فيديو السؤال: رسم المنحنيات من خلال جذورها

نسخة الفيديو النصية

حل ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا بالتحليل، ومن ثم حدد أي من الأشكال الآتية قد يكون رسمًا للمعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة.

لدينا خمسة أشكال، أحدها يمثل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة. والسؤال يطلب منا تحديد ذلك الشكل. نعرف أن حل ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا سيساعدنا. نكتب المعادلة في الأسفل. كيف نحلها الآن؟ الإجابة هي بالتحليل.

علينا كتابة الطرف الأيمن من المعادلة كحاصل ضرب عاملين، ﺱ زائد عدد في ﺱ زائد عدد. لنسم هذه الأعداد التي علينا إيجادها ﺃ وﺏ. لإيجاد قيمتي ﺃ وﺏ، سنستخدم حقيقة أن ﺃ في ﺏ يجب أن يساوي الحد الثابت من المقدار الثلاثي، وهو أربعة.

وهذه حقيقة يجدر تذكرها. سأشرح سبب صحة ذلك في نهاية الفيديو. إذا افترضنا أن ﺃ وﺏ سيكونان عددين صحيحين، فسيمكننا إذن سرد جميع القيم المحتملة لـ ﺃ وﺏ حيث إن ﺃ في ﺏ يساوي أربعة. على سبيل المثال، قد يكون ﺃ واحدًا، وفي هذه الحالة ﺏ سيكون أربعة. أو قد تكون قيمة كل من ﺃ وﺏ اثنين. سنجد أنه لا حاجة لنا بتضمين احتمالية أن يكون ﺃ أربعة وﺏ واحدًا.

فهي لا تعدو أن تكون الاحتمالية الأولى مع تبديل قيمتي ﺃ وﺏ. ما علينا التفكير فيه هو احتمالية أن يكون ﺃ وﺏ سالبين. يعطينا هذا احتمالين آخرين، أن يساوي ﺃ سالب واحد وﺏ سالب أربعة وأن يساوي كل من ﺃ وﺏ سالب اثنين. سردنا جميع أزواج العامل أربعة التي تتضمن احتمالات سالبة.

فماذا سنفعل الآن؟ الحقيقة الأخرى التي سنثبتها في نهاية الفيديو هي أن ﺃ زائد ﺏ يساوي معامل حد ﺱ، وفي هذه الحالة هو سالب أربعة. لكل عمود في الجدول، سنحسب ﺃ زائد ﺏ. نعلم أن ﺃ يمكن أن يكون واحدًا وﺏ يمكن أن يكون أربعة. ولكن هذا يعطينا القيمة خمسة للمقدار ﺃ زائد ﺏ وليس سالب أربعة كما نريد. إذن، ليست هذه هي القيم التي نبحث عنها.

وبالمثل، عندما يساوي كل من ﺃ وﺏ اثنين، فإن ﺃ زائد ﺏ سيساوي أربعة، وليس هذا ما نبحث عنه. الاحتمالية التالية تعطينا سالب خمسة. يتضح لنا بذلك أن الاختيار الأخير، حيث قيمة كل من ﺃ وﺏ سالب اثنين، هو الاختيار الصحيح. يعطينا ذلك ما نريد. ‏ﺃ زائد ﺏ إذن يساوي سالب أربعة. نجد أن ﺃ يساوي سالب اثنين وﺏ يساوي سالب اثنين أيضًا. يمكننا حذف هذه الخطوات.

علينا التعويض بقيمتي ﺃ وﺏ اللتين أوجدناهما. نحصل على ﺱ زائد سالب اثنين في ﺱ زائد سالب اثنين يساوي صفرًا. يمكننا تيسير الأمر على أنفسنا بطرح اثنين بدلًا من إضافة سالب اثنين. حسنًا، حللنا الطرف الأيمن حسب المطلوب. يمكنك التحقق من أن الضرب بالتوزيع يعطينا بالفعل ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة.

هذان المقداران متساويان في الواقع. ربما تكون أدركت للتو أن هذا هو المربع الكامل ﺱ ناقص اثنين تربيع. أجرينا التحليل كما هو مطلوب. فكيف سيساعدنا ذلك على حل المعادلة؟ نستخدم خاصية الضرب في صفر، والتي تنص على أنه إذا كان حاصل ضرب عاملين صفرًا، فإن أحد هذين العاملين يساوي صفرًا.

وبما أن العاملين لدينا هما ﺱ ناقص اثنين، فسنستنتج أن ﺱ ناقص اثنين يجب أن يساوي صفرًا. بإضافة اثنين إلى الطرفين، نرى أن الحل الوحيد هو ﺱ يساوي اثنين. أوجدنا حل هذه المعادلة. ولكن كيف سيساعدنا هذا في فهم الأشكال الموضحة؟ نبحث عن الشكل الذي به ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة. أوجدنا للتو حل ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا.

