Worksheet: Directional Derivatives and Gradient

In this worksheet, we will practice finding a derivative of multivariable functions in a given direction (directional derivative) and finding the gradient vector of the function.

Q1:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ+๐‘ฆโˆ’1๏Šจ๏Šจ at the point (1,1) in the direction of ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • A โˆš 2
  • B 3 โˆš 2
  • C 4 โˆš 2
  • D4
  • E 2 โˆš 2

Q2:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜ at the point (1,1) in the direction of ๐‘ฃ=๏“’1โˆš2,1โˆš2๏““.

  • A 2 ๐‘’ โˆš 2 ๏Šจ
  • B 2 โˆš 2 ๐‘’
  • C 2 ๐‘’ โˆš 2
  • D 3 ๐‘’ โˆš 2
  • E 3 ๐‘’ โˆš 2 ๏Šจ

Q3:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜๏™ at the point (1,1,1) in the direction of ๐‘ฃ=๏“’1โˆš3,1โˆš3,1โˆš3๏““.

  • A 2 ๐‘’ โˆš 3
  • B 4 ๐‘’
  • C 3 ๐‘’ โˆš 3
  • D 4 ๐‘’ โˆš 3
  • E ๐‘’ โˆš 3

Q4:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘งsin at the point (1,1,1) in the direction of v=๏“’1โˆš3,1โˆš3,1โˆš3๏““.

  • A 3 โˆš 3 1 c o s
  • B c o s 1 โˆš 3
  • C โˆš 3 1 c o s
  • D โˆš 3
  • E 3 โˆš 3

Q5:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=1๐‘ฅ+๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ at the point (1,1) in the direction of ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • A โˆš 2
  • B โˆš 2 2
  • C โˆ’ โˆš 2 2
  • D โˆ’ โˆš 2
  • E โˆ’ 3 โˆš 2 2

Q6:

Find the directional derivative of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏Šจ๏Šจ at the point (1,1) in the direction of ๐‘ฃ=๏€ฟ1โˆš2,1โˆš2๏‹.

  • A 2 โˆš 3 3
  • B โˆš 3 3
  • C โˆš 3
  • D 3 โˆš 2 2
  • E โˆš 2 2

Q7:

Compute the gradient of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+4๏Šจ๏Šจ.

  • A ๏“’ ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 , ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • B ๏‡ฒ ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 , ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 ๏‡ถ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • C ๏“’ 2 ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 , 2 ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • D ๏“’ 2 ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 , 2 ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • E ๏“’ ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 , ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + 4 ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ

Q8:

The temperature ๐‘‡ of a solid is given by the function ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘’+๐‘’+๐‘’๏Šฑ๏—๏Šฑ๏Šจ๏˜๏Šช๏™, where ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง are space coordinates relative to the center of the solid. In which direction from the point (3,1,2) will the temperature decrease the fastest?

  • A ๐‘‡ decreases the fastest in the direction of ๏€นโˆ’๐‘’,โˆ’2๐‘’,4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šฉ๏Šฑ๏Šจ๏Šฎ.
  • B ๐‘‡ decreases the fastest in the direction of ๏€น๐‘’,2๐‘’,โˆ’4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šง๏Šฑ๏Šฌ๏Šฎ.
  • C ๐‘‡ decreases the fastest in the direction of ๏€น๐‘’,2๐‘’,โˆ’4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šฉ๏Šฑ๏Šจ๏Šฎ.
  • D ๐‘‡ decreases the fastest in the direction of ๏€นโˆ’๐‘’,โˆ’2๐‘’,4๐‘’๏…๏Šฑ๏Šง๏Šฑ๏Šฌ๏Šฎ.

Q9:

In which direction does the function ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘ฆ+๐‘ฅ๐‘ฆ๏Šจ๏Šฉ increases the fastest from the point (2,3)? In which direction does it decrease the fastest? Give your answer using unit vectors.

