فيديو قصير: كيف تجمع الأعداد الصحيحة حتى ١٠٠ أسرع من معلمك؟

نسخة الفيديو النصية

سنتناول طريقة لجمع الأعداد الصحيحة من واحد إلى ١٠٠ أو ١٠٠٠ أو حتى أكثر من ذلك بسرعة فائقة. لكن أولًا، سنتعرف على عالم رياضيات ألماني لامع اسمه يوهان كارل فريدريش جاوس، نجح في ابتكار هذه الطريقة ارتجالًا بينما كان يبلغ من العمر ثماني سنوات؛ مما أثار انزعاج معلمه! ولو لم يكن مترددًا في إظهار عمله بالكامل، لربما كان جاوس أفضل عالم رياضيات في نظري على الإطلاق. ولد جاوس في ألمانيا عام ١٧٧٧، وأظهر مهارة مذهلة في الرياضيات منذ نعومة أظفاره.

فعلى سبيل المثال، يقال: إن والدته - التي لم تكن تعرف القراءة ولا الكتابة - لم تسجل تاريخ ميلاده، ولكن كانت تتذكر أنه ولد يوم أربعاء، وأن مولده كان قبل «عيد الصعود» بثمانية أيام في ذلك العام. وفق التقاليد المسيحية، يحتفل بعيد الصعود بعد أربعين يومًا من عيد الفصح، الذي يتغير موعده كل عام بناء على منازل القمر. وسرعان ما استخدم جاوس هذه المعلومات ليصل إلى استنتاج مفاده أنه ولد بالتأكيد في ٣٠ أبريل. لكنه لم يفعل ذلك فحسب، وإنما توصل أيضًا إلى طريقة ذكية لتحديد موعد عيد الفصح في أي سنوات ماضية أو سنوات مقبلة.

يروق لي على نحو خاص هذا النهج في حل المسائل؛ ليس فقط تقديم حل يتضمن أضيق تفسير ممكن للمسألة، ولكن أيضًا التوصل إلى طريقة عامة يمكن استخدامها لحل مسائل مماثلة. يمكن استخدام الرياضيات لوصف بنية العالم من حولنا وطبيعته وفهمهما، ومن ثم يمكننا التنبؤ بما سيحدث فيه مستقبلًا. يعجبني أيضًا حماس جاوس ومثابرته.

ربما ينزعج الكثير من الأشخاص من أمهاتهم لو قدمن لهم لغزًا معقدًا عند الإجابة عن سؤال: «متى عيد ميلادي؟» لكن جاوس حل المسألة بسعادة ثم قدم حلًّا عامًّا لكثير من المسائل المماثلة. عندما سألني ابني البالغ من العمر ثماني سنوات عن عمري، قلت: «حسنًا، بعد سبع سنوات، سيصبح عمري أقل من ثلاثة أضعاف عمرك بمقدار عمرك في الوقت الحالي.» لكنه لم يرهق نفسه بحل اللغز وقال: «حسنًا، سأسأل أمي وحسب.»

يتمثل أحد إنجازات جاوس المبكرة في توضيح كيفية رسم المضلعات المنتظمة باستخدام فرجار ومسطرة إذا كان عدد أضلاعها يساوي حاصل ضرب أعداد فيرما الأولية المميزة واثنين مرفوعًا لقوة. قدم جاوس أيضًا الكثير من الإسهامات الرياضية الكبيرة الأخرى، بما في ذلك إثبات «قانون التقابل التربيعي»، الذي يمكننا من معرفة ما إذا كانت المعادلات التربيعية يمكن حلها في الحسابيات النمطية. وأكمل عملًا مهمًّا في مبرهنة الأعداد الأولية لمساعدتنا على تصور طريقة توزيع الأعداد الأولية في الأعداد الصحيحة. لكنه لم يعرف مدى الفائدة التي سيقدمها هذا العمل في عصر الإنترنت، حيث نستخدم الأعداد الأولية لمساعدتنا في تشفير الرسائل في المعاملات الإلكترونية، ومن ثم أصبح فهم هذه الأعداد على نحو أفضل مسألة أمنية.

تعرض كذلك لأنواع مختلفة من الهندسة والمغناطيسية والمسوحات الجيوديسية؛ ما جعل إجراء الحسابات الفلكية أسهل بكثير وأكثر كفاءة، وكذلك تحليل الانحدار بطريقة المربعات الصغرى. وقد سمي التوزيع الإحصائي الطبيعي باسمه، إذ يعرف باسم «التوزيع الجاوسي». باختصار، نحن جميعًا نستفيد من عمله بطرق عديدة كل يوم، بدءًا من الأساليب الإحصائية المستخدمة لتقييم العقاقير الجديدة وصولًا إلى تحليل الانحدار المستخدم في خوارزميات التعلم الآلي، التي تساعدنا على تحسين فعالية عملية اتخاذ القرار وكفاءتها.

