فيديو السؤال: جمع كسرين بسطهما مقدار جبري خطي أو صحيح ومقامهما مقداران جبريان خطيان مختلفان

نسخة الفيديو النصية

اكتب أربعة على ﺱ زائد واحد زائد اثنين ﺱ على اثنين ﺱ زائد ثلاثة على صورة كسر واحد في أبسط صورة.

لحل هذه المسألة، نرى أن لدينا كسرين جبريين وأننا نريد جمعهما. وكما هو الحال مع أي نوع من الكسور، عندما نريد جمع الكسور، فإنه يتعين علينا إيجاد مقام مشترك. وإحدى الطرق التي يمكننا استخدامها في ذلك هي طريقة الضرب التبادلي، التي تتيح لنا إمكانية جمع الكسرين لدينا.

إذن، إذا كان لدينا كسران ﺃ على ﺏ زائد ﺟ على ﺩ، فسنضرب ﺃ في ﺩ — فنحصل على ﺃﺩ — زائد ﺟ في ﺏ — أي، ﺟﺏ. بعد ذلك، نضرب المقامين؛ أي، ﺏ في ﺩ. فنحصل على ﺏﺩ. حسنًا، مذهل، إذن، هذه إحدى الطرق بالفعل. وهي ستساعدنا على حل المسألة. إذن، فلنبدأ ونجمع الكسرين الجبريين معًا.

يمكننا القول بأن أربعة على ﺱ زائد واحد زائد اثنين ﺱ على اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي أربعة في اثنين ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين ﺱ في ﺱ زائد واحد؛ وذلك لأننا، كما ذكرنا من قبل، استخدمنا الضرب التبادلي، ثم قسمنا كل هذا على ﺱ زائد واحد في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. حسنًا، رائع، فقد استكملنا الخطوة الأولى.

والآن، ما سنفعله هو فك الأقواس في البسط. ومن ثم، نحصل على ثمانية ﺱ، حيث لدينا أربعة في اثنين ﺱ، زائد ١٢، لأن لدينا أربعة في ثلاثة، زائد اثنين ﺱ تربيع، لأن اثنين ﺱ في ﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع، زائد اثنين ﺱ، ثم كل ذلك على ﺱ زائد واحد في اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

إذن، ما سنفعله الآن هو تبسيط البسط. فنحصل على اثنين ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد ١٢ على ﺱ زائد واحد في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. ونحصل على ذلك لأننا جمعنا الحدين المتشابهين المتاحين. فأصبح لدينا ثمانية ﺱ زائد اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ١٠ﺱ. حسنًا، عظيم، فقد كتبنا الكسرين في صورة كسر واحد. ولكن هل هذه هي أبسط صورة له؟

حسنًا، في الواقع، أعتقد أن هناك خطوة أخيرة يمكننا اتباعها؛ حيث يمكننا أخذ عامل مشترك من البسط. وهو ما يعطينا اثنين في ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ستة، لأن اثنين هو عامل مشترك بين كل الحدود، على ﺱ زائد واحد في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. ولكن هل هذا هو الحل النهائي؟ حسنًا، في الواقع، إذا نظرنا إلى هذا، فيمكننا أن نرى أن لدينا في البسط مقدارًا تربيعيًّا يمكننا تحليله. فلنستعرض سريعًا طريقة القيام بذلك.

لدينا ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ زائد ستة. حسنًا، لدينا موجب ﺱ تربيع، وهو ما يعني أنه سيكون لدينا ﺱ في بداية كل قوس. حسنًا، فما الذي سنفعله الآن؟ ما علينا فعله هو إيجاد عاملين حاصل ضربهما يساوي موجب ستة، ومجموعهما يساوي موجب خمسة. ومن ثم، فالعددان اللذان سنحصل عليهما هما موجب ثلاثة وموجب اثنين؛ لأن اثنين في ثلاثة يساوي ستة واثنين زائد ثلاثة يساوي خمسة أو موجب خمسة.

هذا رائع، فقد أوجدنا العاملين. ولدينا ﺱ زائد ثلاثة في ﺱ زائد اثنين. وبالتالي، يمكننا القول بأننا إذا كتبنا أربعة على ﺱ زائد واحد زائد اثنين ﺱ على اثنين ﺱ زائد ثلاثة في صورة كسر واحد في أبسط صورة، فسنحصل على اثنين في ﺱ زائد اثنين في ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ زائد واحد في اثنين ﺱ زائد ثلاثة.