ملف تدريبي: نماذج النمو والتضاؤل الأُسي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تمثيل النمو والتضاؤل الأُسِّي بالنماذج باستخدام المعادلة التفاضلية: ص′=±ك ص.

س١:

نموذج رياضي يتوقَّع التعداد السكاني لدولة 𞸑 بالمليون ويُعبِّر عنه بالعلاقة 𞸑=١٫٧١(٢٠٫١)𞸎؛ حيث 𞸎 عدد السنوات منذ ٢٠١٥. استخدِم هذا النموذج لتوقُّع التعداد السكاني للدولة لأقرب مليون في العامين ٢٠٢١ و٢٠٢٢.

  • أ١٨ مليونًا، ١٩ مليونًا
  • ب١٩ مليونًا، ٢٠ مليونًا
  • ج١٩ مليونًا، ٢١ مليونًا
  • د١٨ مليونًا، ٢٠ مليونًا
  • ه١٨ مليونًا، ٢١ مليونًا

س٢:

تريد فريدة استثمار بعض النقود. هي تأمُل أن تزداد قيمة استثمارها إلى الضعف خلال المطلوب سنويًّا. افترِض أن الفائدة مركَّبة سنويًّا ١٠ سنوات. اكتب معادلة يمكنها استخدامها لإيجاد 𞸓، المعدل السنوي للفائدة المطلوبة. افترض أن الفائدة مركبة سنويًّا.

  • أ󰂔١+𞸓٠٠١󰂓=١٢٠١
  • ب(١+𞸓)=١٢٠١
  • ج󰂔𞸓٠٠١󰂓=٢٠١
  • د(١+𞸓)=٢٠١
  • ه󰂔١+𞸓٠٠١󰂓=٢٠١

س٣:

يتضاعف عدد ذبابات الفاكهة بمعدل أربع مرات كل ٣ أيام. اليوم، هناك ١٥٠ ذبابة فاكهة تحت الاختبار.

افترض أن العدد استمر في التزايد بنفس المعدل، اكتب معادلة يمكن استخدامها لإيجاد 𞸏 التي تعبِّر عن عدد ذبابات الفاكهة المتوقع بعد زمن قدره 𞸉 يوم.

  • أ𞸏=٠٥١(٣)𞸉٣
  • ب𞸏=٠٥١(٣)𞸉٤
  • ج𞸏=٠٥١(٤)𞸉٣
  • د𞸏=٠٥١(٣)٤𞸉
  • ه𞸏=٠٥١(٤)٣𞸉

س٤:

يوضِّح التعداد السكاني لدولة مالاوي المُقدَّر بالملايين باستخدام نموذج المعادلة الأسية 𞸕(𞸍)=٢٦٫٣󰁓٩٢٠٫١󰁒𞸍؛ حيث 𞸍 الزمن المُستغرَق بالسنوات منذ ١ يناير ١٩٦٠.

ما الزمن المُستغرَق في زيادة عدد السكان إلى الضِّعف، لأقرب شهر؟

  • أ٢٤ سنة و٣ شهور
  • ب٢١ سنة و٤ شهور
  • ج٢٦ سنة
  • د٢٧ سنة وشهران
  • ه٢١ سنة

أيُّ سنة ستكون أول سنة يزيد فيها تعداد السكان على ٢٠ مليون؟

أوجد الدالة التي تُمثِّل نفس النموذج الأسي لكن باستخدام المدخل 𞸍 الآن ليُعبِّر عن السنوات منذ ١ يناير ٢٠٠٠. عبِّر عن الدالة باستخدام أساس مقداره ٢ بدلًا من ١٫٠٢٩ المُستخدَم سابقًا.