  • A ๐‘“ increases the fastest in the direction of ๏“’29โˆš941,10โˆš941๏““ and decreases the fastest in the direction of ๏“’โˆ’29โˆš941,โˆ’10โˆš941๏““.
  • B ๐‘“ increases the fastest in the direction of ๏“’โˆ’29โˆš941,โˆ’10โˆš941๏““ and decreases the fastest in the direction of ๏“’29โˆš941,10โˆš941๏““.
  • C ๐‘“ increases the fastest in the direction of ๏“’9โˆš97,4โˆš97๏““ and decreases the fastest in the direction of ๏“’โˆ’9โˆš97,โˆ’4โˆš97๏““.
  • D ๐‘“ increases the fastest in the direction of ๏“’โˆ’9โˆš97,โˆ’4โˆš97๏““ and decreases the fastest in the direction of ๏“’9โˆš97,4โˆš97๏““.

Q10:

Consider the function ๐‘“โ„โ†’โ„:๏Šจ, given by ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘ฆsin. Which of the statements below is incorrect?

  • A ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = 0 ๏Šง ๏Šง ๏Šจ ๏Šง ๏Šจ ๏Šง
  • B ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฆ ๏Šง s i n
  • C ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) ๏Šง ๏Šง ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ ๏Šง
  • D ( ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) ) + ( ๐ท ๐‘“ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) ) = 1 ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ

Q11:

Compute the gradient of the function ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=2๐‘ฅ+5๐‘ฆ.

  • A ๏‡ณ 1 5 , 1 2 ๏‡ท
  • B ๏‡ณ 1 2 , 1 5 ๏‡ท
  • C โŸจ 2 ๐‘ฅ , 5 ๐‘ฆ โŸฉ
  • D โŸจ 2 , 5 โŸฉ
  • E โŸจ 5 , 2 โŸฉ

Q12:

Find the gradient of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ+๐‘ฆโˆ’1๏Šจ๏Šจ.

  • A โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ โŸฉ
  • B โŸจ 2 ๐‘ฆ โˆ’ 1 , 2 ๐‘ฅ โˆ’ 1 โŸฉ
  • C โŸจ 2 ๐‘ฅ โˆ’ 1 , 2 ๐‘ฆ โˆ’ 1 โŸฉ
  • D โŸจ 2 ๐‘ฆ , 2 ๐‘ฅ โŸฉ
  • E โŸจ 2 ๐‘ฅ , 2 ๐‘ฆ โŸฉ

Q13:

Find the gradient of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘ฆ.ln

  • A ๏€ฝ 1 ๐‘ฅ ๐‘ฆ , 1 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏‰
  • B ๏€ฝ 1 ๐‘ฅ , 1 ๐‘ฆ ๏‰
  • C ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) l n l n
  • D ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ )
  • E ๏€ฝ 1 ๐‘ฆ , 1 ๐‘ฅ ๏‰

Q14:

Compute the gradient of the function ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=๐‘ฅ๐‘’๏Šจ๏˜.

  • A โŸจ 2 ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘’ โŸฉ ๏˜ ๏˜
  • B ๏‡ฐ 2 ๐‘ฅ ๐‘’ , ๐‘ฆ ๐‘ฅ ๐‘’ ๏‡ด ๏˜ ๏Šจ ๏˜
  • C ๏‡ฐ 2 ๐‘ฅ ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘’ ๏‡ด ๏˜ ๏Šจ ๏˜
  • D ๏‡ฐ ๐‘ฅ ๐‘’ , 2 ๐‘ฅ ๐‘’ ๏‡ด ๏Šจ ๏˜ ๏˜
  • E โŸจ ๐‘ฅ ๐‘’ , 2 ๐‘’ โŸฉ ๏˜ ๏˜

Q15:

Find the gradient of ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=1๐‘ฅ+๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ.

