فيديو الدرس: الأس الصفري والأسس السالبة الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول الأس الصفري والأسس السالبة. من المفيد هنا معرفة أن الأس يمكن أيضًا أن يسمى القوة أو الدليل حسب المكان الذي تعيش فيه. وعندما ننظر إلى الأس أو القوة أو الدليل، نلاحظ أنه عدد صغير يكتب فوق عدد آخر نسميه الأساس.

كما نلاحظ هنا، العدد ثلاثة هو الأساس، والصفر هو الأس. حسنًا، ماذا تعني الأسس السالبة والأسس الصفرية بالضبط؟ دعونا نتناول ذلك. ونعرف ما المقصود بالأسس وكيف يمكننا معرفة الأسس الصفرية والسالبة أيضًا.

لنتذكر أولًا المقصود بالأس أو القوة. حسنًا، إذا كان لدينا ثلاثة أس أربعة أو مرفوعًا للقوة أربعة، فإن ذلك يعني ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة. في هذا المثال، نتذكر أن العدد ثلاثة هو الأساس والعدد أربعة هو الأس أو القوة أو الدليل. وقد عرفنا هنا أن هذا يعني ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة. إذن، يوضح لنا الأس عدد المرات التي نضرب فيها الأساس في نفسه. وذلك لأننا نلاحظ وجود العدد ثلاثة أربع مرات، وهناك علامة ضرب بين كل عددين.

تجدر الإشارة إلى أن علامة الضرب هنا على شكل حرف ‪x‬‏ بالإنجليزية. لكن في بعض المناطق، نلاحظ أيضًا استخدام علامة الضرب على شكل النقطة. يمكن استخدام أي من هاتين العلامتين كما يمكننا استخدام مصطلح الأس أو القوة أو الدليل. لدينا الآن ثلاثة تكعيب. وهو يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة. لدينا بعد ذلك ثلاثة تربيع، وهو يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة. ولدينا ثلاثة أس واحد، وهو يساوي ثلاثة فقط.

دعونا نحسب هذه الأعداد ونعرف القيم الفعلية لها. ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١. وثلاثة تكعيب يساوي ٢٧. وثلاثة تربيع يساوي تسعة. وثلاثة أس واحد يساوي ثلاثة، كما ذكرنا من قبل. حسنًا، هيا نعرف كيف نحصل على هذه القيم. نلاحظ هنا أنه في كل مرة نضيف واحدًا إلى الأس، فإننا نضرب في الأساس مرة أخرى. وذلك لأننا إذا نظرنا من أسفل لأعلى، فسوف نلاحظ انتقالنا من ثلاثة إلى تسعة، ثم من تسعة إلى ٢٧، ثم من ٢٧ إلى ٨١. ففي كل مرة، نضرب في ثلاثة.

رائع، لقد تناولنا المقصود بالأسس وكيف نتعامل معها. لكن علينا التفكير في موضوع هذا الدرس. يدور هذا الدرس حول موضوع الأس الصفري والأسس السالبة. فدعونا نتناول ذلك. أولًا: لدينا ثلاثة أس صفر. نحن لا نعرف قيمة ذلك، لكن هل يمكننا حسابها باستخدام النمط الذي لدينا؟

إذا اتبعنا ذلك النمط بطريقة عكسية، نلاحظ أنه في كل مرة نطرح واحدًا من الأس، فإننا نقسم على ثلاثة. وذلك لأن ٨١ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٢٧، و٢٧ مقسومًا على ثلاثة يساوي تسعة، وتسعة مقسومًا على ثلاثة يساوي ثلاثة. إذن، إذا قسمنا ثلاثة على ثلاثة، يتبقى لدينا واحد فقط. ومن ثم، يمكننا القول إن ثلاثة أس صفر يساوي واحدًا. وفي الواقع، أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. رائع، لقد عرفنا المقصود بالأس الصفري، فماذا عن الأسس السالبة؟

