نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع الأعداد النسبية التي تتضمن كسورًا وأعدادًا عشرية ونسبًا مئوية. سنبدأ بتذكر تعريف العدد النسبي.
نعلم أن العدد النسبي هو خارج قسمة عددين صحيحين، ومن ثم يمكن كتابته على الصورة ﺃ على ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان، وﺏ لا يساوي صفرًا. ثمة عدة طرق لتمثيل الأعداد النسبية. على سبيل المثال، بما أننا نقسم ﺃ على عدد صحيح ﺏ، فإننا نقسم قيمة ﺃ إلى أجزاء متساوية من ﺏ. وإحدى طرق تمثيل ذلك هي تحديد موضع ﺃ على خط الأعداد. لتمثيل ﺃ على ﺏ على خط الأعداد هذا، نحتاج إلى تقسيم القطعة المستقيمة الواصلة بين الصفر وﺃ إلى مقاطع متساوية عددها ﺏ. على سبيل المثال، إذا كان ﺏ يساوي ستة، فإننا نقسم هذه القطعة المستقيمة إلى ستة أجزاء متساوية في الطول كما هو موضح. وستكون قيمة أول جزء بعد الصفر هي ﺃ على ستة.
يمكننا استخدام خط أعداد بهذا الشكل لجمع الأعداد النسبية. ولفعل ذلك، علينا أن نتذكر أولًا أنه لجمع عددين على خط الأعداد، نجمع المسافتين اللتين تفصلهما عن الصفر. دعونا نتناول مثالًا يوضح جمع ثلاثة أسباع وسبعين باستخدام خط الأعداد. نقسم القطعة المستقيمة بين صفر وواحد إلى سبعة أجزاء متساوية؛ بحيث يكون مقدار الزيادة بين كل جزء والجزء الذي يسبقه سبعًا. وعليه يمكننا تمثيل سبعين وثلاثة أسباع كما هو موضح.
لجمع هذين العددين معًا، علينا جمع المسافتين اللتين تفصلهما عن الصفر. وبما أن اثنين زائد ثلاثة يساوي خمسة، فإننا الآن نبعد عن الصفر بمقدار خمس زيادات مقدار كل منها سبع في الاتجاه الموجب. وهذا يعني أن ثلاثة أسباع زائد سبعين يساوي خمسة أسباع. ولعلنا نلاحظ أننا نجمع بسطي العددين النسبيين فقط. وينطبق الأمر نفسه عند جمع أي كسرين مقاماهما متساويان، وهو ما يقودنا إلى القاعدة العامة التي تنص على أنه إذا كان ﺃ وﺏ وﺟ أعدادًا صحيحة حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، فإن ﺃ على ﺏ زائد ﺟ على ﺏ يساوي ﺃ زائد ﺟ على ﺏ.
سنتناول الآن بعض الأمثلة؛ حيث يمكننا استخدام هذه القاعدة.
أوجد قيمة ثلاثة أعشار زائد عشر. اكتب إجابتك في أبسط صورة.
نبدأ بملاحظة أن لدينا عددين نسبيين لهما المقام نفسه. وبما أن المقام لا يساوي صفرًا، يمكننا استخدام القاعدة التي تنص على أن ﺃ على ﺏ زائد ﺟ على ﺏ يساوي ﺃ زائد ﺟ على ﺏ. وتشير هذه القاعدة إلى أنه عند جمع كسرين لهما المقام نفسه، فإننا نجمع بسطيهما فقط. هذا يعني أن ثلاثة على ١٠ زائد واحد على ١٠ يساوي ثلاثة زائد واحد على ١٠. ويمكن تبسيط ذلك إلى أربعة على ١٠ أو أربعة أعشار.
يطلب منا هذا السؤال كتابة الإجابة في أبسط صورة، ومن ثم علينا التحقق من وجود أي عوامل مشتركة بين البسط والمقام بخلاف الواحد. وبما أن أربعة و ١٠ عددان زوجيان، يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على اثنين. وعليه يمكن تبسيط الكسر أربعة أعشار إلى خمسين. يمكننا إذن استنتاج أن قيمة ثلاثة أعشار زائد عشر في أبسط صورة تساوي خمسين.
في المثال الآتي، سنجمع عددين كسريين لهما المقام نفسه.
احسب ثمانية وخمسين زائد سالب أربعة وثلاثة أخماس. اكتب إجابتك في صورة عدد كسري.
