Lesson Explainer: Relations et fonctions

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer, représenter et identifier des fonctions à partir de schémas, de diagrammes sagittaux et de graphiques.

En mathématiques et en sciences, nous sommes souvent intéressés à prendre un objet et à l’attribuer à un nouvel objet en utilisant une démarche qui nous aide à le faire. Par exemple, nous pourrions prendre le temps écoulé et utiliser cette valeur pour déterminer la position d’une voiture à ce moment, ou nous pouvons utiliser le nombre d’essais pour calculer la probabilité d’obtenir un nombre spécifique sur une roue. Dans ces cas, nous prenons un nombre d’entrée, puis nous l’utilisons pour calculer une valeur de sortie ; ce sont des exemples de fonctions.

En général, une fonction associe un objet (appelé valeur d’entrée) à un autre objet (valeur de sortie). Avant de pouvoir décrire avec précision comment une fonction attribue ces objets, nous devons nous rappeler ce que l’on entend par relation binaire.

Définition : Relation binaire sur deux ensembles

Une relation binaire sur deux ensembles et (souvent raccourci à « relation » tout simplement) est un sous-ensemble du produit cartésien des ensembles . En d’autres termes, il s’agit d’un ensemble de couples , où et .

Si , alors on dit que est lié à .

Une relation binaire associe des objets à un certain nombre d’objets différents ; nous pouvons la représenter en utilisant un diagramme sagittal. Considérons l’exemple suivant de la relation « fils ou fille de ».

Les flèches nous indiquent la direction de la relation. Par exemple, on peut voir que Adélaïde est lié à Hugo par une flèche. Cela nous indique que (Adélaïde, Hugo) est un élément de la relation et que Adélaïde est la fille de Hugo. On peut aussi déduire d’autres relations à partir de ce diagramme. On voit que Alix et Adélaïde ont les mêmes parents, alors ils doivent être sœurs. On peut aussi voir que Mehdi et Adrien ont la même mère mais ont des pères différents, alors ils sont demi-frères.

Nous sommes maintenant prêts à définir une fonction comme un type de relation.

Définition : Fonction

Une fonction est une relation qui associe chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie.

En particulier, si la relation est entre les deux ensembles et , alors on dit que est l’ensemble de définition de la fonction et est l’ensemble d’arrivée de la fonction. On appelle aussi l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction « l’ensemble image ».

Cela signifie que l’ensemble de définition d’une fonction est un ensemble de toutes les valeurs d’entrée et que l’ensemble d’arrivée est un ensemble qui contient toutes les valeurs de sortie possibles. Il convient de noter que l’ensemble d’arrivée est différent de l’ensemble image, et que l’ensemble image est toujours un sous-ensemble de l’ensemble d’arrivée. Nous montrerons la différence entre l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image en détail dans un instant.

Nous pouvons voir que notre relation de « fils ou fille de » ci-dessus n’est pas une fonction, car chaque personne a deux parents. En d’autres termes, chaque valeur d’entrée a deux valeurs de sortie au lieu d’une seule. Nous pouvons le voir sur le diagramme.

On voit qu’il y a deux flèches de Adélaïde, alors elle a deux parents associés.

Pour qu’un diagramme sagittal représente une fonction, chaque élément du premier ensemble doit être attribué exactement à un élément du deuxième ensemble ; on peut écrire cela comme deux propriétés distinctes :

Chaque élément du premier ensemble doit être associé à un élément du deuxième ensemble.
Chaque élément du premier ensemble ne peut être lié à plus d’un élément dans le deuxième ensemble.

Étant donné que les flèches nous indiquent les liens, nous pouvons réécrire ces propriétés en fonction des flèches sur le diagramme :

Chaque élément dans le premier ensemble doit avoir une flèche qui en découle.
Il ne peut y avoir qu’une seule flèche provenant de chaque élément dans le premier ensemble.

Un exemple de fonction serait « est né » puisque chaque personne est née à un seul endroit et que tout le monde est né quelque part ailleurs. Une flèche pour représenter cela pourrait être la suivante.

Puisqu’il y a exactement une flèche provenant de chaque personne, nous pouvons conclure que la relation représente une fonction. Nous pouvons également déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image de cette fonction.

Premièrement, l’ensemble de définition est le premier ensemble de la relation. Dans ce cas, c’est l’ensemble des personnes : {Adélaïde, Alix, Mehdi, Adrien, Clarisse}.