في حالة الأس السالب، فإننا ننتقل من صفر إلى سالب واحد، وعلينا القسمة على ثلاثة مجددًا. فإذا كان لدينا واحد مقسومًا على ثلاثة، فسوف نحصل على ثلث. إذن، نقول إن ثلاثة أس سالب واحد يساوي ثلثًا. لكن هل يمكننا الحصول على صورة عامة من ذلك؟ حسنًا، هيا نعرف إذا ما كان بإمكاننا أن نفعل ذلك مرة أخرى. إذا انتقلنا إلى الأس سالب اثنين، أي يصبح لدينا ثلاثة أس سالب اثنين، فسوف نقسم على ثلاثة مرة أخرى. لكن لا يبدو ذلك بهذه البساطة؛ فلدينا ثلث مقسومًا على ثلاثة، فكيف يمكننا حل ذلك؟

حسنًا، سنوضح العملية الحسابية؛ لأنها ستساعدنا في معرفة الناتج. إذا كان لدينا ثلث مقسومًا على ثلاثة، فيمكننا أن نتعامل معه على أنه ثلث مقسومًا على ثلاثة على واحد. وإذا قسمنا على كسر، فإنه علينا إيجاد المقلوب. إذن، نقلب هذا الكسر. وهذا هو الكسر الثاني. بعد ذلك، نضرب الكسرين معًا. هذا يعطينا ثلثًا مضروبًا في ثلث، وهو ما يساوي واحدًا تربيع على ثلاثة تربيع، أي واحدًا على تسعة. رائع، يمكننا إذن التفكير في شكل الصورة العامة.

الصورة العامة هي ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. ونلاحظ أن هذا هو المقلوب. حسنًا، دعونا نتعرف على كيفية تطبيق ذلك عمليًّا. ونتناول سؤالًا.

أي من التالي يساوي ٤٦ أس سالب واحد؟ (أ) واحد على ٤٦، أم (ب) ٤٦، أم (جـ) ٤٥، أم (د) واحد على ٤٥، أم (هـ) ٠٫٤٦.

لعلنا نتذكر أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. وهذه هي إحدى قواعد الأسس لدينا. ومن خلال هذه القاعدة، يمكننا ملاحظة أن ﺱ أس سالب واحد يساوي واحدًا على ﺱ. إذن، هذا هو المقلوب. دعونا الآن نتناول ما لدينا في السؤال. لدينا ٤٦ أس سالب واحد. إذا فكرنا في ٤٦ على أنه ٤٦ على واحد، فسنجد أن ٤٦ أس سالب واحد هو مقلوب ٤٦ على واحد. وهذا يعطينا واحدًا على ٤٦ ؛ لأننا قلبنا البسط والمقام لإيجاد المقلوب.

إذن، يمكننا القول إن الخيار (أ) هو الذي يساوي ٤٦ أس سالب واحد. وذلك لأن الخيار (أ) هو واحد على ٤٦.

كان هذا مثالًا جيدًا لتوضيح ما سنحصل عليه إذا كان لدينا الأس سالب واحد. حسنًا، ما الذي سنتناوله بعد ذلك؟ دعونا نلق نظرة على المثال خمسة أس سالب اثنين. مرة أخرى، علينا أن نتذكر أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. إذن، خمسة أس سالب اثنين يساوي واحدًا على خمسة تربيع، وهو ما يعطينا واحدًا على ٢٥.

كما أوضحنا من قبل، تجدر الإشارة إلى أن لدينا واحدًا تربيع على خمسة تربيع، وهو ما يعطينا واحدًا على ٢٥. وفي الصورة العامة، لدينا ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. لكن هذا سيفيدنا جدًّا في الأسئلة التي سنتناولها لاحقًا.

ماذا لدينا الآن؟ حسنًا، لقد حان وقت السؤال التالي. فهيا نتابع وننتقل إلى السؤال التالي. في هذا السؤال، لدينا عدد عشري، ويمكن أن يكون هذا مثيرًا للاهتمام نوعًا ما. فلنتناول إذن السؤال ونبدأ الحل.

