نسخة الفيديو النصية
أي المعادلات الآتية تصف على نحو صحيح العلاقة بين المقاومة النوعية، 𝜌، لمادة ما ومقاومة جسم طوله 𝑙 مصنوع من هذه المادة، إذا كانت للجسم مساحة مقطع 𝐴 ومقاومة 𝑅؟ (أ) 𝜌 يساوي 𝑅 في 𝑙 مقسومًا على 𝐴. (ب) 𝑅 يساوي 𝜌 في 𝑙 مقسومًا على 𝐴. (ج) 𝑅 يساوي 𝜌 في 𝐴 مقسومًا على 𝑙. (د) 𝑅 يساوي 𝜌 في 𝐴 في 𝑙.
تهدف كل معادلة من هذه المعادلات الأربع إلى أن تكون طريقة صحيحة رياضيًّا لوصف العلاقة بين المقاومة النوعية 𝜌 لمادة ما والمقاومة 𝑅 لجسم مصنوع من هذه المادة. وحتى إذا لم نتذكر مباشرة العلاقة التي تربط هذه الكميات، فلا يزال بإمكاننا التوصل إلى الإجابة بإدراك أنه لكي تكون أي من هذه المعادلات صحيحة، لا بد أن تكون كل وحدة في الطرف الأيسر مساوية لكل وحدة في الطرف الأيمن.
فيما يتعلق بالوحدات، لعلنا نتذكر أنه في النظام الدولي للوحدات، وحدة المقاومة الكهربية هي الأوم. إذن، على سبيل المثال، إذا كان لدينا سلك بهذا الطول، وعلينا أن نمرر تيارًا عبر هذا السلك، سيكون هناك مقدار ما من المقاومة الكهربية لهذا السلك، ونسجله بالأوم. لكن تخيل ما سيحدث بعد ذلك. افترض أن لدينا سلكًا من المادة نفسها وله مساحة المقطع نفسها كالسلك السابق، لكن أصبح طوله أقصر. إذا مررنا مرة أخرى تيارًا عبر هذا الجزء الأصغر من السلك، سنحصل على مقاومة، لكنها ستكون أقل من المقاومة على امتداد طول هذا السلك. يوضح لنا هذا أن المقاومة كمية لا تعتمد فقط على المادة المصنوع منها الجسم، لكنها تعتمد أيضًا على أبعاد هذا الجسم.
تكون المقاومة النوعية 𝜌 للمادة عكس ذلك. فبالنسبة لجسمين مصنوعين من المادة نفسها، كهذين السلكين، تكون المقاومة النوعية لأحد الجسمين هي نفسها المقاومة النوعية للجسم الآخر. وعلى عكس المقاومة، لا تعتمد المقاومة النوعية على أبعاد الجسم، بل تعتمد فقط على المادة المصنوع منها. ويمكننا أن نلاحظ أوجه التشابه بين المقاومة النوعية والمقاومة، وكذلك أوجه الاختلاف بينهما بإلقاء نظرة على وحدة المقاومة النوعية. تتضمن المقاومة النوعية والمقاومة كلتاهما وحدة الأوم. لكن في المقاومة النوعية، هذه الوحدة الإضافية، التي يمكن أن نسميها بعد الطول، هي التي تجعل المقاومة النوعية لهذا السلك هي نفسها المقاومة النوعية لهذا السلك الآخر حتى لو كان طولا السلكين مختلفين.
معرفة وحدتي هاتين الكميتين ستساعدنا على اختيار الإجابة الصحيحة. لاحظ أنه إذا استخدمنا النظام الدولي للوحدات أيضًا، ستكون وحدة الطول الأساسية هي المتر، بينما ستكون وحدة المساحة هي المتر المربع. بعد أن عرفنا هذا كله، دعونا الآن نتناول الوحدات في كلا طرفي كل معادلة من هذه المعادلات، بدءًا من خيار الإجابة (أ). لكي تكون هذه المعادلة صحيحة، لا بد أن تكون وحدة المقاومة النوعية، أي الأوم، مضروبة في المتر مساوية لوحدة المقاومة، أي الأوم، في وحدة الطول، أي المتر، مقسومة على وحدة المساحة، أي المتر المربع. لكن نلاحظ أنه في الطرف الأيمن، يحذف عامل متر واحد من كل من البسط والمقام، فيتبقى لدينا الوحدة الكلية أوم مقسومًا على متر. إذن، هذا التساوي لا يتحقق. لذا، لن نختار خيار الإجابة (أ).
بالانتقال إلى خيار الإجابة (ب)، نجد لدينا هنا على اليسار مقاومة بوحدة الأوم. ويفترض أنها تساوي وحدة المقاومة النوعية، أي الأوم في المتر، في وحدة الطول، أي المتر، الكل مقسومًا على المتر المربع، أي وحدة المساحة. في هذه الحالة، نلاحظ أن عاملي المتر في البسط يحذفان مع عاملي المتر في المقام. إذن، الوحدة المبسطة في الطرف الأيمن هي الأوم. ويوضح لنا هذا أن في خيار الإجابة (ب)، تتفق الوحدات في كلا طرفي المعادلة إحداها مع الأخرى.
للتأكد من أن هذه هي الإجابة الصحيحة، دعونا ننتقل إلى الخيارين (ج) و(د). في خيار الإجابة (ج)، لدينا في الطرف الأيسر وحدة الأوم، وهي وحدة المقاومة، والمفترض أنها تساوي أوم في متر مضروبًا في متر مربع الكل مقسومًا على متر. في الطرف الأيمن من هذا التعبير، يحذف عامل متر واحد من كل من البسط والمقام. فيتبقى لدينا أوم في متر مربع، وهو لا يساوي أوم. إذن، الوحدات الموجودة في خيار الإجابة (ج) لا تتفق إحداها مع الأخرى.
وأخيرًا، سنلقي نظرة على خيار الإجابة (د). المقاومة بوحدة الأوم هنا يفترض أنها تساوي المقاومة النوعية بوحدة الأوم في المتر مضروبًا في المساحة بوحدة المتر المربع مضروبًا في الطول بوحدة المتر. إجمالًا، يتضمن هذا الطرف الأيمن وحدة أوم في متر أس أربعة. وهذا بالطبع مختلف عن وحدة الأوم. إذن، نستبعد خيار الإجابة (د) أيضًا. وهذا يؤكد أن الإجابة هي الخيار (ب). فهذه هي المعادلة الوحيدة التي تصف على نحو صحيح العلاقة بين المقاومة النوعية لمادة ما ومقاومة جسم ما طوله 𝑙 مصنوع من هذه المادة، إذا كانت للجسم مساحة مقطع 𝐴 ومقاومة 𝑅.
