ces probabilités sont totalement indépendantes des probabilités de pile ou face lorsqu’on lance une pièce de monnaie.

Mais avec les événements dépendants, le résultat d’un événement est affecté par le résultat d’un autre événement. Par exemple, disons que nous avons un sac contenant deux bonbons : un aux fraises et un orange. Si une personne choisit un bonbon au hasard et le mange, alors sur les deux bonbons, il y a autant de chances qu’elle choisisse fraise ou orange. Dans chaque cas, la probabilité est un demi. Maintenant, si nous avons un deuxième événement, où la deuxième personne arrive après que la première personne a mangé son bonbon, et choisit un bonbon au hasard dans le sac et le mange, nous ne savons pas vraiment quelle est la probabilité qu’elle obtienne fraise ou orange. Tout dépend de ce la première personne a mangé.

Si la première personne a mangé un bonbon fraise, la probabilité que la deuxième personne obtienne un bonbon fraise est de zéro, et la probabilité qu’elle obtienne un bonbon orange est un, alors que si la première personne a mangé un bonbon orange, la probabilité que la deuxième personne obtienne un bonbon fraise est un et la probabilité qu’elle obtienne un bonbon orange est de zéro. La probabilité des différents résultats du deuxième événement dépend des résultats du premier événement. Maintenant, pour calculer la probabilité que les deux événements se produisent, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 avec des événements indépendants, nous pouvons simplement multiplier leurs probabilités ensemble.

Mais nous savons aussi, grâce à la formule de probabilité conditionnelle, que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Et nous pouvons réarranger cela pour faire de la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 le sujet. Et celle-ci est égale à la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 multipliée par la probabilité de 𝐵. Cela nous donne deux expressions différentes pour la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et cela doit signifier que la probabilité de 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵. Et bien sûr, en inversant 𝐴 et 𝐵, nous pouvons voir que la probabilité de 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

Cela nous donne une sorte de définition de l’indépendance, ou au moins un moyen de vérifier si les événements sont indépendants. Si la probabilité que le premier événement se produise est la même, que le deuxième événement se produise ou non, alors ils sont indépendants. Là encore, nous pouvons voir que la probabilité de 𝐵 est la même, que l’événement 𝐴 se produise ou non. Donc, si ces deux équations sont vérifiées, alors nous pouvons dire que les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants. Voyons donc comment ça marche dans une question.

Supposons que la probabilité de 𝐴 est de deux cinquièmes et celle de 𝐵 de trois septièmes. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise et que l’événement 𝐵 se produise aussi est d’un cinquième. Calculez la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, puis déterminez si les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.

Eh bien, tout d’abord, rappelons la formule de probabilité conditionnelle. La probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Eh bien, la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est la probabilité que l’événement 𝐴 se produise et que l’événement 𝐵 se produise également, ce qui nous a été donné dans la question, soit un cinquième. Et on nous a aussi dit dans la question que la probabilité que l’événement 𝐵 se produise est de trois septièmes. Ainsi, la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est un cinquième divisé par trois septièmes. Et bien sûr, une opération équivalente à la division par une fraction est la multiplication par l’inverse de cette fraction. Cela est donc égal à un cinquième fois sept sur trois. Voilà la réponse à notre première partie de la question. La probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à sept quinzièmes.

Pour la deuxième partie de la question, rappelons notre test d’indépendance utilisant les formules de probabilité conditionnelle. Si la probabilité de 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, et que la probabilité de 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴, alors nous pouvons dire que les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants. Or, la question nous dit que la probabilité de 𝐴 est de deux cinquièmes. L’étape suivante consiste donc à calculer la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵. En fait, c’est ce que nous avons fait dans la première partie de la question. Nous savons donc que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est de sept quinzièmes.

Maintenant, si deux cinquièmes sont égaux à sept quinzièmes, alors nous devons vérifier si la probabilité de 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. Maintenant, pour comparer deux cinquièmes et sept quinzièmes, nous devons trouver un dénominateur commun. Nous pouvons le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur par trois, et deux cinquièmes deviennent six quinzièmes. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 n’est pas égale à la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵. Et le fait qu’il faut que ces deux conditions soit remplies pour prouver l’indépendance des événements 𝐴 et 𝐵, le fait que nous avons montré que la probabilité de 𝐴 n’est pas égale à la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, signifie que nous savons que ces deux événements ne sont pas indépendants. Nous n’avons même pas besoin de vérifier si la probabilité de 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

Passons maintenant en revue quelques points clés de notre leçon. Si la probabilité de l’événement 𝐵 est affectée par le résultat de l’événement 𝐴, alors nous disons que la probabilité de l’événement 𝐵 est conditionnelle à l’événement 𝐴. Nous pouvons représenter cela en utilisant la notation, la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. C’est un 𝐵 avec une barre verticale, puis un 𝐴. Nous avons une formule pour calculer les probabilités conditionnelles. La probabilité que l’événement 𝐴 se produise, sachant que l’événement 𝐵 s’est produit, est égale à la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 divisée par la probabilité que l’événement 𝐵 se produise.

Et nous avons également un test pour vérifier l’indépendance des événements 𝐴 et 𝐵. Ils sont indépendants, si la probabilité de 𝐴 est la même que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, et si la probabilité de 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴. Et enfin, nous avons vu comment les diagrammes de Venn peuvent être un excellent moyen de répondre à des questions de probabilité conditionnelle. Et ils peuvent aussi vous aider à vérifier vos réponses si vous utilisez les formules.