Deuxièmement, l’ensemble d’arrivée est le deuxième ensemble de la relation. Dans ce cas, il s’agit de l’ensemble de tous les lieux : {New York, Détroit, Seattle, Boston, Chicago}.

Troisièmement, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de sortie de la fonction, qui seront tous les lieux où ces personnes sont nées. Dans ce cas, l’ensemble image est l’ensemble {New York, Detroit, Seattle, Boston}. Nous pouvons le voir sur le graphique comme l’ensemble des lieux qui ont une flèche pointant vers eux.

Nous notons que l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image sont différents dans cette fonction, car aucune des personnes citées ne vit à Chicago. En général, l’ensemble image est toujours un sous-ensemble de l’ensemble d’arrivée.

Voyons maintenant un exemple où nous déterminerons si une relation représente une fonction à partir d’un diagramme sagittal.

Exemple 1: Déterminer si une relation est une fonction à partir d’un diagramme sagittal

Vrai ou faux : la figure donnée représente une fonction.

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui associe chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. Dans un diagramme sagittal, la flèche nous indique comment la relation attribue les éléments de chaque ensemble. Si deux éléments sont reliés par une flèche, alors ils sont liés.

Pour que cette relation représente une fonction, chaque valeur d’entrée doit être associée à exactement une valeur de sortie. Cela signifie que chaque élément de l’ensemble doit être associé à exactement un élément de l’ensemble . Cependant, nous pouvons voir sur la figure que l’élément 5 dans l’ensemble est associé à deux éléments de l’ensemble .

Puisqu’une fonction ne peut pas associer une valeur d’entrée à deux valeurs de sortie différentes, il ne peut s’agir d’une fonction, de sorte que l’affirmation est fausse.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons quelle relation représente une fonction, étant donnés différents diagrammes sagittaux de la relation.

Exemple 2: Déterminer quelles relations sont des fonctions à partir des diagrammes sagittals

Laquelle des relations suivantes représente une fonction ?

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui associe chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. Dans un diagramme sagittal, les flèches nous indiquent comment la relation associe les éléments de chaque ensemble ; si deux éléments sont reliés par une flèche, alors ils sont liés.

Par conséquent, pour qu’une relation donnée par un diagramme sagittal représente une fonction, deux choses doivent être vraies :

Étant donné que chaque valeur d’entrée doit être associée à une valeur de sortie, chaque élément dans le premier ensemble doit avoir une flèche qui en découle.
Comme chaque valeur d’entrée doit être associée à exactement une valeur de sortie, il ne peut y avoir qu’une flèche provenant de chaque valeur d’entrée.

Nous pourrions combiner ces deux affirmations en une seule ; toutefois, il est souvent plus facile de vérifier chaque condition séparément. Vérifions maintenant les deux conditions pour chacune des relations dans le diagramme donné.

Sur la figure A, nous notons que la valeur d’entrée de n’est associée à aucune valeur de sortie ; par conséquent, cela ne représente pas une fonction.

Sur la figure B, nous notons que chaque valeur d’entrée est associée à une valeur de sortie ; cependant, la valeur d’entrée est associée à deux valeurs de sortie. Par conséquent, cela ne représente pas une fonction.

Sur la figure C, nous notons que chaque valeur d’entrée est associée à une valeur de sortie et qu’elles sont associées à une seule valeur de sortie. Par conséquent, cela représente une fonction.

Ainsi, seule la relation sur la figure C représente une fonction.

Bien que cela ne soit pas nécessaire, nous pouvons également déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image de la fonction à partir de l’option C dans la question ci-dessus. L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée, qui est l’ensemble . L’ensemble d’arrivée est le deuxième ensemble de la relation ; c’est l’ensemble . L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de l’ensemble de définition, ce qui représente chaque élément associé par la fonction. Comme seuls les nombres 1 et 3 sont des valeurs de sortie de cette fonction, son ensemble image est .

Jusqu’à présent, nous n’avons vu que des fonctions représentées sous forme de diagrammes sagittaux. Cependant, nous rappelons que nous pouvons représenter des relations à l’aide de tableaux, d’ensembles de couples et de graphiques. Cela signifie que nous pouvons également représenter des fonctions à l’aide de toutes ces façons. Dans tous les cas, le premier élément du couple est la valeur d’entrée et le second est la valeur de sortie. Nous rappelons que la coordonnée horizontale dans un graphique est généralement la valeur d’entrée, et la coordonnée verticale est la valeur de sortie.

Voyons maintenant quelques exemples où nous déterminons quelles relations représentent une fonction à partir de différentes représentations, en commençant par un tableau.