ما قيمة ٠٫٢ الكل أس سالب ثلاثة؟

إذا فكرنا في العدد ٠٫٢، فسنجد أنه هو نفسه عشران. وذلك لأننا إذا نظرنا إلى القيمتين المكانيتين لدينا، فسنجد أن الصفر هو الآحاد واثنين هو الأجزاء من عشرة. إذن، نقول إن ٠٫٢ يساوي عشرين. لكن هل يمكننا التبسيط أكثر من ذلك؟ نعم، يمكننا تبسيط الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين. وعندما نفعل ذلك، نحصل على واحد على خمسة، أو خمس؛ لأن اثنين مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا و١٠ مقسومًا على اثنين يساوي خمسة. إذن، نعرف أن ٠٫٢ يساوي خمسًا. وفي الواقع، هذا تحويل من الصورة العشرية علينا أن نعرفه.

إذن، يكون لدينا خمس أس سالب ثلاثة. وإذا تذكرنا أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ، فسنجد أن الأمر مختلف قليلًا هنا؛ لأن لدينا كسرًا، وهو واحد على خمسة. لكنه يتفق تمامًا مع النظرية نفسها؛ لأن ما سنفعله هو إيجاد مقلوب واحد على خمسة. وبعد ذلك، نرفعه للأس ثلاثة.

إذن، يمكننا القول إن هذا الكسر يساوي خمسة تكعيب على واحد تكعيب. وذلك لأن مقلوب واحد على خمسة هو خمسة على واحد. لكننا عادة لا نكتب واحدًا تكعيب في المقام. حسنًا، خمسة تكعيب يعني خمسة مضروبًا في خمسة مضروبًا في خمسة. خمسة مضروبًا في خمسة يساوي ٢٥، و٢٥ مضروبًا في خمسة يساوي ١٢٥. ومن ثم، يمكننا القول إن قيمة ٠٫٢ أس سالب ثلاثة تساوي ١٢٥.

لقد تناولنا مثالًا آخر. وتضمن هذا المثال عددًا عشريًّا. بذلك، نكون قد بدأنا نستعرض أنواعًا مختلفة من المقادير التي تتضمن أسسًا سالبة. لكن ما النوع التالي من الأسئلة الذي يمكن أن نتناوله؟ في هذا السؤال، سنعرف إذا كان بإمكاننا حساب المقادير التي تتضمن أسسًا سالبة. والإجابة هي نعم، يمكننا ذلك.

احسب اثنين أس سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة أس سالب واحد، الكل أس سالب واحد، في أبسط صورة.

أول ما علينا فعله هو استخدام القاعدة لدينا، وهي ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ، وذلك لتحويل العددين اللذين يتضمنان أسين سالبين إلى كسرين. أولًا: لدينا اثنان أس سالب اثنين. وهذا يساوي واحدًا على اثنين تربيع، وهو ما يساوي واحدًا على أربعة. إذن، يمكننا القول إن اثنين أس سالب اثنين يساوي ربعًا. بعد ذلك، لدينا ثلاثة أس سالب واحد. ونحن نعرف أن ثلاثة أس سالب واحد يساوي واحدًا على ثلاثة. وذلك لأنه مقلوب ثلاثة على واحد. فثلاثة على واحد هو ثلاثة. ومقلوبه واحد على ثلاثة. رائع، لقد حولنا كلا العددين إلى كسرين.

لدينا الآن ربع مضروبًا في ثلث، الكل أس سالب واحد. وإذا ضربنا أي كسرين، فإننا نضرب البسطين معًا ثم نضرب المقامين معًا. إذن، واحد مضروبًا في واحد يساوي واحدًا. وأربعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٢. فيصبح لدينا واحد على ١٢ أس سالب واحد. وكما ذكرنا من قبل، عندما يكون لدينا عدد أس سالب واحد، يجب علينا إيجاد مقلوبه. ولإيجاد المقلوب، علينا قلب البسط والمقام.

وعليه، اثنان أس سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة أس سالب واحد، الكل أس سالب واحد، يساوي ١٢. وذلك لأن الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة واحد على ١٢ أس سالب واحد. ومقلوب واحد على ١٢ هو ١٢.

