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Vidéo de question : Calcul du volume d’une pyramide Mathématiques

Calculez au centième près, le volume de la pyramide régulière ci-dessous.

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Transcription de vidéo

Calculez au centième près, le volume de la pyramide régulière ci-dessous.

On nous donne une figure, notez qu’il s’agit d’une pyramide régulière. Rappelons qu’une pyramide régulière est une pyramide droite... Ce qui signifie que c’est une pyramide dont l’apex se situe au-dessus du centre de la base. Donc, une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. La base de cette pyramide est un quadrilatère. Et comme c’est un quadrilatère régulier, c’est donc un carré. Dans une pyramide régulière, les faces latérales sont des triangles isocèles congruents. Cette question demande de trouver le volume de la pyramide. Rappelons que le volume d’une pyramide est égal au tiers de l’aire de la base fois ℎ, où ℎ est la hauteur.

En regardant la pyramide, on voit deux mesures, l’une de 15 centimètres et l’autre de 17 centimètres. Mais ni l’une ni l’autre n’est la hauteur de la pyramide. D’ailleurs, nous ne connaissons pas l’aire de la base non plus. Cela signifie qu’il faudra faire quelques calculs avant de pouvoir utiliser cette formule du volume. Considérons ce triangle, qui appartient à la section transversale de la pyramide. La hauteur de ce triangle est la même que la hauteur de la pyramide. Notons-la égale à ℎ centimètres. Nous pouvons utiliser ce triangle pour en déduire la valeur de ℎ et donc la hauteur de la pyramide. Il peut être utile de tracer ce triangle en deux dimensions à côté de la pyramide.

Nous savons que la hauteur mesure ℎ centimètres et que le côté le plus long de ce triangle rectangle mesure 15 centimètres. Il nous manque cependant la longueur de la base du triangle. Notons-la égale à 𝑥 centimètres. Mais, pour le moment, deux longueurs de côtés sont manquantes, ℎ et 𝑥. Regardons si on peut trouver la valeur de 𝑥 centimètres en considérant un autre triangle. Ce triangle est constitué de la moitié de l’une des faces latérales. La hauteur de ce triangle est la même que la hauteur latérale de la pyramide, soit 15 centimètres. L’hypoténuse de ce triangle a la même longueur que l’arête latérale, soit 17 centimètres. La base de ce triangle a la même longueur que la base du triangle bleu. Elles mesurent toutes les deux 𝑥 centimètres.

Cela nous donne un moyen de calculer 𝑥. Comme le triangle est rectangle, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. Ce théorème stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Et donc 17 au carré est égal à 15 au carré plus 𝑥 au carré. En calculant les carrés, on trouve 289 égale 225 plus 𝑥 au carré. En retranchant 225 de chaque côté, on obtient 64 égale 𝑥 au carré. On prend ensuite la racine carrée de chaque côté. Et comme 𝑥 est une longueur, on ne retient que la racine carrée positive. Et donc 𝑥 est égal à huit.

On peut maintenant revenir au premier triangle et utiliser le fait que 𝑥 égale huit pour en déduire la valeur de ℎ. Encore une fois, nous utilisons le théorème de Pythagore. Faites attention en remplaçant les valeurs : cette fois, l’hypoténuse est 15 et non ℎ. En calculant les carrés, on trouve 225 égale 64 plus ℎ au carré. En retranchant 64 de chaque côté, on obtient 161 égale ℎ au carré. On applique ensuite la racine carrée de chaque côté de l’équation. On obtient que la racine carrée de 161 est égale à ℎ. Or, 161 n’est pas un nombre carré. Comme le calcul n’est pas terminé, gardons la valeur de ℎ égale à la racine carrée de 161.

Faisons un peu d’espace pour les prochains calculs. Ajoutons sur la figure les valeurs que nous avons trouvées. La hauteur mesure racine carrée de 161 centimètres. Et la moitié de la longueur du côté mesure huit centimètres. Revenons à la formule du volume d’une pyramide et voyons si nous avons cette fois suffisamment d’informations. Alors, nous avons calculé la hauteur de la pyramide, mais nous ne connaissons toujours pas l’aire de la base. Comme il s’agit d’une pyramide régulière, la base est donc un polygone régulier, ici un carré.

L’aire d’un carré de côté 𝑙 est égale à 𝑙 au carré. Mais le côté de ce carré ne mesure pas huit centimètres. Cette longueur de huit correspond en fait à la moitié du côté. Cela signifie que le côté mesure 16 centimètres. Ainsi, l’aire de ce carré est de 16 au carré, soit 256 centimètres carrés. À présent, nous avons enfin suffisamment d’informations pour calculer le volume de la pyramide.

Rappelons que l’aire de la base est l’aire du carré, soit 256. Le volume de la pyramide est donc égal au tiers de 256 fois la racine carrée de 161. En utilisant une calculatrice, on trouve 1082,7586 et quelques, en centimètres cubes. Il nous reste à arrondir au centième près. La réponse finale est donc que le volume de cette pyramide, au centième près, est de 1082,76 centimètres cubes.

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