  • أ𞸕(𞸍)=٦٣٫١١󰂔٢󰂓𞸍٥٢٫٤٢
  • ب𞸕(𞸍)=٦٣٫١١󰁓٢󰁒𞸍
  • ج𞸕(𞸍)=٥٦٫٤١󰁓٢󰁒𞸍
  • د𞸕(𞸍)=󰁓٢󰁒٢𞸍
  • ه𞸕(𞸍)=٦٣٫١١󰂔٢󰂓𞸍٠٨٫٦٣

س٥:

مدينة عدد سكانها 𞸎. إذا كان عدد السكان يزداد بمعدَّل ٣١٪ سنويًّا، فكم سيبلغ عدد سكان المدينة بعد مرور تسع سنوات؟

  • أ٦٨٢٫٠𞸎
  • ب٩(𞸎+٣١٫٠)
  • ج٧١٫١𞸎
  • د٤٠٠٫٣𞸎
  • ه(𞸎+٣١٫٠)

س٦:

يزداد عدد الأرانب في مزرعة تزايدًا أسيًّا. إذا كان عدد الأرانب حاليًّا ٢٤٥ أرنبًا ومُعدَّل التزايد ٣٢٪، فأوجد الدالة 󰎨(𞸍) لوصف عدد الأرانب بعد 𞸍 سنة.

  • أ󰎨(𞸍)=٥٤٢(١+𞸤)𞸍
  • ب󰎨(𞸍)=٥٤٢𞸤٣٢٫٠𞸍
  • ج󰎨(𞸍)=٥٤٢𞸤٣٢٫٠
  • د󰎨(𞸍)=٥٤٢(١+𞸤)٣٢٫٠

س٧:

يتزايد عدد مستخدمي أحد محرِّكات البحث الجديدة كل شهر، ويُمكن إيجاده باستخدام المعادلة 𞸑=٠٠٥(٩١٫١)𞸎؛ حيث تمثِّل 𞸑 عدد المستخدمين، وتمثِّل 𞸎 عدد الشهور منذ إطلاق محرِّك البحث. إذا أُطلق محرِّك البحث في الأول من مارس، ففي أي شهر يكون عدد مستخدمي محرِّك البحث ٢‎ ‎٠٠٠؟

  • أأكتوبر
  • بسبتمبر
  • جأغسطس
  • دنوفمبر
  • هيونيو

س٨:

عدد الزائرين الذين يذهبون إلى مدينة الملاهي يزداد كلَّ عام ويُمكِن إيجاده باستخدام المعادلة 𞸑=١٫١(٥٤٠٫١)𞸍؛ حيث 𞸑 مليون عدد الزائرين 𞸍 عام بعد ٢٠١٠. إذا استمر عدد الزائرين في الازدياد بنفس المعدَّل، ففي أيِّ عام يصل عدد الزائرين في المدينة لأول مرة إلى مليونَيْ زائر؟

س٩:

أعِد كتابة 𞸏(𞸍)=٢٦٫٣(٩٢٠٫١)𞸍 في الصورة 𞸏(𞸍)=𞸏(٢)𞸍𞸊٠، مقربًا 𞸊 لأقرب منزلتين عشريتين‎. ماذا يعني العدد 𞸊؟

  • أ𞸏(𞸍)=٢٦.(٢)٣،𞸊𞸍١٤٠٫٠ عدد السنوات اللازمة لتضاعف التعداد السكاني مرة واحدة
  • ب𞸏(𞸍)=٢٦.(٢)٣،𞸊𞸍١٤٠٫٠ عدد السنوات اللازمة ليصل التعداد السكاني إلى ثلاثة أمثاله
  • ج𞸏(𞸍)=٢٦.(٢)٣،𞸊𞸍٥٢٫٤٢ عدد السنوات اللازمة لتضاعف التعداد السكاني مرة واحدة
  • د𞸏(𞸍)=٢٦.(٢)٣،𞸊𞸍٥٢٫٤٢ عدد السنوات اللازمة ليصل التعداد السكاني إلى ثلاثة أمثاله
  • ه𞸏(𞸍)=(٢)،𞸊𞸍٥٢٫٤٢ عدد السنوات اللازمة ليصل المجتمع إلى الضعف

