Lesson Explainer: Échantillonnage aléatoire stratifié Mathématiques • Third Year of Preparatory School

Exemple 1: Déterminer si une méthode d’échantillonnage est aléatoire stratifiée

Pour un sondage sur les universités auxquelles les élèves du lycée souhaitent s’inscrire, un échantillon de 2 000 élèves a été sélectionné aléatoirement sur une population de 40 000. S’agit-il d’un échantillonnage stratifié ? 

Réponse

L’échantillonnage aléatoire stratifié est utilisé lorsqu’une population est naturellement subdivisée en groupes ou strates. Un tel échantillon reflète les proportions de chaque strate au sein de la population. Ce résultat est obtenu en prélevant des échantillons aléatoires dans chaque strate proportionnellement à la taille de la strate au sein de la population dans son ensemble.

Dans cet exemple, la population est de 40 000 étudiants. Nous ne savons pas si la population est subdivisée en strates donc nous devons supposer que l’échantillon aléatoire de 2 000 étudiants a été sélectionné directement dans la population. Par conséquent, cette méthode n’est pas considérée comme un échantillonnage stratifié.

Exemple 2: Échantillonnage aléatoire stratifié

Laquelle des affirmations suivantes n’est pas vraie à propos de l’échantillonnage stratifié ? 

1. L'échantillonnage aléatoire stratifié s'appelle également « échantillonnage aléatoire proportionnel ».
2. L'échantillonnage aléatoire stratifié permet aux chercheurs d'obtenir un échantillon à partir d'une population qui représente le mieux l'ensemble de la population étudiée.
3. L’échantillonnage stratifié est la sélection aléatoire de données dans l’ensemble d’une population.
4. L’échantillonnage aléatoire stratifié est une méthode d’échantillonnage qui implique la division d’une population en sous-groupes plus petits appelés strates.
5. L’échantillon aléatoire stratifié est un outil de mesure statistique.

Réponse

Nous rappelons que l’échantillonnage aléatoire stratifié est une méthode d’échantillonnage lorsqu’une population peut être naturellement subdivisée en groupes distincts plus petits ne se chevauchant pas, que l’on appelle des strates.

Des échantillons aléatoires sont prélevés dans chaque strate et regroupés pour former un échantillon global. La taille de l’échantillon aléatoire prélevé dans chaque strate reflète la taille de cette strate au sein de la population.

Voyons maintenant si chacune des affirmations ci-dessus correspond à cette définition.

1. L'échantillonnage aléatoire stratifié s'appelle également « échantillonnage aléatoire proportionnel ». (Vrai ou faux ? )
   Pour un échantillonnage aléatoire stratifié, la population étudiée est divisée en groupes ou strates. La taille de l’échantillon prélevé dans chaque strate reflète la proportion de la population représentée par cette strate. Par conséquent, il ne serait pas incorrect de donner un autre nom à l’échantillonnage aléatoire stratifié tel qu’échantillonnage aléatoire proportionnel
2. L’échantillonnage aléatoire stratifié permet aux chercheurs d’obtenir un échantillon de la population qui représente le mieux l’ensemble de la population étudiée. (Vrai ou faux ? )
   On utilise un échantillonnage aléatoire stratifié lorsque la population peut être divisée en groupes ou strates qui ne se chevauchent pas. Les proportions de ces groupes dans la population sont calculées et les mêmes proportions sont appliquées aux échantillons choisis au hasard dans chaque groupe. Cela signifie que les différentes classes sont représentés proportionnellement dans l’échantillon final. Par conséquent, aucun groupe ne doit être surreprésenté ou sous-représenté et l’échantillon reflète la composition proportionnelle de l’ensemble de la population. Un tel échantillon représentera le mieux l’ensemble de la population étudiée. Par conséquent, l’affirmation B est vraie.
3. L’échantillonnage stratifié est la sélection aléatoire de données dans l’ensemble d’une population. (Vrai ou faux ? )
   Par définition, un échantillon aléatoire stratifié est un échantillon qui regroupe un certain nombre d’échantillons individuels prélevés sur des groupes distincts au sein de la population. La taille de l’échantillon de chaque groupe reflète la proportion de ce groupe, ou strate, dans la population. Les données ne sont donc pas sélectionnées de manière aléatoire parmi l’ensemble de la population. Par conséquent, cette affirmation concernant l’échantillonnage stratifié est fausse.
4. L’échantillonnage aléatoire stratifié est une méthode d’échantillonnage qui implique la division d’une population en sous-groupes plus petits appelés strates. (Vrai ou faux ? )
   Par définition, l’échantillonnage aléatoire stratifié implique que la population soit divisée en sous-groupes plus petits. Ces petits groupes sont appelés strates et la taille de l’échantillon de chaque groupe reflète la taille de ce groupe au sein de la population. Par conséquent, cette affirmation est vraie.
5. Un échantillon aléatoire stratifié est un outil de mesure statistique. (Vrai ou faux ? )
   Un échantillon aléatoire stratifié représente les proportions des sous-groupes distincts, ou strates, au sein d’une population. En mesurant la population et donc un échantillon, de cette manière, nous maintenons les proportions inhérentes à la population donc les résultats statistiques et les prédictions obtenus à partir des données de l’échantillon reflètent la composition réelle de la population. De ce fait, l’échantillon aléatoire stratifié est un outil de mesure statistique. Par conséquent, cette affirmation à propos de l’échantillonnage stratifié est également vraie.