لكن ما أريد تناوله في هذا الفيديو هو قصة استخدام جاوس لذكائه الرياضي اللامع - عندما كان يبلغ من العمر ثماني سنوات فقط - في حل مسألة من الواضح أن معلم الرياضيات طرحها عليه عقابًا له. وكما هي الحال مع معظم حكايات الرياضيات القديمة، من المستحيل معرفة ما حدث بالضبط. وحسب المكان الذي تبحث فيه، ستجد اختلافات طفيفة في هذه القصة واختلافات حول عمره في ذلك الوقت. ولكن إليك الرواية التي تروق لي.

اشتهر عن جاوس أنه كان طفلًا عبقريًّا. ووجد معلموه في المدرسة صعوبة في التعامل معه؛ لأنه كان لا يجلس هادئًا في الفصل، ويعرف أمورًا كثيرة، ويفكر بسرعة شديدة! تروي إحدى القصص أن معلمه طلب منه ذات مرة أن يجلس ويجمع كل الأعداد الصحيحة من واحد إلى ١٠٠، في محاولة لجعله يجلس بهدوء لفترة. اعتقد معلمه أن حساب «واحد زائد اثنين يساوي ثلاثة»، «ثلاثة زائد ثلاثة يساوي ستة»، «ستة زائد أربعة يساوي ١٠ »، « ١٠ زائد خمسة يساوي ١٥ »، « ١٥ زائد ستة يساوي ٢١ »، وهكذا حتى الوصول إلى ١٠٠ سوف يستغرق منه وقتًا طويلًا. لكنه سرعان ما عاد بالحل الصحيح، وهو ٥٠٥٠.

فبدلًا من إجراء كل عملية من هذه العمليات الحسابية على حدة، أدرك جاوس أنه إذا كتب جميع الأعداد من واحد إلى ١٠٠، فإنه يستطيع ترتيبها في صورة أزواج من الأعداد التي مجموعها يساوي ١٠١. إذن، واحد زائد ١٠٠ يساوي ١٠١، اثنان زائد ٩٩ يساوي ١٠١، ثلاثة زائد ٩٨ يساوي ١٠١، وهكذا وصيلًا إلى ٥٠ زائد ٥١ يساوي ١٠١. ومن ثم كان لديه ٥٠ زوجًا مجموع كل منها يساوي ١٠١. إذن، المجموع الإجمالي يساوي ٥٠ متكررة ١٠١ مرة أو ٥٠ في ١٠١. ومن ثم، خمسة في ١٠١ يساوي ٥٠٥ و١٠ في ٥٠٥ يساوي ٥٠٥٠. هكذا أنجز المهمة!

حسنًا، هذه طريقة منظمة لحل المسألة، ولكن هيا نحاول تعميمها، هل يمكننا وصف هذه الطريقة أو كتابتها في صورة صيغة عامة، بحيث تستخدم في حل جميع المسائل المماثلة؟ حسنًا، في هذا المثال، كنا نجمع ١٠٠ عدد متتابع. ويمكننا تجميعها في نصف هذا العدد؛ أي ٥٠ زوجًا من الأعداد التي يساوي مجموع كل زوج منها ١٠١، أي حاصل جمع العدد الأول، الذي هو واحد، زائد العدد الأخير، الذي هو ١٠٠؛ ما يساوي ١٠١. لذا إذا عممنا وقلنا إن لدينا العدد ‪𝑛‬‏، بدلًا من تحديد ١٠٠ عدد، يمكننا حينها كتابة طريقتنا في صيغة رياضية.

بالكلمات، حصلنا على: مجموع الأعداد من واحد إلى ‪𝑛‬‏ يساوي نصف عدد الأعداد - أي عدد الأزواج - في مجموع العددين الأول والأخير. دعونا نشير إلى المجموع بالرمز ‪𝑠‬‏ وإلى عدد الأعداد بالرمز ‪𝑛‬‏. ومن ثم فإن نصف عدد الأعداد هو ‪𝑛‬‏ على اثنين. نضرب ذلك في مجموع العددين الأول والأخير. أي واحد — وهو العدد الأول — زائد ‪𝑛‬‏ — وهو العدد الأخير — أيًّا كان. إذن، الصيغة العامة هي: المجموع ‪𝑠‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ على اثنين في واحد زائد ‪𝑛‬‏.