  • A ๏“’ 2 ๐‘ฅ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) , 2 ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • B ๏“’ โˆ’ 2 ๐‘ฅ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) , โˆ’ 2 ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • C ๏“’ โˆ’ ๐‘ฅ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) , โˆ’ ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • D ๏“’ 2 ๐‘ฅ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) , โˆ’ 2 ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • E ๏“’ โˆ’ 2 ๐‘ฅ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) , 2 ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ) ๏““ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ

Q16:

Compute the gradient for ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง.๏Šจ๏Šจ๏Šจ

  • A โŸจ 2 ๐‘ฅ , 2 ๐‘ง , 2 ๐‘ฆ โŸฉ
  • B โŸจ 2 ๐‘ฆ , 2 ๐‘ฅ , 2 ๐‘ง โŸฉ
  • C โŸจ 2 , 2 , 2 โŸฉ
  • D โŸจ ๐‘ฅ , ๐‘ฆ , ๐‘ง โŸฉ
  • E โŸจ 2 ๐‘ฅ , 2 ๐‘ฆ , 2 ๐‘ง โŸฉ

Q17:

Compute the gradient for ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘’.๏Šจ๏˜๏™

  • A ๏‡ฐ 2 ๐‘ฅ ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘’ ๏‡ด ๏˜ ๏™ ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏Šจ ๏˜ ๏™
  • B ๏‡ฐ ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘’ , 2 ๐‘ฅ ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘’ ๏‡ด ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏˜ ๏™ ๏Šจ ๏˜ ๏™
  • C ๏‡ฐ ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘’ , 2 ๐‘ฅ ๐‘’ ๏‡ด ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏˜ ๏™
  • D ๏‡ฐ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘’ , ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘’ , 2 ๐‘ฅ ๐‘’ ๏‡ด ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏Šจ ๏˜ ๏™ ๏˜ ๏™
  • E ๏‡ฐ 2 ๐‘ฆ ๐‘’ , ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘’ , ๐‘ฆ ๐‘’ ๏‡ด ๏— ๏™ ๏Šจ ๏— ๏™ ๏Šจ ๏— ๏™

Q18:

Compute the gradient for ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=๐‘ฅ๐‘ฆ๐‘ง.sin

  • A โŸจ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง โŸฉ c o s c o s c o s
  • B โŸจ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ฆ โŸฉ
  • C โŸจ ๐‘ฅ ๐‘ง , ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ฆ โŸฉ
  • D โŸจ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง โŸฉ c o s c o s c o s
  • E โŸจ ๐‘ฅ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง , ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง โŸฉ c o s c o s c o s

Q19:

Compute the gradient for ๐‘“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)=โˆš๐‘ฅ+๐‘ฆ+๐‘ง.๏Šจ๏Šจ๏Šจ

  • A ๏€ฝ ๐‘ฅ ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ฆ ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ง ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง ๏‰ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • B ๏€ฟ ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ง โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง ๏‹ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • C ๏€ฟ ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ง โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง ๏‹ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • D ๏€ฟ 1 โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , 1 โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , 1 โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง ๏‹ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ
  • E ๏€ฟ ๐‘ฅ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ฆ โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง , ๐‘ง โˆš ๐‘ฅ + ๐‘ฆ + ๐‘ง ๏‹ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šจ

Q20:

Find a function ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ) so that the vector field F(๐‘ฅ,๐‘ฆ)=โŸจ๐‘ฅ๐‘ฆ,๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ)โŸฉ is a gradient field.

  • A ๐‘„ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฅ ๐‘ฆ
  • B ๐‘„ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฅ ๏Šจ
  • C ๐‘„ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฅ ๐‘ฆ 2 ๏Šจ
  • D ๐‘„ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฅ 2 ๏Šจ
  • E ๐‘„ ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) = ๐‘ฆ 2 ๏Šจ

Q21:

Suppose ๐‘ค=๐น(๐œ™(๐‘ฅ,๐‘ฆ)) with ๐œ™=(๐‘ฅ+๐‘ฆ,๐‘ฅโˆ’๐‘ฆ,๐‘ฅ๐‘ฆ)๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ. Express the gradient โˆ‡๐‘ค๏€ผ๐œ‹,โˆ’23๏ˆ (viewed as a 1ร—2 matrix) in terms of the 1ร—3 matrix โˆ‡๐น(๐‘ž), where ๐‘ž=๐œ™๏€ผ๐œ‹,โˆ’23๏ˆ, and a matrix of partial derivatives of ๐œ™.