س١٠:

في ٥ من يوليو، عُثِر على طحالب خضراء في قاع حمام سباحة عرضه ٦ م وطوله ١٢ م. إذا كانت المساحة التي تُغطِّيها الطحالب مقيسة بوحدة مم٢ بعد 𞸍 يوم تُعطى بالعلاقة 𞸌=٣٫٤٢𞸍٣، فمتى تُغطِّي الطحالب قاع حمام السباحة تمامًا؟

  • أ١٥ من يوليو
  • ب١٥ من سبتمبر
  • ج٢٢ من أغسطس
  • د١٨ من أغسطس
  • ه١٨ من يوليو

س١١:

نادر يمتلك حسابًا بنكيًّا يمنحه فائدة بنسبة ٦٫٥٪ تُضاف إلى حسابه كل شهر. قام بتمثيل رصيده بعد مرور 𞸌١ شهر باستخدام الصيغة التكرارية: 󰏡=(١+٦٥٠٫٠)󰏡𞸌𞸌١. إذا كان مبلغ الإيداع الابتدائي ٤٥٠٫٠٠، فما عدد الأشهر المتبقية حتى يصبح رصيده أكبر من ٦٠٠ دولار أمريكي؟

س١٢:

الدالة 𞸎(𞸍)=󰏡𞸁𞸍 تمثِّل تعداد السكان بالمليون؛ حيث 𞸍 تمثِّل السنوات بعد عام ١‎ ‎٩٧٠، ويزداد السكان بمعدل سنوي مقداره ٥٫٣٪، وبدأ بعدد ١٣٫٢ مليونًا‎ في عام ١‎ ‎٩٧٠. ما قيمة 𞸁؟

س١٣:

تنخفض قيمة سيارة بمُعدَّل ٥١٪ كلَّ عام.

اكتب معادلة يُمكِن استخدامها لحساب 𞸒 التي تُعبِّر عن قيمة السيارة بالدولار أمريكي، 𞸍 الذي يُعبِّر عن عدد السنوات التي مرَّت بعد شرائها بمبلغ 𞸢دورأ.

  • أ𞸒=𞸢(٥٧٫٠)𞸍
  • ب𞸒=𞸢(٥٨٫٠)𞸍
  • ج𞸒=𞸢(٥٨٫١)𞸍
  • د𞸒=𞸢(٥١٫١)𞸍
  • ه𞸒=𞸢(٥١٫٠)𞸍

ما إجمالي انخفاض قيمة السيارة بعد مرور ٦ سنوات؟ قرِّب إجابتك لأقرب نسبة مئوية.

س١٤:

يمكن تمثيل عدد السيارات على الطرق حول العالم، في السنة 𞸍 بعد ٢٠١٥، بالعلاقة 𞸏=٠١×𞸤٩٧٧٢٠٫٠𞸍. في أي عام يقع نموذج التوقُّع الذي يصل إلى ١٫٤ مليار سيارة حول العالم؟

  • أ٢٠٦٦
  • ب٢٠٢٩
  • ج٢٠٢٧
  • د٢٠٦٥
  • ه٢٠٣٧

س١٥:

افترِض أن 󰎨(𞸍) تعداد البكتريا في مزرعة بكتيرية. عند الزمن 𞸍=٠، كان التعداد ٤ ملايين. بعد مرور 𞸍 ساعة، افترِض أن البكتريا نمت بمعدَّل تغيُّر مقداره ٣𞸍 مليون من البكتريا في الساعة. أوجد عدد البكتريا عند الزمن 𞸍=١ بالملايين لأقرب رقمين عشريين.

