فيديو السؤال: حل نظام من المعادلات الخطية والتربيعية لإيجاد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلين بيانيين

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلي 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 و𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع يساوي 40 البيانيين.

حسنًا، أول ما ينبغي البحث عنه هو نقاط التقاطع. فما الذي يعنيه ذلك؟ أعتقد أنه يمكننا الاستعانة برسم بسيط ليساعدنا على الفهم. سأعد رسمًا تقريبيًا للتمثيلين البيانيين. لدينا 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 و𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع يساوي 40. حسنًا، نقاط التقاطع هي مواضع التقاء هذين التمثيلين البيانيين. إذن يمكننا من خلال هذين التمثيلين البيانيين ملاحظة أنه ستكون هناك نقطتا تقاطع. وهذا هو مكان نقطتي التقاطع. ومن ثم، نعلم الآن أننا سنبحث عن نقطتي التقاطع. ونعلم ما هما نقطتا التقاطع.

فلنحل هذه المسألة. للقيام بذلك، سنكتب المعادلتين. وكما ترى، فقد أسميت كلًا منهما برقم. إذن لدينا المعادلة رقم واحد والمعادلة رقم اثنين، أو التمثيل البياني رقم واحد والتمثيل البياني رقم اثنين. وقلنا من قبل إن هناك نقاط تقاطع يلتقي عندها التمثيلان البيانيان. إذن ما نريد فعله هو جعل المعادلتين متساويتين. يمكننا القيام بذلك باستخدام طريقة التعويض.

لكي نتمكن من ذلك، سنعوض بقيمة 𝑦 الموجودة لدينا، وعليه ستصبح 𝑦 تساوي ثلاثة 𝑥 في المعادلة رقم اثنين. ومن ثم، سنحصل على 𝑥 تربيع زائد ثلاثة 𝑥 الكل تربيع. وهذا ثلاثة 𝑥 الكل تربيع؛ لأننا عوضنا بثلاثة 𝑥 عن 𝑦. وسيكون ناتج كل هذا 40. إذن سنحصل على 𝑥 تربيع زائد تسعة 𝑥 تربيع يساوي 40. ولننتبه جيدًا إلى أن ثلاثة 𝑥 الكل تربيع يساوي ثلاثة 𝑥 في ثلاثة 𝑥، وبذلك نحصل على تسعة 𝑥 تربيع وليس فقط ثلاثة 𝑥 تربيع.

بعد ذلك، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. أي يمكننا تجميع حدود 𝑥 تربيع. سنحصل بذلك على 10𝑥 تربيع يساوي 40. ثم نقسم كلا الطرفين على 10، وهو ما يعطينا 𝑥 تربيع يساوي أربعة. بعد ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. سنجد أن 𝑥 يساوي سالب اثنين أو اثنين. والسبب في أن الناتج هو سالب اثنين أو اثنان أنه بالرجوع إلى التمثيل البياني في الجانب العلوي الأيمن، نعلم أننا سنحصل على حلين. إذن سيكون لدينا قيمتان مختلفتان لـ 𝑥. وبالفعل لدينا الآن قيمتان لـ 𝑥.

والآن علينا إيجاد إحداثيات 𝑦، أو بعبارة أخرى قيم 𝑦. إذن، سنعوض بقيم 𝑥 في المعادلة رقم واحد. يمكننا القيام بذلك في أي من المعادلتين. اخترت القيام بذلك في المعادلة رقم واحد. إذ يبدو أنها ستكون الأسهل في هذه المسألة. عندما يكون 𝑥 يساوي اثنين، سنحصل على 𝑦 يساوي ثلاثة في اثنين؛ لأننا عوضنا عن قيمة 𝑥 باثنين. إذن يمكننا إيجاد قيمة 𝑦، الإحداثي 𝑦 يساوي ستة. أو إذا كان 𝑥 يساوي سالب اثنين، فسنعوض بسالب اثنين عن قيمة 𝑥. وعليه، سنجد أن 𝑦 يساوي ثلاثة في سالب اثنين. وسنجد أن قيمة 𝑦، أو الإحداثي 𝑦، يساوي سالب ستة.

بناء على ذلك، يمكننا القول بأن مجموعة نقاط التقاطع هي: اثنان وستة، وسالب اثنين وسالب ستة. وقد أوضحنا ذلك باستخدام أقواس المجموعة للتحديد.

لنراجع سريعًا ما فعلناه. أولًا، استخدمنا طريقة التعويض. فعوضنا بـ 𝑦 يساوي ثلاثة 𝑥 في المعادلة رقم اثنين. ثم حللنا المعادلة لإيجاد قيم 𝑥، والتي كانت قيمتين؛ لأننا علمنا من الرسم الذي أعددناه أنه سيكون هناك قيمتان. وبعد ذلك، عوضنا بقيمتي 𝑥 في إحدى المعادلتين لإيجاد قيم 𝑦، أي إحداثيات 𝑦.