Nous concluons donc que seule l’affirmation C n’est pas vraie.

Exemple 3: Calculer la taille de l’échantillon dans une strate étant donnée la proportion qu’elle représente

Dans une étude des ressources humaines sur les salaires dans une certaine entreprise ayant 1 000 employés, les employés ont été divisés en hommes et femmes. Si le pourcentage total de femmes dans l'entreprise était de 60 pour cent et qu'un échantillon de 40 personnes a été prélevé, alors quel était le nombre d'hommes dans l'échantillon ? 

Réponse

Comme la population, c’est-à-dire les employés de l’entreprise, est naturellement subdivisée en deux strates, hommes et femmes, nous utilisons un échantillonnage aléatoire stratifié comme méthode d’échantillonnage. Cela signifie que l’échantillon reflète les proportions d’hommes et de femmes dans l’entreprise.

Étant donné que 60 pour cent des employés sont des femmes, 60 pour cent de l’échantillon doivent également être des femmes. Cela signifie que le reste, c’est-à-dire pour cent, de l’échantillon doivent être des hommes. Nous savons que l’échantillon est composé de 40 personnes. Donc, 40 pour cent de ces 40 personnes doivent être des hommes. C’est-à-dire

Exemple 4: Calculer la taille de l’échantillon d’une strate étant donnée la taille de la strate et de la population

Baptiste a besoin de mener une étude pour déterminer si les élèves de son école aiment jouer au football. Il décide de diviser les élèves en deux groupes, garçons et filles, sachant que l'école compte un total de 200 élèves, dont 80 sont des filles.

Si Baptiste décide que la taille de son échantillon est de 50 élèves, combien de filles doit-il sélectionner pour l’étude ? 

Réponse

Comme la population des élèves est divisée en 2 strates distinctes, les garçons et les filles, la méthode d’échantillonnage appropriée est l’échantillonnage aléatoire stratifié.

Un échantillon aléatoire stratifié est un échantillon qui regroupe un certain nombre d’échantillons aléatoires provenant de groupes distincts au sein de la population. La taille de l’échantillon de chaque groupe reflète la proportion de ce groupe, ou strate, dans la population.

En appliquant cela à la population d’élèves, 80 élèves sur 200 sont des filles. Par conséquent, la proportion de filles est de , ce qui, en pourcentage, donne .

Cela signifie que pour refléter les proportions de garçons et de filles dans la population, de l’échantillon de Baptiste doivent être des filles. La taille de l’échantillon de Baptiste est de 50 élèves et de 50 donne

Par conséquent, Baptiste doit sélectionner 20 filles pour l’étude.

