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Vidéo de question : Utilisation de la formule du cosinus d’une somme pour calculer des expressions trigonométriques Mathématiques

Evaluez cos 55°45′ cos 79°15′ − sin 55°45′ sin 79°15′.

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Transcription de vidéo

Calculez cosinus de 55 degrés et 45 minutes multiplié par cosinus de 79 degrés et 15 minutes moins sinus de 55 degrés 45 minutes multiplié par sinus de 79 degrés 15 minutes.

La première étape est de convertir les minutes en degrés. On sait qu’un degré est égal à 60 minutes. Dans cette question, il faut convertir 45 minutes et 15 minutes en degrés. En divisant par deux chaque côté de la conversion, on voit que 0,5 degré est égal à 30 minutes. En divisant encore par deux, on obtient que 0,25 degré est égal à 15 minutes. On peut remplacer les 15 minutes dans l’expression par 0,25 degrés. 30 minutes plus 15 minutes égale 45 minutes. 0,5 degré plus 0,25 degré égale 0,75 degré. Par conséquent, 45 minutes égale 0,75 degré.

On peut utiliser ces conversions pour réécrire l’expression uniquement en degrés. En utilisant ces valeurs, on obtient cosinus de 55,75 multiplié par cosinus de 79,25 moins sinus de 55,75 multiplié par sinus de 79,25. Les quatre angles sont maintenant exprimés en degrés. D’après une des formules de sommes trigonométriques, cosinus de 𝛼 multiplié par cosinus de 𝛽 moins sinus de 𝛼 multiplié par sinus de 𝛽 est égal à cosinus de 𝛼 plus 𝛽. Dans cette question, on voit que 𝛼 est égal à 55,75 degrés. 𝛽 est égal à 79,25 degrés. Cela signifie que notre expression peut s’écrire cosinus de 55,75 degrés plus 79,25 degrés. La somme de 55,75 et 79,25 est 135 degrés. L’expression se simplifie à cosinus de 135 degrés.

Considérons le graphique de la fonction cosinus pour trouver cette valeur. La courbe de cosinus est en forme de vague et commence à un, car le cosinus de zéro est égal à un. Comme le graphique est symétrique par rapport au point (90,0), on voit que le cosinus de 135 degrés est égal à moins cosinus de 45 degrés. Le cosinus de 45 degrés est l’un des angles remarquables. Il est égal à un sur racine de deux.

Ce qui s’écrit aussi racine de deux sur deux si on multiplie par racine de deux le numérateur et le dénominateur. Comme cosinus de 135 degrés est égal à l’opposé de ce nombre, il est égal à moins un sur racine de deux ou moins racine de deux sur deux. La valeur de cosinus de 55 degrés et 45 minutes multiplié par cosinus de 79 degrés et 15 minutes moins sinus de 55 degrés 45 minutes multiplié par sinus de 79 degrés et 15 minutes est égale à moins un sur racine de deux ou moins racine de deux sur deux.

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