في هذا السؤال، سنبدأ بإعادة كتابة العددين الكسريين في صورة كسرين غير فعليين أو في صورة كسرين بسط كل منهما أكبر من مقامه. ولعلنا نتذكر أن العدد الكسري ﺃ وﺏ على ﺟ يساوي ﺃﺟ زائد ﺏ على ﺟ. وهذا يعني أن ثمانية وخمسين يساوي ثمانية مضروبًا في خمسة زائد اثنين على خمسة. بسط الكسر غير الفعلي يساوي العدد الكلي مضروبًا في المقام زائد بسط العدد الكسري. ومن ثم فإن ثمانية وخمسين يساوي ٤٢ على خمسة أو ٤٢ خمسًا.
يمكننا تكرار هذه العملية مع العدد الكسري سالب أربعة وثلاثة أخماس. نبدأ بتحويل العدد الكسري أربعة وثلاثة أخماس إلى كسر غير فعلي. وهذا يساوي ٢٣ على خمسة. ومن ثم فإن سالب أربعة وثلاثة أخماس يساوي سالب ٢٣ على خمسة.
يمكننا الآن جمع الكسرين غير الفعليين. بما أن المقامين متساويان، نجمع البسطين وهو ما يعطينا ٤٢ زائد سالب ٢٣ على خمسة. وهذا يساوي ١٩ على خمسة أو ١٩ خمسًا. الخطوة الأخيرة هي تحويل هذا الكسر إلى عدد كسري مرة أخرى. بقسمة ١٩ على خمسة، نحصل على ثلاثة والباقي أربعة. وبذلك فإن ١٩ على خمسة يساوي ثلاثة وأربعة أخماس. يمكننا إذن استنتاج أن هذه هي قيمة ثمانية وخمسين زائد سالب أربعة وثلاثة أخماس.
تجدر الإشارة في هذه المرحلة إلى أنه ليس بالضرورة أن تكون مقامات الكسور التي نرغب في جمعها متساوية. وفي هذه الحالة يظل بإمكاننا إيجاد قيم هذه المقادير باستخدام خط الأعداد أو بإيجاد مقام مشترك.
والآن دعونا نتناول مثالًا من هذا النوع.
أوجد قيمة نصف زائد ثلثين.
للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم خط الأعداد وسنستعين بمعرفتنا بالكسور المتكافئة. سنرسم خط أعداد من صفر إلى اثنين، وسنبدأ بتحديد موضعي الكسرين نصف وثلثين. لفعل ذلك، نقسم كلًّا من العددين الصحيحين إلى جزأين وإلى ثلاثة أجزاء متساوية، على الترتيب. بعد ذلك، لعلنا نتذكر أنه لجمع الكسرين، نجمع المسافتين اللتين تفصلهما عن الصفر. ويمكن تمثيل ذلك على خط الأعداد كما هو موضح.
ولكن ستواجهنا مشكلة صغيرة؛ إذا حاولنا إيجاد مجموع هذين العددين باستخدام خط الأعداد، فسنجد أن العدد الذي تشير إليه هذه النقطة غير محدد. ومن ثم يمكننا إيجاد قيمة هذه النقطة بالاستعانة بمعرفتنا بجمع الكسور ذات المقامات المتساوية ومعرفتنا بالكسور المتكافئة. الكسر نصف يكافئ ثلاثة أسداس؛ حيث يمكننا ضرب كل من البسط والمقام في ثلاثة. وبالمثل، ثلثان يكافئ أربعة أسداس. هذه المرة نضرب كلًّا من البسط والمقام في اثنين.
يمكننا إذن إعادة كتابة نصف زائد ثلثين على الصورة ثلاثة أسداس زائد أربعة أسداس. وبتذكر أنه عند جمع كسرين لهما المقام نفسه، نجمع البسطين فقط، وبهذا يصبح لدينا ثلاثة زائد أربعة على ستة، أي ما يساوي سبعة على ستة أو سبعة أسداس. وبدلًا من تقسيم كل عدد صحيح إلى جزأين وثلاثة أجزاء على خط الأعداد، يمكننا تقسيمه إلى ستة أجزاء. يتضح من ذلك مرة أخرى أننا نجمع ثلاثة أسداس وأربعة أسداس، وهو ما يعطينا الإجابة سبعة أسداس. يمكننا إذن استنتاج أن نصفًا زائد ثلثين يساوي سبعة أسداس، وهو ما يمكن كتابته أيضًا في صورة العدد الكسري واحد وسدس.
والآن، دعونا نتناول مثالين آخرين حيث الأعداد النسبية معطاة في صورة أعداد عشرية، ونسب مئوية، وكسور.