Notez que nous aurions pu arriver à cette conclusion d’une manière légèrement différente, en utilisant la formule de la taille de l’échantillon d’une strate. Pour une population de éléments et une taille globale de l’échantillon de éléments, la taille de l’échantillon d’une strate contenant éléments est en effet

Dans ce cas, , et donc

Exemple 5: Taille de l’échantillon d’une strate à partir des tailles des strates et de la taille de la population

Un scientifique décide de mener un sondage sur les effets d’un médicament dans une ville de 100 000 habitants. Il les divise en trois groupes en fonction de leur zone : centre-ville, périphérie et banlieue. Il y a 10 000 personnes en banlieue et 30 000 personnes en périphérie. Si le scientifique décide de prélever un échantillon de 1 000 personnes, combien de personnes vivant en banlieue doivent-elles être incluses ? 

Réponse

Comme la ville est divisée en trois groupes distincts, ou strates, une méthode d’échantillonnage appropriée est un échantillonnage aléatoire stratifié.

On rappelle qu’un échantillon aléatoire stratifié est un échantillon qui regroupe plusieurs échantillons prélevés dans des groupes distincts de la population. La taille de l’échantillon de chaque groupe reflète la proportion de ce groupe, ou strate, dans la population.

Dans ce cas, nous connaissons la population totale et le nombre de personnes vivant en banlieue et en périphérie, mais pas dans le centre-ville : 

Bien que nous n’ayons pas besoin de connaître le nombre de personnes du centre-ville pour répondre à la question, nous notons qu’il doit y avoir personnes vivant en centre-ville.

Le scientifique souhaite prélever un échantillon représentatif de 1 000 personnes de la population et nous devons déterminer combien d’entre elles doivent être sélectionnées en banlieue. En appliquant un échantillonnage aléatoire stratifié, la proportion de personnes de banlieue de l’échantillon doit être la même que la proportion de personnes de banlieue dans l’ensemble de la population. Il y a 10 000 personnes en banlieue, soit une proportion de la population totale de

En pourcentage, cela donne . Par conséquent, de l’échantillon doivent être des gens vivant en banlieue. Si la taille de l’échantillon est de 1 000 personnes, alors de cela représente

Par conséquent, 100 personnes de banlieue doivent être incluses dans l’échantillon.

Notez que nous aurions pu arriver à cette conclusion d’une manière légèrement différente, en utilisant la formule de la taille de l’échantillon de strates. Pour une population de éléments et une taille globale de l’échantillon de éléments, la taille de l’échantillon, , d’une strate contenant éléments est

Dans ce cas, , et donc

Exemple 6: Utiliser la méthode de capture-marquage-recapture pour estimer la taille d’une population

Dans une étude des ressources humaines sur les salaires dans une entreprise, les employés sont divisés entre hommes et femmes. Le pourcentage total de femmes dans l’entreprise est de 60 pour cent. Un échantillon de 10 employés est sélectionné dans l’entreprise. Les hommes de cet échantillon représentent 5 pour cent des hommes de l’entreprise. Quel est le nombre total d’employés dans cette entreprise ? 

Réponse

Pour commencer, on note que 60 pour cent des employés de l’entreprise sont des femmes et que les employés sont divisés entre hommes et femmes. Cela signifie que pour cent des employés doivent être des hommes. Si on définit comme le nombre total d’employés dans l’entreprise, alors le nombre d’employés hommes est égal à 40 pour cent de , c’est-à-dire , ou .

Pour déterminer le nombre total d’employés , on utilise la formule de capture-marquage-recapture. Elle indique que la taille de la population où est le nombre initialement capturé, marqué, puis relâché, est le nombre capturé par la suite et est le nombre de ceux qui étaient déjà marqués.

Dans ce cas, en identifiant « tous les employés masculins » comme étant ceux « capturés, marqués et relâchés », on a .

La question indique que la taille de l’échantillon, c’est-à-dire le nombre « capturés » par la suite, , est égal à 10. En outre, les hommes de cet échantillon représentent 5 pour cent des employés masculins de l’entreprise. Cela signifie que

Par conséquent, on a

Substituer ces valeurs dans la formule de capture-marquage-recapture de la taille de la population nous donne alors

Par conséquent, le nombre total d’employés dans l’entreprise est de 200.