Exemple 3: Déterminer si une relation est une fonction à partir d’un tableau

Lequel des éléments suivants représente une fonction avec la valeur d’entrée et la valeur de sortie ?

Relation A
		0	3	8
	6	8	20	4	8

Relation B
		0		7
	6	8	20	4	8

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui attribue chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. Dans un tableau, le premier élément nous indique généralement la valeur d’entrée, et le deuxième élément correspondant est la valeur de sortie qui lui est associée.

Par conséquent, pour qu’un tableau représente une fonction, chaque valeur d’entrée doit avoir une valeur de sortie associée et elle doit avoir exactement une valeur de sortie associée. En d’autres termes, nous ne pouvons pas avoir une valeur d’entrée avec deux valeurs (ou plus) de sortie différentes. Nous pouvons vérifier chaque relation séparément pour voir si elles répondent à ces critères.

Pour la relation A, on note qu’il n’y a pas de valeurs vides, alors chaque valeur d’entrée est associée à une valeur de sortie. Ensuite, nous notons que chaque valeur n’apparaît qu’une fois, de sorte qu’aucune valeur d’entrée n’est associée à plusieurs valeurs de sortie. Par conséquent, la relation A représente une fonction.

Pour la relation B, on note qu’il n’y a pas de valeurs vides, de sorte que chaque valeur d’entrée est associée à une valeur de sortie. Ensuite, nous notons que la valeur d’entrée de est répétée dans le tableau.

Cela signifie que dans la relation B, est associé à plusieurs éléments de l’ensemble , 6 et 20. Pour une fonction, une relation peut seulement attribuer à chaque valeur d’entrée une seule valeur de sortie, donc cela ne peut pas être une fonction.

Ainsi, seule la relation A représente une fonction.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons quelle relation représente une fonction à partir de ses couples.

Exemple 4: Déterminer si une relation est une fonction à partir d’un ensemble de couples

Laquelle des relations suivantes représente une fonction ?

Relation A
Relation B

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui attribue chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. Dans un couple, , le premier élément est lié au deuxième élément.

Par conséquent, pour qu’un ensemble de couples (appelé relation) représente une fonction, nous ne pouvons pas avoir la même première valeur liée à deux valeurs de sortie différentes. Nous pouvons vérifier cela en déterminant quelle relation a des valeurs d’entrée distinctes.

Dans la relation A, nous voyons que 4 est lié à des éléments du deuxième ensemble, à la fois 12 et 15. De même, 5 est lié à 18 et 21. Par conséquent, ce n’est pas une fonction.

Dans la relation B, nous voyons que chacun des couples a une valeur d’entrée unique, de sorte que nous pouvons dire que cette relation représente une fonction. Nous pouvons le voir plus visuellement en traçant un diagramme sagittal représentant chaque relation.

Dans la relation A, deux éléments de l’ensemble d’entrée sont associés à deux éléments de l’ensemble de sortie, ce n’est donc pas une fonction. Dans la relation B, chaque élément de l’ensemble d’entrée est associé à exactement un élément de l’ensemble de sortie, il s’agit donc d’une fonction.

Par conséquent, la réponse est que la relation B représente une fonction.

Avant de passer à notre prochain exemple, nous allons passer en revue une propriété utile des graphiques de fonctions. Nous remarquons d’abord que les fonctions associent chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie et lors de la représentation graphique d’une fonction, les coordonnées représentent les valeurs d’entrée et les coordonnées correspondent aux valeurs de sortie.

Par conséquent, sur le graphique d’une fonction, chaque coordonnée d’un point sur le graphique ne peut avoir qu’une seule coordonnée sur le graphique. La raison en est que si et sont tous deux sur le graphique de , alors et , ce qui n’est pas possible si est une fonction.

On peut utiliser cette argument pour vérifier si un graphique représente une fonction en notant que cela équivaut à dire que la droite verticale d’équation ne peut pas couper le graphique d’une fonction plus d’une fois.

Propriété : Test de la droite verticale

Le graphique d’une fonction ne peut avoir qu’un point au maximum pour chaque coordonnée .

Une autre façon de dire cela est que chaque droite verticale ne peut croiser le graphique d’une fonction qu’une fois au maximum.

Si une droite verticale coupe un graphique plus d’une fois, alors ce n’est pas la représentation graphique d’une fonction.

Dans les quelques exemples suivants, nous déterminerons quels graphiques de relations représentent des fonctions.