  • A โˆ‡ ๐‘ค ๏€ผ ๐œ‹ , โˆ’ 2 3 ๏ˆ = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ 2 ๐œ‹ 4 3 2 ๐œ‹ โˆ’ 4 3 โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ
  • B โˆ‡ ๐‘ค ๏€ผ ๐œ‹ , โˆ’ 2 3 ๏ˆ = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ 2 ๐œ‹ โˆ’ 4 3 2 ๐œ‹ โˆ’ 4 3 โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ
  • C โˆ‡ ๐‘ค ๏€ผ ๐œ‹ , โˆ’ 2 3 ๏ˆ = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ 2 ๐œ‹ โˆ’ 4 3 2 ๐œ‹ 4 3 โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ
  • D โˆ‡ ๐‘ค ๏€ผ ๐œ‹ , โˆ’ 2 3 ๏ˆ = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ‹ โˆ’ 2 3 ๐œ‹ 2 3 โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ
  • E โˆ‡ ๐‘ค ๏€ผ ๐œ‹ , โˆ’ 2 3 ๏ˆ = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ‹ โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โˆ’ 2 3 โˆ’ 2 3 ๐œ‹ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ

Q22:

Suppose ๐‘ค=๐น(๐œ™(๐‘ฅ,๐‘ฆ)) with ๐œ™=(๐œ™,๐œ™,๐œ™)๏Šง๏Šจ๏Šฉ and that ๐‘ž=๐œ™(๐‘) for a point ๐‘โˆˆโ„๏Šจ. Express the gradient โˆ‡๐‘ค(๐‘) (viewed as a 1ร—2 matrix) in terms of the 1ร—3 matrix โˆ‡๐น(๐‘ž) and a matrix of partial derivatives of ๐œ™.

  • A โˆ‡ ๐‘ค ( ๐‘ ) = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โ‹… โŽก โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ
  • B โˆ‡ ๐‘ค ( ๐‘ ) = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โ‹… โŽก โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ
  • C โˆ‡ ๐‘ค ( ๐‘ ) = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โ‹… โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ ๏Šง ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šง
  • D โˆ‡ ๐‘ค ( ๐‘ ) = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โ‹… โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ ๏Šง ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šฉ
  • E โˆ‡ ๐‘ค ( ๐‘ ) = โˆ‡ ๐น ( ๐‘ž ) โ‹… โŽก โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽข โŽฃ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฅ ๐œ• ๐œ™ ๐œ• ๐‘ฆ โŽค โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฅ โŽฆ ๏Šง ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šฉ

Q23:

Let ๐‘ค=๐น(๐œ™(๐‘ฅ,๐‘ฆ)) where ๐œ™=๏€น๐‘ฅ+๐‘ฆ,๐‘ฅโˆ’๐‘ฆ,๐‘ฅ๐‘ฆ๏…๏Šจ๏Šจ๏Šจ๏Šจ and ๐น(๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ)=10๐‘+6๐‘žโˆ’16๐‘Ÿ. Given that there is a line in the ๐‘ฅ-๐‘ฆ plane for which โˆ‡๐‘ค=0, find the equation of this line.

  • A ๐‘ฆ = ๐‘ฅ
  • B ๐‘ฆ = 2 ๐‘ฅ
  • C ๐‘ฆ = ๐‘ฅ 2
  • D ๐‘ฆ = โˆ’ 2 ๐‘ฅ
  • E ๐‘ฆ = โˆ’ ๐‘ฅ

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.