حسنًا، وضعنا هذه الصيغة عن طريق تمثيل الحسابات التي أجريناها، خطوة بخطوة. لكنها تترك لنا - ربما - مشكلة بسيطة. فهذه الصيغة تعمل جيدًا عندما يكون لدينا عدد زوجي من العناصر في القائمة المراد جمعها، ولكن هل ستظل فعالة إذا كان لدينا عدد فردي من العناصر؟ إذن، سيؤدي وضع الأعداد في صورة أزواج إلى ترك عدد وحيد في المنتصف يجب أن نضعه في الحسبان.

لنوضح ذلك بقائمة أصغر لجعل الأمور أكثر سهولة. على سبيل المثال، إذا جمعنا جميع الأعداد الصحيحة من واحد إلى خمسة، يصبح لدينا واحد زائد خمسة يساوي ستة، واثنان زائد أربعة يساوي ستة. ولكن بعد ذلك، سيكون لدينا هذا العدد المتبقي في المنتصف. لو كانت هذه هي نقطة البداية في المسألة، لقلنا: إنه في حال وجود خمسة أعداد، يمكننا أن نقسم أربعة منها على زوجين، وبعد ذلك سيتبقى لدينا هذا العدد وحده في المنتصف. ويمكننا كذلك أن نقول: إن الثلاثة هو متوسط العدد الأول والعدد الأخير في المتتابعة. إذن، نجمع واحدًا زائد خمسة ثم نقسم الناتج على اثنين؛ لأنه يوجد هنا عددان. سنحصل على ستة على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة.

وإذا حاولنا الوصول إلى صيغة عامة من هذا النمط في التفكير، فسنقول: إن مجموع الأعداد يساوي مجموع الأزواج زائد العدد الأوسط. حسنًا، ما مجموع أزواج الأعداد؟ لدينا خمسة أعداد، وتمكنا من استخدام أربعة منها لتكوين زوجين. إذن، مهما كان عدد الأعداد لدينا — نرمز له بالرمز ‪𝑛‬‏ — فإننا إذا قللناه بمقدار واحد، فإن ذلك يساعدنا في استنتاج عدد الأعداد التي سنتمكن من تحويلها لأزواج. وعدد الأزواج سيصبح نصف هذا العدد؛ لأن كل زوج يتكون من عددين. ومجموع كل زوج لا يزال يساوي العدد الأول زائد العدد الأخير.

لذلك سنضرب هذا العدد من الأزواج في مجموع كل زوج، أي واحد زائد ‪𝑛‬‏. قلنا: إن العدد الأوسط يساوي متوسط العددين الأول والأخير. وهذا يساوي واحدًا زائد ‪𝑛‬‏ العدد الأخير الكل مقسومًا على اثنين. والآن، لدي عامل مشترك هو نصف، ويمكنني أن أضعه خارج القوسين. لقد حصلت على نصف في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد في واحد زائد ‪𝑛‬‏ زائد واحد زائد ‪𝑛‬‏. والآن لدي عامل مشترك واحد زائد ‪𝑛‬‏. لذلك سأضعه خارج القوسين. وهنا سيتبقى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد كحد أول في القوسين، وواحد كحد تال في القوسين؛ لأنه واحد في واحد زائد ‪𝑛‬‏. لذا عدلت الصيغة إلى نصف في واحد زائد ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد زائد واحد.

حسنًا، نظرًا لأننا نجمع ونطرح هنا فقط، يمكنني في الواقع حذف هذين القوسين لكي يتبقى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد زائد واحد. وبالطبع، إذا طرحت واحدًا ثم أضفت واحدًا، فهذا يساوي صفرًا. لذلك داخل هذين القوسين، نبسط المقدار إلى ‪𝑛‬‏ فقط. وبالطبع، إذا حصلنا على ‪𝑛‬‏ فقط بين قوسين، فلا نحتاج إلى القوسين. إذن، المجموع — الذي نشير إليه بالرمز ‪s‬‏ — يساوي نصفًا في واحد زائد ‪n‬‏ في ‪n‬‏. حسنًا، مرة أخرى، يمكنني إعادة ترتيب ذلك. فنحصل على الصيغة نفسها التي كانت لدينا في المرة السابقة.

