Fiche explicative de la leçon: Probabilité conditionnelle

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer les probabilités conditionnelles à l’aide de formules et de diagrammes de Venn.

En théorie des probabilités, il y a des situations où de nouvelles informations changent la probabilité des évènements. Par exemple, supposons que nous essayons de deviner une carte qu’un ami a tirée dans un jeu de 52 cartes. Complètement au hasard, nous pouvons supposer que notre ami a tiré l’as de pique. Puisqu’il n’y a aucune information sur quelle carte est la bonne, la probabilité que notre supposition soit correcte est . Et si notre ami révèle que la bonne carte est un pique ? Compte tenu de cette nouvelle information, la probabilité que notre supposition soit correcte augmentera pour devenir .

Nous pouvons noter que la valeur de la probabilité que notre estimation soit correcte a changé lorsque de nouvelles informations ont été révélées. Cela démontre la notion de probabilité conditionnelle, qui est la probabilité d’un évènement sachant l’issue d’un autre évènement. Dans ce contexte, la probabilité représente la probabilité conditionnelle que la bonne carte soit un as de pique sachant que la bonne carte est un pique.

Définition : probabilité conditionnelle

Soient et des évènements dans le même espace échantillon. La probabilité conditionnelle de sachant , notée , est la probabilité de l’évènement si l’on sait déjà que l’évènement est réalisé.

Pour calculer la probabilité conditionnelle, on peut utiliser une formule ou un diagramme de Venn. Commençons par l’approche avec un diagramme de Venn, qui peut être utilisée pour dériver notre formule. Considérons le diagramme de Venn ci-dessous représentant les évènements et dans l’espace échantillon .

Le nombre à l’intérieur de chaque région du diagramme de Venn représente le nombre d’issues possibles de l’évènement correspondant. Supposons en outre que chaque issue est également probable.

En utilisant ce diagramme de Venn, nous déterminerons la probabilité conditionnelle . Si l’on sait déjà que l’évènement est réalisé, l’évènement ne sera réalisé que pour les issues dans la région d’intersection, qui est la région bleu foncé dans le diagramme de Venn. Cela signifie qu’avec cette information, il y a 2 issues différentes pour lesquelles l’évènement est réalisé. Aussi, puisque nous savons que l’évènement est réalisé, il y a un total de issues possibles différentes. Cela conduit à la probabilité conditionnelle

Dans notre premier exemple, nous appliquerons ce processus à un problème réel.

Exemple 1: Probabilité conditionnelle

Dans une rue, 10 maisons ont un chat (C), 8 maisons ont un chien (D), 3 maisons ont les deux et 7 maisons n’ont ni l’un ni l’autre.

Déterminez le nombre total de maisons de cette rue. Puis la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien. Donnez la réponse au millième près.
Déterminez la probabilité qu’une maison de cette rue ait un chat ou un chien, ou les deux. Donnez la réponse au millième près.
Si une maison de cette rue a un chat, déterminez la probabilité qu’un chien y vive également.

Réponse

Avant de considérer les questions, organisons les informations données dans un diagramme de Venn. Comme on nous dit que 3 maisons ont à la fois des chats et des chiens, nous pouvons d’abord compléter l’intersection de notre diagramme de Venn.

Ensuite, si 10 maisons ont des chats, et nous savons que 3 d’entre elles ont aussi des chiens, il reste maisons qui ont seulement des chats.

De même, si 8 maisons ont des chiens, mais 3 d’entre elles ont aussi des chats, alors maisons ont seulement des chiens.

Enfin, on nous dit que 7 maisons n’ont ni chat ni chien, ce qui nous permet de remplir la zone en dehors des ovales.

Nous pouvons calculer le nombre total de maisons en additionnant les nombres de chaque section du diagramme. Donc le total est . Considérons maintenant chaque question.

Partie 1

Cette question demande la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien. D’après le diagramme de Venn ci-dessus, nous pouvons voir qu’il y a 3 maisons avec un chat et un chien et 22 maisons au total. Puisqu’une maison est choisie au hasard, nous pouvons supposer que chaque issue est également probable. Ainsi, la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien est

Par conséquent, la probabilité est de 0,136 au millième près.

Partie 2

Cette question demande la probabilité qu’une maison choisie au hasard ait un chat ou un chien ou les deux. D’après le diagramme de Venn, nous pouvons voir qu’il y a maisons qui répondent à ce critère. Puisqu’il y a 22 maisons au total, cette probabilité est de

Ainsi, la probabilité qu’une maison ait un chat ou un chien ou les deux est de 0,682 au millième près.

Partie 3

Cette question demande la probabilité qu’un chien vive dans la maison si la maison a un chat. L’expression « si la maison a un chat » limite le nombre de maisons possibles aux 10 maisons qui possèdent un chat.

Sur les 10 maisons que nous envisageons maintenant, seulement 3 ont des chiens, donc si une maison de cette rue a un chat, alors la probabilité qu’elle ait aussi un chien est .