س١٦:

المعدل الذي تتحلَّل به إحدى المواد المشعة يتناسب مع عدد الذرات المتبقية. يُمكن استخدام المعادلة التفاضلية الآتية لوصف هذه العملية: 𞸃𞸏𞸃𞸍=𝜆𞸏، حيث 𞸏 الذرات المتبقية بعد 𞸍 ثانية. ثابت التناسب 𝜆 يمثِّل ثابت التحلُّل لهذه العملية. إذا كانت 𞸏٠ تمثِّل عدد الذرات المتبقية عندما تكون 𞸍=٠ ثانية، فأوجد الحل العام.

  • أ𞸏=𞸏𞸤٠𞸍𝜆
  • ب𞸏=𞸏𞸤٠𝜆𞸍
  • ج𞸏=𞸏𞸤٠𞸍𝜆
  • د𞸏=𞸏𞸤٠𝜆𞸍

س١٧:

ندى و فارس يلعبان لعبة حيث يرميان حجر نرد سداسي الأوجه، ثم يخرجان كل حجر نرد يظهر عليه ١، ثم يرميان حجر النرد الباقي ويخرجان كل حجر نرد يظهر عليه ١ مرة أخرى، وهكذا.

ندى و فارس بدآ بـ ٤٢ حجر نرد. وبحسب قانون الاحتمال، أوجد الصيغة الصريحة لعدد أحجار النرد المتبقية بعد 𞸢 جولة باللعبة.

  • أ𞸏=٦󰂔١٤٢٤󰂓𞸢
  • ب𞸏=٢٤󰂔٥٦󰂓𞸍𞸢
  • ج𞸏=٦󰂔١٢٤󰂓𞸢
  • د𞸏=٢٤󰂔١٦󰂓𞸢
  • ه𞸏=٢٤󰂔٥٦󰂓𞸢

ما عدد الجولات المطلوبة لإخراج ٢٣ تقريبًا من أحجار النرد؟

س١٨:

وحيد القرن الأسود من الأنواع المهددة بالانقراض. انخفض تعداده حول العالم من ٦٥‎ ‎٠٠٠ عام ١٩٧٠ إلى ٢‎ ‎٣٠٠ عام ١٩٩٣. بتمثيل الانخفاض بنموذج أُسِّي، أجب عن الأسئلة الآتية.

اكتب معادلة بالصيغة 𞸏=󰏡𞸁𞸍؛ حيث 𞸏 تمثِّل تعداد حيوانات وحيد القرن بعد عام ١‎ ‎٩٧٠ بـ 𞸍 عام . قرِّب قيمة كلٍّ من 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ أرقام عشرية، إذا لزم الأمر.

  • أ𞸏=٠٠٠٥٦(𞸍)٥٦٨٫١
  • ب𞸏=٠٠٠٥٦(٥٦٨٫١)𞸍
  • ج𞸏=٥٢٢٦٥𞸍
  • د𞸏=٠٠٠٥٦(𞸍)٥٦٨٫٠
  • ه𞸏=٠٠٠٥٦(٥٦٨٫٠)𞸍

وفقًا للنموذج الممثَّل، كم كان تعداد حيوانات وحيد القرن عام ١٩٨٠؟

وفقًا للنموذج الممثَّل، ما مقدار انخفاض تعداد حيوانات وحيد القرن بين عامَي ١٩٨٠ و١٩٩٠؟

س١٩:

حقن طبيب مريضًا باستخدام ١٣ ملليجرامًا من صبغة مشعة تتحلَّل أسيًّا. بعد مرور ١٢ دقيقة، كان هناك ٤٫٧٥ ملليجرامات من الصبغة في جسم المريض. أيٌّ من التالي يُعدُّ نموذجًا مناسبًا لهذه الحالة؟

  • أ󰎨(𞸍)=٣١(٥٠٨٠٫٠)𞸍
  • ب󰎨(𞸍)=٣١𞸤(٩٣٨٠٫٠𞸍)
  • ج󰎨(𞸍)=٥٧٫٤١+٣١𞸤٥٢٩٣٨٫٠𞸍
  • د󰎨(𞸍)=٣١𞸤٥٩١٩٫٠𞸍

س٢٠:

أظهرت نتائج دراسة طبية أن فترة عمر النصف للكافيين في البالغين الأصحاء ٥٫٧ ساعات. إذا استهلك شخص ٢٥٠ مجم من الكافيين في قهوة الصباح عند الساعة ٦ صباحًا، يكون لديه ١٢٥ مجم تقريبًا من الكافيين في نظامه عند ١١:٤٠ صباحًا.