بمقارنة المعادلتين، نرى أننا قد توصلنا بالفعل إلى الحل ﺹ يساوي صفرًا. كانت إجابتنا هي ﺱ يساوي اثنين إذن ﺱ يساوي اثنين عند ﺹ يساوي صفرًا. في أحد التمثيلات البيانية أو الأشكال، ﺹ يساوي صفرًا هي معادلة المحور ﺱ. إذن، فنحن نتوقع أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ سيكون عند ﺱ يساوي اثنين. نرى في الخيار أ أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ محدد. عند ﺱ يساوي اثنين، ﺹ يساوي صفرًا.

ومع ذلك، نرى أيضًا أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ يقع عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ولكننا وجدنا أن للمعادلة حلًّا واحدًا فقط، ﺱ يساوي اثنين. أما ﺱ يساوي سالب اثنين فليس حلًّا للمعادلة. ولذلك ﺱ يساوي سالب اثنين يجب ألا يكون جزءًا مقطوعًا من المحور ﺱ في التمثيل البياني. لهذا السبب، يمكننا استبعاد الخيار أ من الاحتمالات. الخيار ب به الجزء المقطوع من المحور ﺱ عند ﺱ يساوي اثنين، كما هو مطلوب.

يظل ذلك الخيار احتمالًا قائمًا، كالخيار ج. أما الخيار د فالجزء المقطوع من المحور ﺱ به يقع عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وهو ما لا نريده. والخيار هـ، مثل الخيار أ، له نقطتا تقاطع مع المحور ﺱ ومن ثم فهو ليس الشكل الصحيح. أتاح لنا حل المعادلة حصر الاختيارات في الخيار ب والخيار ج. لكن ما يزال علينا التحديد.

إحدى طرق القيام بذلك هي التفكير في الجزء المقطوع من المحور ﺹ، أي قيمة ﺹ التي يقطع عندها التمثيل البياني المحور ﺹ. بعبارة أخرى، قيمة ﺹ عند ﺱ تساوي صفرًا. يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في معادلة التمثيل البياني. نحصل على ﺹ يساوي صفرًا تربيع ناقص أربعة في صفر زائد أربعة. صفر تربيع وأربعة في صفر يساويان صفرًا. إذن، لا يتبقى لنا إلا الحد الثابت أربعة.

بالنظر إلى الخيارين، يمكننا أن نرى أن في الخيار ب الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي أربعة كما هو مطلوب، أما في الخيار ج فالجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب أربعة. لذلك نستبعد الخيار ج ونختار ب. هناك طريقة أخرى للاختيار بين الخيار ب والخيار ج، وهي التفكير في معامل الحد ﺱ تربيع. المعامل هو واحدًا. واحد أكبر من صفر. إذن، فنحن نبحث عن منحنى يشير لأعلى مثل الذي نراه في الخيار ب وليس منحنى يشير لأسفل مثل الموجود في الخيار ج.

لختام هذا الفيديو، سنثبت الحقيقة التي استخدمناها في البداية، والتي أتاحت لنا القول إن حاصل ضرب ﺃ وﺏ يجب أن يكون أربعة ومجموعهما يجب أن يكون سالب أربعة. يمكننا ضرب هذين القوسين بالتوزيع. يمكننا ضرب الحدود في هذين القوسين بالتوزيع. سنحصل على ﺱ تربيع زائد ﺱ في ﺏ، أي ﺏﺱ، زائد ﺃ في ﺱ زائد ﺃ في ﺏ. يمكننا التبديل وجمع هذه الحدود المتشابهة لنحصل على ﺱ تربيع زائد ﺃ زائد ﺏ في ﺱ زائد ﺃﺏ.

علينا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ اللتين تجعلان المقدارين متساويين لجميع قيم ﺱ. ليكون المقداران متساويين، يجب أن تكون حدودهما الثابتة متساوية أي أن يساوي ﺃﺏ أربعة. وهذه هي الحقيقة التي استخدمناها لسرد الاحتمالات المتعددة لقيمتي ﺃ وﺏ كعددين صحيحين.

وأيضًا معامل ﺱ للمقدارين يجب أن يكون متساويًا. وبذلك ﺃ زائد ﺏ يجب أن يساوي سالب أربعة. وهذا هو ما استخدمناه للاختيار بين الاحتمالات التي كانت لدينا في الجدول. بعد أن أوجدنا قيمتي ﺃ وﺏ، كتبنا معادلة التمثيل البياني بهذه الصورة.