Exemple 5: Déterminer des fonctions à partir de graphiques

Laquelle des relations suivantes représente une fonction, sachant que est la valeur d’entrée et est la valeur de sortie ?

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui attribue chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. N’importe quel point sur le graphique d’une relation est un couple et nous dit que est lié à .

Comme on nous dit que est la valeur d’entrée et est la valeur de sortie, dans ces graphiques, la coordonnée d’un point sur le graphique nous indique la valeur d’entrée et la valeur correspondante de la coordonnée nous indique la valeur de sortie associée.

Par conséquent, comme une fonction doit avoir tous les éléments de l’ensemble d’entrée associés exactement à un élément de l’ensemble de sortie, nous ne pouvons pas avoir deux points distincts sur le graphique d’une fonction avec la même coordonnée 𝑥. Sinon, nous associons deux valeurs de sortie à la même valeur d’entrée. On peut rappeler qu’il s’agit du test de la droite verticale.

Sur la figure a, nous notons qu’il y a beaucoup de points sur le graphique avec la même coordonnée .

Par exemple, on peut voir que les points et se situent sur le graphique de cette relation et ils se situent tous les deux sur la droite verticale . Par conséquent, cela ne peut pas représenter une fonction car nous ne pouvons pas attribuer la même valeur d’entrée à deux valeurs de sortie.

Pour vérifier la relation sur la figure b, on considère toute droite verticale sur le graphique. Par exemple, .

On voit que cette droite ne coupe qu’une fois le graphique de la relation, donc il n’y a qu’un seul point sur le graphique de cette relation avec la coordonnée égale à 2. La même chose s’applique à toute droite verticale, de sorte que chaque valeur est associée exactement à une valeur .

Ainsi, on peut dire que la relation sur la figure b représente une fonction.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons lequel d’une liste donnée de diagrammes cartésiens représente une fonction.

Exemple 6: Déterminer si une relation représentée par un diagramme cartésien est une fonction

Lequel des diagrammes cartésiens suivants représente une fonction de à , où ?

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui associe chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. N’importe quel point sur le graphique d’une relation est un couple et nous indique que est lié à .

Dans un diagramme cartésien, la coordonnée horizontale représente généralement la valeur d’entrée et la coordonnée verticale représente généralement la valeur de sortie.

Par conséquent, puisqu’une fonction doit avoir chaque élément de l’ensemble d’entrée associé à exactement un élément de l’ensemble de sortie, les deux conditions suivantes doivent être remplies pour que le graphique représente une fonction de à :

Étant donné que chaque valeur d’entrée doit être associée à une valeur de sortie, il doit y avoir un point sur le graphique avec une coordonnée égale à chaque élément de .
Comme nous ne pouvons pas attribuer deux valeurs de sortie à la même valeur d’entrée, il ne peut y avoir deux points distincts sur le graphique ayant la même coordonnée .

Nous pouvons ensuite vérifier chacune des représentations graphiques séparément pour chacune de ces conditions.

D’abord, sur la figure a, on voit que les coordonnées des points sur la représentation graphique sont et . Nous pouvons voir que chaque élément de est une coordonnée d’un point, de sorte que chaque élément de est associé à une valeur de sortie. Nous pouvons également voir que chaque élément n’apparaît qu’une seule fois, de sorte que chacun ne reçoit qu’une valeur de sortie ; par conséquent, cela représente une fonction.

Deuxièmement, dans le diagramme b, nous pouvons remarquer qu’il n’y a aucun point sur le graphique ayant la coordonnée égale à 5.

Comme une fonction doit associer chaque élément de l’ensemble d’entrée à un élément de l’ensemble de sortie, nous pouvons conclure que cette relation ne représente pas une fonction définie sur car 5 n’est pas associé à une valeur de sortie.

Troisièmement, nous avons un cas similaire dans le diagramme c.

11 n’a pas de valeur de sortie, donc cela ne peut pas représenter une fonction définie sur .

Enfin, sur le diagramme d, nous pouvons voir que chaque valeur d’entrée est associée à une valeur de sortie. Cependant, nous pouvons également noter que 7 est associé à 2 valeurs de sortie.

Comme et sont tous les deux sur le graphique de cette relation, la relation attribue 7 à deux valeurs différentes, 7 et 9. Une fonction ne peut attribuer chaque valeur d’entrée qu’à une seule valeur de sortie, alors cette relation ne représente pas une fonction.

Ainsi, seule la relation dans le diagramme a représente une fonction de à .