حسنًا، لقد تناولنا حساب المقادير التي تتضمن أسسًا سالبة، وسنتناول الآن كسرًا. وهذا الكسر لا يتضمن العدد واحدًا سواء في بسطه أو مقامه.

أي من التالي يساوي ثلثين أس سالب ثلاثة؟ الخيارات هي (أ) ٢٧ على ثمانية، (ب) ثمانية على ٢٧، (ج) سالب ثمانية على ٢٧، (د) سالب ستة على سالب تسعة، (هـ) سالب ٢٧ على ثمانية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم الصورة المعدلة من قاعدة الأس الأكثر شيوعًا. وهي تنص على أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. وتعني أن ﺱ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا أس ﻥ على ﺱ أس ﻥ. وبما أن واحدًا أس ﻥ يساوي واحدًا، فإننا نكتب واحدًا على ﺱ أس ﻥ. إذن، إذا كان لدينا ﺱ على ﺹ أس سالب ﻥ، فإن هذا يساوي ﺹ أس ﻥ على ﺱ أس ﻥ. وذلك لأن علينا إيجاد مقلوب الكسر ورفع كل حد من الحدين للقوة ﻥ.

ومن ثم، إذا كان لدينا ثلثان، أو اثنان على ثلاثة، أس سالب ثلاثة، فعلينا أولًا إيجاد المقلوب. وهو ما نحصل عليه عندما نقلب البسط والمقام. إذن، يصبح الثلثان ثلاثة أنصاف، أو ثلاثة على اثنين. حسنًا، علينا رفع كل من البسط والمقام للقوة ثلاثة، وهذا ما يمثل قيمة ﻥ في هذا المثال. ثلاثة تكعيب يعني ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة، واثنان تكعيب يعني اثنين مضروبًا في اثنين مضروبًا في اثنين.

إذن، يمكننا القول إن ثلثين أس سالب ثلاثة يساوي ٢٧ على ثمانية. وذلك لأن ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة يساوي ٢٧ واثنين في اثنين في اثنين يساوي ثمانية. وعليه، يمكننا القول إن الإجابة الصحيحة من بين الخيارات التي لدينا هي (أ)؛ لأنها ٢٧ على ثمانية، أو ٢٧ ثمنًا.

رائع، دعونا الآن ننتقل إلى الجزء الأخير من موضوع الأسس السالبة. لقد بدأنا بالأس سالب واحد. وانتقلنا بعد ذلك إلى الأسس السالبة التي لا تساوي سالب واحد، أي سالب اثنين، وسالب ثلاثة، وهكذا. وبعد ذلك، ضربنا القيم المرفوعة للقوى السالبة، وكان من أمثلة ذلك اثنان أس سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة أس سالب واحد. تناولنا الكسور، وكان من أمثلة ذلك ﺱ على ﺹ أس سالب ﻥ أو ثلثان أس سالب ثلاثة.

لنتناول الآن المثال الأخير. وسنستحضر المهارات التي تعلمناها لضرب الكسور المرفوعة لقوى سالبة.

أي مما يلي يساوي سالب ثلاثة أرباع أس خمسة مضروبًا في سالب ثلاثة أرباع أس سالب سبعة. الخيارات هي (أ) واحد وسبعة أتساع، (ب) سالب ثلاثة أرباع أس سالب ٣٥، (ج) سالب واحد وسبعة أتساع، (د) تسعة على ١٦، (هـ) سالب تسعة على ١٦.

لحل هذه المسألة، سنتناول القاعدتين العامتين للأسس لدينا. في القاعدة الأولى، إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ، فإن الناتج يكون ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. إذن، نحن نجمع الأسس. وفي القاعدة الثانية، لدينا ﺱ على ﺹ أس سالب ﻥ يساوي ﺹ أس ﻥ على ﺱ أس ﻥ. إذن، علينا إيجاد مقلوب الكسر، ثم رفع كل من البسط والمقام للقوة ﻥ.

يمكننا استخدام القاعدة الأولى؛ لأننا نلاحظ تماثل الأساسين في السؤال، وهما سالب ثلاثة على أربعة وسالب ثلاثة أرباع. إذن، سالب ثلاثة أرباع أس خمسة مضروبًا في سالب ثلاثة أرباع أس سالب سبعة يساوي سالب ثلاثة أرباع أس خمسة زائد سالب سبعة. وهو ما يساوي سالب ثلاثة أرباع أس سالب اثنين.