إذا شرب شخص عُلبة من الكولا تحتوي على ٣٠ مجم من الكافيين، يُمكِن إيجاد كمية الكافيين 𞸊 في نظامه بعد 𞸍 ساعة باستخدام المعادلة 𞸊=٠٣󰂔١٢󰂓󰂔󰂓𞸍٧٫٥.

اكتب المعادلة في الصورة 𞸊=󰏡(𞸁)𞸍، لأقرب ٣ منازل عشرية إذا لزم الأمر.

  • أ𞸊=٠٣(٥٨٨٫٠)𞸍
  • ب𞸊=٠٣(٧٨٣٫٢)𞸍
  • ج𞸊=٠٣(٩١٠٫٠)𞸍
  • د𞸊=٥١(٥٧١٫٠)𞸍
  • ه𞸊=٥١(٧٫٥)𞸍

س٢١:

عدد الكائنات البحرية في حوض 𞸑 بعد 𞸍 أسبوع يُعطى بالصيغة 𞸑=١٣٦٥󰂔١٢󰂓𞸍١. ما عدد الكائنات البحرية بعد مرور ٤ أسابيع؟ قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

س٢٢:

في بداية إحدى التجارب العلمية، كان لدى أحد العلماء عينة تحتوي على ٢٥٠ ملليجرامًا من نظير مشع. يتضاءل النظير المشع أُسيًّا؛ حيث إنه بعد مرور ٢٥٠ دقيقة تبقَّى ٣٢٫٠ ملليجرامًا فقط من النظير.

اكتب كتلة النظير بالملليجرام 𞸊 باعتبارها دالة في الزمن 𞸍 بالدقائق منذ بداية التجربة العلمية في صورة 𞸊(𞸍)=󰏡𞸤𞸁𞸍، وقرِّب 󰏡، 𞸁 لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

  • أ𞸊(𞸍)=٠٥٢𞸤٣٢٨٠٠٫٠𞸍
  • ب𞸊(𞸍)=٠٥٢𞸤٧٦٥٠٠٫٠𞸍
  • ج𞸊(𞸍)=٢٣𞸤٤٣٧٠٠٫٠𞸍
  • د𞸊(𞸍)=٠٥٢𞸤٤٣٧٠٠٫٠𞸍
  • ه𞸊(𞸍)=٢٣𞸤٤١٩٠٠٫٠𞸍

أوجد فترة نصف العمر للنظير لأقرب دقيقة.

س٢٣:

يَحسب التأريخ الكربوني كمية النظير «الكربون-١٤» التي كانت نسبته ثابتة في الغلاف الجوي عند وفاة الحيوان وتوقفه عن امتصاصه. كمية النظير تقل بعد ذلك إلى النصف كل ٥‎ ‎٧٣٠ سنة. افترض أن كمية النظير بعد 𞸍 سنة هي 󰏡(𞸍).

اكتب معادلة تمثل العلاقة بين 󰏡(𞸍)، 󰏡(𞸍+٠٣٧٥).

  • أ󰏡(𞸍+٠٣٧٥)=󰂔١٣󰂓󰏡(𞸍)
  • ب󰏡(𞸍+٠٣٧٥)=󰂔١٢󰂓󰏡(𞸍)
  • ج󰏡(𞸍)=󰂔١٤󰂓󰏡(𞸍+٠٣٧٥)
  • د󰏡(𞸍)=󰂔١٢󰂓󰏡(𞸍+٠٣٧٥)
  • ه󰏡(𞸍+٠٣٧٥)=󰂔١٤󰂓󰏡(𞸍)

اكتب مقدارين يمثلان 󰏡(𞸍+٠٦٤١١)، 󰏡(𞸍+٠٩١٧١).