Il y a une dernière façon de représenter une fonction, à savoir une équation. Nous rappelons que nous pouvons représenter une relation comme une équation en reliant toute paire de valeurs vérifiant l’équation. Par exemple, considérons la relation sur , donnée par l’équation

On voit que est un élément de cette relation (puisque ). On remarque aussi que est un élément de cette relation (puisque ). Puisqu’il y a deux valeurs de sortie possibles pour la valeur d’entrée égale à 4, nous pouvons conclure que cette relation n’est pas une fonction.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons laquelle des listes de relations écrites sous la forme d’équations représente une fonction de .

Exemple 7: Déterminer des expressions pouvant être définies comme des fonctions

Dans laquelle des relations n’est pas une fonction de ?

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction est une relation qui attribue chaque valeur d’entrée à exactement une valeur de sortie. On rappelle aussi qu’une relation définie par une équation signifie que sera un élément de cette relation si et vérifient l’équation.

Par conséquent, pour qu’une relation représentée par une équation puisse être une fonction, nous avons besoin que chaque valeur d’entrée de a qu’une seule valeur possible de qui vérifie l’équation. La première chose que nous pouvons essayer est de réécrire chaque équation pour isoler .

Nous voyons que les options A, B et D sont déjà des équations en isolant . Nous notons également que si nous substituons une valeur quelconque de dans ces équations, on obtient une seule valeur . Par conséquent, toutes ces rélations sont des fonctions.

Dans l’option C, on pourrait essayer de réarranger pour isoler ; on ajoute 18 des deux côtés de l’équation pour obtenir

Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, où nous notons que nous obtenons une racine positive et une racine négative :

Cela nous permet de voir qu’une valeur d’entrée de peut avoir plusieurs valeurs de sortie ; par exemple, si , alors

Donc, , et , sont les deux solutions à cette équation. Étant donné que chaque valeur de est liée à plusieurs valeurs de , on peut conclure que l’option C n’est pas une fonction de .

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons le fait qu’une relation est une fonction pour déterminer les valeurs des inconnues dans la relation.

Exemple 8: Déterminer les valeurs inconnues étant donnée une fonction entre deux ensembles

Sachant que et , où est une fonction sur , déterminez la valeur numérique de .

Réponse

On commence par rappeler qu’une fonction sur un ensemble est une relation qui attribue chaque élément « d’entrée » de à exactement un élément de « sortie » de . Par conséquent, comme est une fonction sur , c’est une relation sur , ce qui signifie qu’il s’agit d’un sous-ensemble de . En d’autres termes, chaque élément de est un couple, où la première valeur du couple est la valeur d’entrée, et la deuxième valeur est la valeur de sortie.

Comme est une fonction, chaque valeur d’entrée doit être associée à exactement une valeur de sortie ; cela signifie que chaque élément de doit être la première valeur dans l’un des couples de , et il ne peut pas apparaître dans plus d’un couple, sinon, on lui attribuerait deux valeurs de sortie.

Comme et sont la première valeur dans les couples de , ce sont des valeurs d’entrée de la fonction. Cela signifie que ; on peut aussi voir que est associé à la valeur de sortie et est associé à la valeur de sortie .

On note que , alors est associé à la valeur de sortie 9. Puisque est une fonction, ne peut pas aussi être associé à la valeur de sortie de ou , ce qui signifie et ne peut pas être .

À ce stade, il y a deux possibilités pour et . On note que et ne peuvent pas être égaux, sinon, la même valeur d’entrée est associée à deux valeurs de sortie. On voit aussi que n’a que trois éléments, et on sait que et ne peuvent pas être , alors nous avons deux options : , ou , .

Ces deux choix font de une fonction ; chaque valeur d’entrée de se voit attribuer une valeur de sortie dans .

Dans les deux cas, .

Terminons en récapitulant quelques points importants de cette fiche explicative.

Points clés

Une fonction est un type particulier de relation entre deux ensembles.
Une relation est une fonction si les deux conditions suivantes sont remplies :
1. Chaque élément de la valeur d’entrée doit avoir une valeur de sortie associée.
2. Aucun élément de l’ensemble d’entrée n’est associé à plus d’un élément de l’ensemble de sortie.
Si une relation est une fonction des ensembles et , on dit que est l’ensemble de définition de la fonction et est l’ensemble d’arrivée de la fonction. On appelle aussi l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de la fonction « l’ensemble image ».
Les fonctions peuvent être représentées sous forme de diagrammes, de couples, de tableaux, d’équations ou de graphiques.

Lesson Explainer: Relations et fonctions Mathématiques • Third Year of Preparatory School