Lesson Video: Événements composés Mathematics

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Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver et interpréter la probabilité d’événements composés. Nous considérerons les événements composés indépendants et dépendants.

Lorsque nous considérons la probabilité d’un événement simple, c’est la probabilité d’un événement unique qui ne dépend d’aucun autre événement. Par exemple, un tirage au sort est un événement simple. C’est un événement unique qui se traduit par l’un des deux résultats, Face ou Pile.

Nous nous souvenons que la probabilité de l’événement A est toutes les façons dont l’événement A peut se produire sur tous les résultats possibles. Pour un événement simple, comme un lancer de pièce, nous trouvons que la probabilité d’obtenir Face est de un sur deux. Il y a une façon pour la pièce de monnaie de sortir des deux options possibles. Mais si nous retournons la pièce deux fois, elle ne correspond plus à la définition d’un événement simple, car ce n’est pas un événement unique. En lançant deux fois la pièce, nous sommes passés d’un événement simple à un événement composé.

Et maintenant, nous voulons savoir comment procéder pour trouver la probabilité d’un événement composé. La probabilité d’un événement composé est toujours égale au nombre de résultats positifs sur tous les résultats possibles. Mais il faut quelques étapes supplémentaires pour le calculer. Regardons un exemple de recherche de probabilité dans un événement composé.

Si nous lançons une pièce deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir Face les deux fois ?

Nous nous souvenons que la probabilité est le nombre de résultats positifs par rapport à tous les résultats possibles. La pièce est lancée deux fois. Nous pouvons utiliser un diagramme arborescent pour montrer tous les résultats possibles. Dans le premier lancer, vous avez un résultat possible de Face ou Pile. La probabilité d’obtenir Face au premier lancer est de un demi. Et la probabilité d’avoir Pile au premier lancer est de un demi.

Et maintenant, nous devons considérer deux situations différentes. Nous considérons le deuxième lancer si le premier lancer était Face. Alors que le deuxième tirage au sort ne peut encore être que Face ou Pile, la probabilité qu’il s’agisse de Face est de un demi et la probabilité que ce soit de nouveau de un demi. Et maintenant, nous considérons que si le premier lancer était Pile, le deuxième lancer pourrait être Face ou Pile. Et chacune de ces options a une probabilité de un demi.

En utilisant l’arborescence, nous pouvons voir tous les résultats possibles, Face, Face ; Face, Pile ; Pile, Face ; ou Pile, Pile. Nous voulons connaître la probabilité d’avoir Face les deux fois. Et cela se produit une fois sur les quatre résultats possibles. Nous pouvons voir que la probabilité d’avoir Face la première fois était de un demi et la probabilité d’avoir Face la deuxième fois était de un demi.

Ce qui se passe ici, c’est que pour trouver la probabilité d’avoir Face les deux fois, nous prenons la probabilité d’avoir Face la première fois, puis nous la multiplions par la probabilité d’avoir Face la deuxième fois. Un quart est égal à un demi fois un demi. Nous nous souvenons que nous pouvons également écrire la probabilité sous forme décimale. Ainsi, la probabilité si nous lançons deux fois une pièce pour obtenir Face à la fois est d’un quart, soit 0.25.

Voici un autre exemple de probabilité d’événement composé simple.

Si ces deux roulettes tournent, quelle est la probabilité que la somme des nombres sur lesquels les flèches atterrissent soit un multiple de cinq ?

Pour trouver cette probabilité, nous devons envisager de faire tourner le premier événement la roulette un et de faire tourner le deuxième événement la roulette deux, ce qui en fait un événement composé. Si nous voulons connaître la probabilité que la somme des roulettes soit un multiple de cinq, nous avons besoin du multiple de cinq résultats par rapport aux résultats totaux. Il existe quelques méthodes que nous pourrions utiliser. Nous pourrions créer un arbre pour la roulette un et la roulette deux. Cependant, parce que nous devons additionner les résultats de la roulette un et de la roulette deux, un tableau est probablement un meilleur choix.

Dans la première droite et la première colonne, nous ajouterions que si la roulette un a atterri sur un et la roulette deux a atterri sur deux, cette somme serait de trois. Et puis, nous considérerons comme la roulette un atterri sur un et la roulette deux atterri sur quatre. Cette somme serait de cinq. Nous remplissons le reste de notre tableau avec les sommes correctes. Dans le tableau, nous avons tous les résultats possibles. Et nous pouvons encercler ceux qui sont des multiples de cinq.