  • أ󰏡(𞸍+٠٦٤١١)=󰂔١٤󰂓󰏡(𞸍)،󰏡(𞸍+٠٩١٧١)=󰂔١٨󰂓󰏡(𞸍)
  • ب󰏡(𞸍+٠٦٤١١)=󰂔١٣󰂓󰏡(𞸍)،󰏡(𞸍+٠٩١٧١)=󰂔١٩󰂓󰏡(𞸍)
  • ج󰏡(𞸍)=󰂔١٢󰂓󰏡(𞸍)،󰏡(𞸍)=󰂔١٩󰂓󰏡(𞸍+٠٩١٧١)
  • د󰏡(𞸍+٠٦٤١١)=󰂔١٢󰂓󰏡(𞸍)،󰏡(𞸍+٠٩١٧١)=󰂔١٧󰂓󰏡(𞸍)
  • ه󰏡(𞸍)=󰂔١٤󰂓󰏡(𞸍)،󰏡(𞸍)=󰂔١٨󰂓󰏡(𞸍+٠٩١٧١)

اكتب صيغة تمثل العلاقة بين 󰏡(𞸍+٠٣٧٥𞸌)، 󰏡(𞸍)؛ حيث 𞸌 عدد صحيح موجب.

  • أ󰏡(𞸍)=󰂔𞸌٢󰂓󰏡(𞸍+٠٣٧٥𞸌)
  • ب󰏡(𞸍)=󰂔𞸌٢󰂓󰏡(٢𞸍+٠٣٧٥𞸌)
  • ج󰏡(𞸍+٠٣٧٥𞸌)=󰂔١٣󰂓󰏡(𞸍)𞸌
  • د󰏡(𞸍+٠٣٧٥𞸌)=󰂔١٤󰂓󰏡(𞸍)𞸌
  • ه󰏡(𞸍+٠٣٧٥𞸌)=󰂔١٢󰂓󰏡(𞸍)𞸌

افترض أن كل ٠٣٧٥٢ سنة، يقل نظير «الكربون-١٤» بنفس النسبة 𞸎. بكتابة ٥‎ ‎٧٣٠ في الصورة ٠٣٧٥٢+٠٣٧٥٢، ما قيمة 𞸎؟

  • أ𞸎=١٢
  • ب𞸎=١٤
  • ج𞸎=󰋺١٣
  • د𞸎=١٣
  • ه𞸎=󰋺١٢

س٢٤:

في كلِّ يوم، بعد المعالجة باستخدام مُبِيد الحشائش الضارة‏، تنخفض مساحة حشائش النفل في الحديقة إلى ثلث مساحة اليوم السابق. اليوم، بعد استخدام المُبِيد، بَقِيَ حوالي ٤٠ م٢ من حشائش النفل في الحديقة. اكتب معادلة يُمكِن استخدامها لإيجاد مساحة حشائش النفل 𞸌 في الحديقة بعد مرور 𞸍 يوم.

  • أ𞸌=󰂔٠٤٣󰂓𞸍
  • ب𞸌=١٣(𞸍)٠٤
  • ج𞸌=٠٤(𞸍)١٣
  • د𞸌=٠٤󰂔١٣󰂓𞸍
  • ه𞸌=١٣(٠٤)𞸍

س٢٥:

تركيز الأسبرين في دم الإنسان بعد 𞸍 ساعة من جرعة طبيعية 𞸕٠ يمكن تمثيله بالدالة 𞸕=𞸕󰂔١٢󰂓٠𞸍٣.

ما عمر النصف للأسبرين؛ أي الوقت الذي يستغرقه نصف الجرعة الأولية ليزول مفعوله؟

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.