لنفترض أن ﺱ يساوي خمسًا، وﺹ يساوي ١٦ بالمائة. عن طريق تحويل ﺱ وﺹ إلى الصورة العشرية، أوجد قيمة ﺱ زائد ﺹ مقربة إلى أقرب جزء من مائة.
سنبدأ حل هذا السؤال بتحويل قيمتي ﺱ وﺹ إلى الصورة العشرية. دعونا نتناول الكسر خمسًا. بضرب كل من البسط والمقام في اثنين، نجد أن خمسًا يكافئ عشرين. وباستخدام معرفتنا بالقيمة المكانية، يمكننا كتابة هذا الكسر على الصورة ٠٫٢. ومن ثم فإن قيمة ﺱ تساوي ٠٫٢.
بعد ذلك لعلنا نتذكر أنه يمكن تحويل النسبة المئوية إلى عدد عشري بالقسمة على ١٠٠. وهذا يعني أن ١٦ بالمائة يساوي ١٦ مقسومًا على ١٠٠ أو ١٦ جزءًا من ١٠٠، وهو ما يكتب ٠٫١٦ في الصورة العشرية. والآن أصبحت لدينا قيمتا ﺱ وﺹ في الصورة العشرية. وبذلك يمكننا إيجاد قيمة ﺱ زائد ﺹ عن طريق جمع ٠٫٢ و٠٫١٦. وهذا يساوي ٠٫٣٦، وهذا الناتج مقرب بالفعل لأقرب جزء من مائة. إذن عند جمع الكسر خمس و١٦ بالمائة، نحصل على ٠٫٣٦. يمكننا أيضًا كتابة الناتج على الصورة ٣٦ بالمائة أو ٣٦ على ١٠٠، على الرغم من أن ذلك ليس مطلوبًا في السؤال. ويمكن أيضًا كتابة هذا الكسر في صورته المبسطة تسعة على ٢٥ أو تسعة أجزاء من ٢٥.
والآن، سنتناول مثالًا أخيرًا من هذا النوع.
أوجد في أبسط صورة ثلاثة أخماس زائد ٠٫٧.
علينا في هذا السؤال إيجاد مجموع عددين نسبيين: أحدهما مكتوب في صورة كسر والآخر في صورة عدد عشري. باستخدام معرفتنا بالقيمة المكانية، نعلم أن ٠٫٧ يساوي سبعة أعشار. وبهذا، علينا أن نجمع الكسرين ثلاثة أخماس وسبعة أعشار. نعلم أنه لجمع الكسور، نحتاج إلى مقام مشترك. ومن ثم علينا إيجاد كسر مكافئ لثلاثة أخماس.
بما أن خمسة في اثنين يساوي ١٠، إذن علينا ضرب البسط في اثنين. إذن ثلاثة أخماس يكافئ ستة أعشار. وهذا يعني أنه لإيجاد قيمة ثلاثة أخماس زائد ٠٫٧، يمكننا ببساطة جمع ستة أعشار وسبعة أعشار. وبما أن المقامين أصبحا متساويين، نجمع البسطين، وهو ما يعطينا الناتج النهائي ١٣ على ١٠. جدير بالذكر أنه يمكن كتابة هذا الكسر أيضًا في صورة العدد الكسري واحد وثلاثة أعشار؛ حيث إن ١٣ مقسومًا على ١٠ يساوي واحدًا والباقي ثلاثة. ويمكن أيضًا كتابة ذلك على الصورة العشرية ١٫٣.
والآن، دعونا نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا أن نجمع عددين نسبيين لهما المقام نفسه عن طريق جمع بسطيهما. ويمكننا جمع عددين نسبيين لهما مقامان مختلفان عن طريق تحويل الكسرين أولًا ليصبح لهما المقام نفسه. ونفعل ذلك عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكلا المقامين، ثم ضرب كل من بسط كل كسر ومقامه في العدد نفسه؛ بحيث يكون المقامان مساويين للمضاعف المشترك الأصغر. رأينا أيضًا أنه يمكننا جمع الأعداد النسبية المعطاة في صور مختلفة؛ مثل الأعداد الكسرية، والأعداد العشرية، والنسب المئوية عن طريق تحويل جميع الأعداد إلى الصورة نفسها أولا. وأخيرًا: رأينا أيضًا أنه يمكننا جمع الأعداد النسبية باستخدام مقدار الزيادة بين كل عددين متتاليين على خط الأعداد.