Nous avons identifié cinq des résultats qui sont des multiples de cinq des 21 possibilités. La probabilité que la somme des roulettes soit un multiple de cinq est de cinq sur 21. La fraction ne peut pas être réduite davantage, donc cinq sur 21 est la réponse finale.

Avant de poursuivre et d’examiner d’autres exemples, nous devons examiner de plus près les événements composés. Il existe deux types d’événements composés. Nous avons des événements composés qui sont indépendants les uns des autres et des événements composés qui dépendent les uns des autres. Jusqu’à présent, dans nos exemples précédents, nous n’avons envisagé que des événements indépendants.

Lancer une pièce plusieurs fois est indépendant. Lorsque nous lançons une pièce, ce qui se passe la première fois n’affecte pas ce qui se passe la deuxième fois. Que nous ayons lancé Face ou Pile au premier lancer ne fait aucune différence quant à la probabilité de ce qui se passera au deuxième lancer. La même chose est vraie pour les roulettes. La première roulette — ou en fait, le premier spin — n’a aucune incidence sur ce que seront les prochains.

D’un autre côté, si nous avons un sac plein de billes et que nous trouvons la probabilité de retirer une bille jaune et que nous ne la remplaçons pas, nous changeons le nombre de résultats pour le deuxième événement. Si nous cherchions la probabilité de jaune en premier et de vert en second, nous trouvons d’abord la probabilité de sélectionner une bille jaune. Et puis, nous devons calculer la probabilité de sélectionner un vert étant donné que le jaune a déjà été supprimé.

Si nous avons deux événements A et B, si le fait que A se produise n’affecte pas la probabilité que B se produise, les événements sont indépendants. Et dans ce cas, nous disons que la probabilité que A et B se produisent est la probabilité de A multipliée par la probabilité de B. Les événements composés sont dépendants si le fait que A se produise affecte la probabilité que B se produise. Et dans ce cas, la probabilité de A et B est égale à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B étant donné A.

Voyons comment nous trouvons la probabilité que deux événements se produisent si nous savons déjà que ce sont des événements indépendants.

A et B sont des événements indépendants, où la probabilité de A est d’un tiers et la probabilité de B de deux cinquièmes. Quelle est la probabilité que les deux événements A et B se produisent tous les deux ?

Nous savons que ce sont des événements indépendants, ce qui signifie que l’événement A se produisant n’affecte pas la probabilité de B. Et nous pouvons dire que la probabilité que A et B se produisent tous les deux est la probabilité de A multipliée par la probabilité de B. La probabilité de A et B est égal à un tiers fois deux cinquièmes. Nous multiplions les numérateurs puis multiplions les dénominateurs pour obtenir deux quinzièmes. Et nous ne pouvons pas simplifier davantage cela. Voilà donc la réponse finale. La probabilité que les deux événements A et B se produisent tous les deux est de deux quinzièmes.

Cette question était vraiment simple, car on nous a dit que les événements étaient indépendants et on nous a donné leurs deux probabilités. Ce ne sera pas toujours aussi simple. Et dans de nombreux cas, nous devrons déterminer si les événements sont, en fait, indépendants. C’est l’un des moments où nous devrons décider si ces événements sont indépendants ou dépendants.

Un sac contient huit boules rouges, sept boules vertes, 12 boules bleues, 15 boules oranges et sept boules jaunes. Si deux billes sont tirées consécutivement sans remplacement, quelle est la probabilité que la première bille soit rouge et la deuxième bille bleue ?

Nous devons noter que nous considérons deux événements différents, ce qui signifie que ce sont des événements composés. Et comme nous tirons des boules du sac, nous ne les remplaçons pas. Cela signifie que la première chose qui se produira affectera la probabilité du deuxième résultat. Et cela nous dit que ce sont des événements dépendants composés. Lorsque nous recherchons la probabilité d’événements dépendants composés, elle sera égale à la probabilité de l’événement A multipliée par la probabilité de l’événement B étant donné que l’événement A se produit.

Dans ce cas, nous voulons la probabilité de dessiner rouge puis bleu. Nous savons que la probabilité est égale aux résultats positifs sur tous les résultats possibles. Et nous devons d’abord trouver la probabilité que nous choisissons le rouge au premier tirage. Quand nous avons commencé, il y avait huit boules rouges. Au début avant le tirage, il y a un total de sept plus sept plus huit plus 12 plus 15 billes dans le sac, pour un total de 49. Au premier tirage, la probabilité de tirer rouge est égale à huit sur 49.