والآن، دعونا نطبق القاعدة الثانية. ولتطبيقها، علينا إيجاد المقلوب أولًا. ومن ثم، يكون لدينا أربعة على ثلاثة بدلًا من ثلاثة على أربعة. وبما أن لدينا سالب ثلاثة على أربعة، فسيكون لدينا الآن سالب أربعة على ثلاثة. ولكن علينا وضع الإشارة السالبة في البسط حتى لا ننسى كتابتها في الإجابة أو حتى لا نحصل على إجابة خاطئة، أي نحصل على عدد سالب في حين أنه يجب أن يكون عددًا موجبًا.

لدينا سالب أربعة تربيع على ثلاثة تربيع. هذا لأن كلًّا من البسط والمقام مرفوع للقوة اثنين. وهذا يعطينا ١٦ على تسعة. وذلك لأن سالب أربعة مضروبًا في سالب أربعة يساوي ١٦، وثلاثة مضروبًا في ثلاثة يساوي تسعة. ولتحويل ذلك إلى عدد كسري، علينا أن نلاحظ كم مرة يتكرر العدد تسعة في العدد ١٦. في العدد ١٦، يتكرر العدد تسعة مرة واحدة ويتبقى سبعة. هذا لأننا إذا ألقينا نظرة على خيارات الإجابة (أ)، (ب)، (ج)، (د)، (هـ)، فلن نجد أيًّا منها يتضمن ١٦ على تسعة.

إذن، الإجابة هي واحد وسبعة أتساع. يمكننا الآن أن نلقي نظرة على الإجابات الموجودة على اليمين. ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن هذا يطابق الإجابة (أ). فنجد أن الإجابة (أ) هي الإجابة الصحيحة. إذن، الخيار (أ)، وهو واحد وسبعة أتساع، هو الإجابة الصحيحة. لكن من المهم أيضًا ملاحظة أنه من الممكن الحصول على إجابات أخرى عند ارتكاب بعض الأخطاء البسيطة.

على سبيل المثال، من الممكن الحصول على الإجابة (ج)، إذا نسينا الإشارة السالبة التي ذكرناها من قبل. فإذا نسينا الإشارة السالبة وتركناها خارج الكسر، فكنا سنحصل على سالب ١٦ على تسعة، وهو ما يساوي سالب واحد وسبعة أتساع.

هناك خطأ آخر شائع كان من الممكن أن ينتهي بنا إلى اختيار الإجابة (ب)، وهو ضرب الأسين بدلًا من جمعهما. ما يعني أننا لم نستخدم القاعدة الأولى. لكننا كنا سنستخدم القاعدة الخطأ التي تنص على أننا إذا ضربنا عددين لهما أساسان متماثلان وأسان مختلفان، فإننا نضرب الأسين معًا. وهذا كان سيعطينا سالب ٣٥. ولقد تجنبنا ذلك. وحصلنا على الإجابة الصحيحة، وهي واحد وسبعة أتساع، أي الإجابة (أ).

بذلك نكون قد انتهينا. ووصلنا إلى نهاية هذا الدرس. يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية التي تعلمناها. وهي تتضمن أنه إذا كان لدينا ثلاثة أس اثنين، فإن ثلاثة هو الأساس، واثنين هو الأس أو القوة. وإذا كان لدينا ﺱ أس صفر، فإن هذا يساوي واحدًا فقط. أما إذا كان لدينا ﺱ أس سالب ﻥ، فإن هذا يساوي واحدًا على ﺱ أس ﻥ. وهذا هو المقلوب. وأخيرًا، إذا كان لدينا ﺱ على ﺹ أس سالب ﻥ، فإن هذا يساوي ﺹ أس ﻥ على ﺱ أس ﻥ. وهو ما يعني أننا نوجد مقلوب الكسر ثم نرفع كلًّا من البسط والمقام للقوة ﻥ.