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé diverses probabilités en utilisant un diagramme de Venn. La probabilité que nous avons calculée pour la dernière partie de l’exemple est en réalité la probabilité conditionnelle. Si est l’évènement où une maison a un chien, et est l’évènement où une maison a un chat, alors la probabilité qu’une maison ait un chien sachant qu’elle a un chat est la probabilité conditionnelle .

En utilisant un diagramme de Venn pour calculer la probabilité conditionnelle, nous pouvons voir que la condition donnée restreint l’espace échantillon à un sous-ensemble. « Sachant que la maison a un chat » implique que nous devons seulement considérer un sous-ensemble de 10 maisons qui ont des chats. Puisque nous nous limitons aux maisons avec des chats, une maison avec un chien dans ce cas signifie également qu’elle a à la fois un chat et un chien et qu’elle appartient donc à l’intersection .

Puisque chaque issue est également probable, nous pouvons représenter cette probabilité conditionnelle comme

Bien que cela produise une formule pour la probabilité conditionnelle, cette version de la formule n’est pas très utile car nous devons compter le nombre d’issues. Si nous divisons le haut et le bas de cette fraction par le nombre total de maisons dans la rue, nous pouvons à la place obtenir les probabilités de ces évènements. En d’autres termes,

Bien que cette formule ait été obtenue à l’aide d’un exemple spécifique, il s’agit en fait d’une formule générale qui peut être utilisée pour calculer toute probabilité conditionnelle.

Formule : probabilité conditionnelle

Soient et des évènements dans le même espace échantillon, où . La probabilité conditionnelle de sachant est donnée par

Considérons un exemple où nous allons calculer une probabilité conditionnelle en utilisant cette formule.

Exemple 2: Déterminer une probabilité conditionnelle

Soient et deux évènements. Sachant que et , déterminez .

Réponse

Rappelons que est la probabilité conditionnelle de sachant , qui peut être calculée à l’aide de la formule

Puisque l’on nous a donné et , on peut substituer ces valeurs dans la probabilité conditionnelle pour obtenir

Ainsi, la probabilité est .

Dans l’exemple suivant, nous appliquerons cette définition pour calculer la probabilité conditionnelle à partir d’un diagramme de Venn contenant les probabilités d’évènements.

Exemple 3: Utiliser les probabilités dans un diagramme de Venn pour calculer les probabilités conditionnelles

Considérez le diagramme de Venn suivant.

Calculez la valeur de .

Réponse

Rappelons que est la probabilité conditionnelle de sachant , qui peut être calculée à l’aide de la formule

Nous devons identifier les probabilités et dans le diagramme de Venn. Puisque le diagramme de Venn donné contient les probabilités des évènements correspondant aux régions, nous devons simplement identifier ces régions. La probabilité de l’intersection est donnée dans la région qui est le chevauchement des deux cercles. Cela donne .

En revanche, est la région donnée par le premier cercle, qui est divisé en deux parties. On peut calculer la probabilité de en ajoutant ces deux probabilités :

En substituant ces valeurs dans la probabilité conditionnelle, nous avons

Dans une probabilité conditionnelle , échanger la position des évènements et et écrire produit une probabilité conditionnelle différente. Dans la plupart des cas, ces deux valeurs ne sont pas les mêmes, car elles représentent des probabilités différentes. Comme on peut calculer , on peut aussi calculer

Nous devons nous rappeler que le dénominateur de la probabilité conditionnelle est toujours la probabilité de la condition.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer à la fois et en utilisant cette formule.

Exemple 4: Calculer des probabilités conditionnelles

Il a été déterminé que pour deux évènements et , , et .

Déterminez .
Déterminez .
Déterminez .

Réponse

Partie 1

Déterminons la probabilité de l’intersection . On nous donne et . Rappelons que représente le complément de , et la règle du complément indique que

En substituant la probabilité donnée , on obtient

Ensuite, on nous donne également . Rappelons la règle générale d’addition, selon laquelle

En substituant toutes les probabilités connues,

Réarranger cette équation pour isoler donne

Partie 2

Rappelons que est la probabilité conditionnelle de sachant , qui peut être calculée à l’aide de la formule

Puisque nous savons que et , on obtient

Partie 3

De même, la probabilité conditionnelle peut être calculé à l’aide de la formule

Puisque nous savons que et , on obtient

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé les probabilités conditionnelles et . Nous pouvons observer que ces probabilités ont des valeurs différentes dans cet exemple comme prévu.

Nous passons maintenant à une autre utilisation de la probabilité conditionnelle. En utilisant la formule , on peut obtenir une autre formule utile quand on multiplie par des deux côtés de cette équation.

Règle : règle générale de multiplication

Soient et des évènements dans le même espace échantillon. Alors,

Cette formule nous indique que la probabilité de l’intersection de deux évènements est égale au produit de la probabilité conditionnelle et de la probabilité de l’évènement conditionné.