Maintenant, si nous tirions un rouge au premier tirage, il resterait 48 boules. Et sur ces 48 billes, 12 d’entre elles sont bleues. La probabilité de dessiner rouge puis bleu serait huit sur 49 fois 12 sur 48. On peut réduire ces fractions avant de multiplier. 12 sur 48 simplifie à un quart. Et huit sur quatre simplifie à deux sur un. Ainsi, la probabilité de sélectionner le rouge puis le bleu est égale à deux sur 49, ce qui ne peut pas être simplifié davantage. C’est donc la réponse finale, deux quarante-neuvièmes.

Nous allons maintenant regarder un autre exemple où on ne nous dit pas si les événements sont indépendants ou dépendants.

Une météorite atterrit au hasard dans un champ contenant beaucoup de moutons. Compte tenu de la taille de la météorite, de la taille du champ et de la quantité d’espace occupée par les moutons, la probabilité que certains moutons soient blessés dans l’incident est de 1 sur 35. À proximité, un panneau tombe d’un hélicoptère et dans un champ de vaches. Le panneau est assez grand et le champ est assez plein de vaches. Ainsi, la probabilité que certaines vaches soient blessées est d’un tiers. Quelle est la probabilité qu’aucun animal n’ait été blessé lors des deux incidents ?

Nous nous intéressons à la probabilité. Et il y a eu deux incidents. Donc, nous savons que la probabilité portera sur des événements composés. Si l’on considère les deux événements, une frappe de météorite et une frappe de panneau d’hélicoptère, ces deux événements sont-ils indépendants ou dépendants ? Le fait du premier événement affecte-t-il la probabilité du deuxième événement ? Si un mouton est blessé, cela change-t-il la probabilité qu’une vache soit blessée ?

Puisque le fait du premier événement n’affecte pas la probabilité du deuxième événement, nous pouvons dire que ces événements composés sont indépendants. Puisque nous avons affaire à des événements indépendants composés, la probabilité que les événements A et B se produisent tous les deux est la probabilité de A multipliée par la probabilité de B.

Nous voulons savoir si les moutons sont en sécurité et les vaches en sécurité. Nous devons être prudents ici, car on ne nous a donné que la probabilité qu’un mouton soit blessé. Pour trouver la probabilité que les moutons soient en sécurité, nous pouvons prendre la probabilité que les moutons soient blessés et la soustraire d’un. S’il y a une chance sur 35 que les moutons soient blessés, il y a 34 chances sur 35 qu’ils soient en sécurité. Et donc, nous pouvons prendre ces informations et les poser dans notre formule. La probabilité que les moutons soient en sécurité est de 34 sur 35.

Nous devons suivre le même processus pour les vaches. La probabilité que les vaches soient en sécurité est d’un moins un tiers, ce qui équivaut aux deux tiers. Et nous pouvons le poser pour l’événement B. La probabilité que les moutons et les vaches soient tous en sécurité sera égale à la probabilité que les moutons soient en sécurité fois la probabilité que les vaches soient en sécurité. 34 sur 35 fois les deux tiers, puis nous obtenons 68 sur 105. La probabilité qu’aucun animal n’ait été blessé dans les deux incidents est de 68 sur 105. Cette fraction ne peut pas être réduite, elle est donc dans sa forme finale.

À ce stade, nous devons noter quelque chose. Les probabilités avec des événements composés sont des probabilités qui traitent de plusieurs événements simples. Et cela signifie que nous pouvons avoir plus de deux événements que nous envisageons. Vous pourriez avoir une pièce retournée trois ou 15 fois. Ce serait un événement indépendant. Et donc, pour trouver la probabilité d’événements indépendants où ils sont plus de deux événements, nous suivons la même procédure. Nous multiplierions la probabilité de l’événement A par la probabilité de l’événement B par la probabilité de l’événement C.

Les événements dépendants suivraient la même procédure, mais il faudrait être un peu plus prudent. Pour trouver la probabilité de trois événements dépendants, A et B et C, nous trouverions la probabilité de A multipliée par la probabilité de B étant donné A. Et ensuite, nous devrions multiplier cela par la probabilité de C étant donné à la fois A et B.

Résumons ce que nous avons appris. La probabilité composée concerne la probabilité que plusieurs événements se produisent. Les événements composés peuvent être indépendants ou dépendants. Pour les événements composés indépendants, la probabilité de A et B est égale à la probabilité de A fois la probabilité de B. Pour calculer la probabilité d’événements composés dépendants, nous disons que la probabilité de A et B est égale à la probabilité de A fois la probabilité de B étant donné A.