Considérons un exemple où nous appliquons cette règle pour déterminer la probabilité d’une intersection.

Exemple 5: Déterminer l’intersection de deux évènements à l’aide de la règle de multiplication

Soient et deux évènements. Sachant que et , déterminez .

Réponse

Nous rappelons la règle générale de multiplication, selon laquelle pour deux évènements quelconques et ,

Puisque l’on nous a donné et , on peut substituer ces valeurs dans la règle générale de multiplication pour obtenir

Dans le dernier exemple, nous appliquerons la règle générale de multiplication à un problème du monde réel pour calculer une probabilité.

Exemple 6: Calculer des probabilités conditionnelles

Gabrielle va à l’école en bus ou, si elle le rate, à pied. La probabilité qu’elle prenne le bus un jour donné vaut 0,4. Si elle prend le bus, la probabilité qu’elle arrive à l’école à l’heure est 0,8, mais si elle rate le bus et doit marcher, la probabilité qu’elle soit à l’heure descend à 0,6.

Déterminez la probabilité qu’elle prenne le bus et qu’elle arrive à l’heure à l’école pour un jour donné.
Déterminez la probabilité qu’elle soit à l’heure à l’école pour un jour donné, qu’elle prenne ou non le bus.
Puis, déterminez la probabilité qu’elle soit en retard à l’école pour un jour donné.

Réponse

Avant de commencer à répondre aux questions, interprétons d’abord les informations données et exprimons-les en notation de probabilités. Dans cet exemple, Gabrielle prend le bus pour aller à l’école ou le rate. Soit l’évènement où elle prend le bus, ce qui signifie que l’évènement où elle rate le bus est le complément . En outre, nous pouvons noter l’évènement où elle arrive à l’école à l’heure, ce qui signifie que l’évènement où elle arrive en retard à l’école est le complément .

On nous dit que la probabilité qu’elle prenne le bus un jour donné vaut 0,4, ce qui signifie

Si elle prend le bus, la probabilité qu’elle arrive à l’école à l’heure est 0,8. Puisque cette affirmation commence par l’expression « si elle prend le bus », il s’agit d’une probabilité conditionnelle de se rendre à l’école à temps, sachant qu’elle prend le bus. Par conséquent,

Si elle rate le bus et doit marcher, la probabilité qu’elle arrive à l’heure descend à 0,6. Ceci est également une probabilité conditionnelle de l’évènement sachant le complément . Ainsi,

Maintenant que nous avons interprété toutes les informations données et les avons exprimées en notation de probabilités, commençons par examiner chaque question.

Partie 1

Nous devons déterminer la probabilité qu’elle prenne le bus et qu’elle soit à l’heure à l’école un jour donné. En utilisant la notation de probabilité, ceci est la probabilité . On rappelle la règle générale de multiplication selon laquelle

Puisque nous savons que et , nous avons

Par conséquent, la probabilité qu’elle prenne le bus et qu’elle soit à l’heure à l’école un jour donné vaut 0,32.

Partie 2

Nous devons déterminer la probabilité qu’elle soit à l’heure à l’école, qu’elle prenne ou non le bus. Pour calculer cette probabilité, considérons le diagramme de Venn avec des cercles représentant les évènements et .

Nous avons indiqué la probabilité de la partie précédente, , sur le diagramme de Venn. Aussi, puisque , nous savons que la somme des probabilités dans la région représentant l’évènement doit être égale à 0,4. Cela conduit à la probabilité 0,08 dans le diagramme ci-dessus.

Nous voulons maintenant calculer . Pour cela, nous devons d’abord calculer la probabilité pour la région vide dans le cercle représentant l’évènement . Cette région représente l’évènement . En appliquant la règle générale de multiplication, on peut écrire

On nous donne . En outre, nous pouvons appliquer la règle du complément, , pour calculer

En substituant ces valeurs dans la règle générale de multiplication, on obtient

Nous pouvons maintenant mettre cela dans le diagramme de Venn.

Additionner les probabilités dans la région représentant l’évènement donne

Ainsi, la probabilité qu’elle soit à l’heure à l’école, qu’elle prenne ou non le bus est de 0,68.

Partie 3

Nous devons déterminer la probabilité qu’elle soit en retard à l’école un jour donné, qui est . Nous pouvons appliquer la règle du complément avec de la partie 2 pour obtenir

Par conséquent, la probabilité qu’elle soit en retard à l’école un jour donné vaut 0,32.

Pour finir, récapitulons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Soient et des évènements dans le même espace échantillon. La probabilité conditionnelle de sachant , notée , est la probabilité d’un évènement si on sait déjà que l’évènement est réalisé.
Soient et des évènements dans le même espace échantillon, avec . La probabilité conditionnelle de sachant est donnée par
Soient et des évènements dans le même espace échantillon. Alors,