لذا سواء كان لدينا عدد زوجي من الحدود أو عدد فردي من الحدود، لا يزال بإمكاننا استخدام الصيغة نفسها لجمع كل هذه الأعداد. ولا يهم ما إذا كنت أجمع الأعداد واحد، اثنان، ثلاثة، حتى ١٠٠، أو إذا جمعتها على نحو عكسي، أي ١٠٠، ٩٩، ٩٨، تنازليًّا وصولًا إلى واحد. لذا كتبت كلتا الطريقتين هنا. وإذا جمعت هذين الصفين معًا، فسأحصل على ‪𝑠‬‏ زائد ‪𝑠‬‏ ما يعطيني اثنين ‪𝑠‬‏. إذن حصلت على ضعف مجموع الأعداد من واحد إلى ١٠٠ يساوي ١٠١ زائد ١٠١ زائد ١٠١، وهكذا ١٠٠ مرة. وهذا يعني أن مضاعفة المجموع ستكون ١٠٠ في ١٠١. بعبارة أخرى، اثنان في المجموع الذي أسعى لحسابه يساوي ١٠١٠٠. فإذا قسمت هذين الطرفين على اثنين، أجد أن مجموع هذه الأعداد يساوي ٥٠٥٠، وهو الجواب الذي حصلت عليه من قبل.

ولكن الشيء المهم هو أنني إذا عممت هذه الصيغة، فلن أقلق بشأن عدد الحدود الفردي أو الزوجي؛ لأنني أستخدم كل حد في المتتابعة. لذا بكتابة مجموع الأعداد من واحد إلى ‪𝑛‬‏ تصاعديًّا وتنازليًّا، ثم جمع هذين الصفين معًا، نحصل، أولًا، على ‪𝑠‬‏ زائد ‪𝑠‬‏ يساوي اثنين ‪𝑠‬‏. ثم، واحد زائد ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا زائد ‪𝑛‬‏. اثنان زائد ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، حسنًا، اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. إذن، هذا يساوي واحدًا زائد ‪𝑛‬‏ وحسب مرة أخرى. ثلاثة زائد ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين، حسنًا، ثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا. إذن، حصلنا على واحد زائد ‪𝑛‬‏ مرة أخرى، وهكذا. ثم نحصل على ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين زائد ثلاثة. سالب اثنين زائد ثلاثة يساوي واحدًا. مرة أخرى، حصلنا على ‪𝑛‬‏ زائد واحد أو واحد زائد ‪𝑛‬‏، وهكذا. إذن، ينتهي بنا الأمر بالحصول على ضعف المجموع يساوي واحدًا زائد ‪𝑛‬‏ مكررة لعدد ‪𝑛‬‏ من المرات أو ‪𝑛‬‏ في واحد زائد ‪𝑛‬‏.

بعد ذلك، إذا قسمنا الطرفين على اثنين، نحصل على المعادلة نفسها التي حصلنا عليها من قبل، ولكن باستخدام طريقة مختلفة. إذن، استخدام هذه الطريقة المختلفة ساعدنا على التحقق من صحة الصيغة. وكان الاختلاف المفيد في هذه الطريقة هو أنها لا تسبب أي ارتباك، سواء كان لدينا عدد زوجي أو فردي من الحدود في المتتابعة.

ولكن، أخيرًا، لنحاول تصور المشكلة على نحو آخر مختلف، من خلال رسم نقاط بنمط محدد. لنقل إننا نريد جمع الأعداد من واحد إلى خمسة. يمكننا تمثيل هذه الأعداد باستخدام صفوف من نقطة واحدة ثم اثنتين ثم ثلاث ثم أربع ثم خمس نقاط: واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس. إذن، لدينا مثلث من النقاط ارتفاعه خمسة صفوف وعرضه خمسة أعمدة. فكيف يمكننا بسهولة حساب عدد النقاط التي يتضمنها؟ حسنًا، تتمثل إحدى الطرق في تكرار النمط. بعد ذلك، يمكننا تدوير مثلث النقاط الثاني هذا بمقدار ١٨٠ درجة ثم ننقله إلى هنا.

لدينا الآن مستطيل من النقاط يحتوي على خمسة أعمدة وخمسة صفوف زائد صف واحد. ولدينا ضعف عدد النقاط التي نحتاجها. ولكن الأهم أن ذلك يشكل نمطًا مستطيلًا جميلًا؛ مما يسهل عد النقاط. وفي هذه الصورة، نحتاج فقط إلى ضرب خمسة في ستة لنحصل على ٣٠ نقطة. لكن عدد النقاط التي نبحث عنها يساوي نصف هذا العدد. نصف في ٣٠ يساوي ١٥. إذن، كان هناك ١٥ نقطة زرقاء، أو بمعنى آخر مجموع الأعداد من واحد إلى خمسة يساوي ١٥.

دعنا الآن نعمم ذلك على عدد ‪𝑛‬‏ من الصفوف في المثلث. نعلم أنه توجد خمسة صفوف على ما يبدو. لكن تخيل وجود صفوف كثيرة لا نعرف عددها. يوجد ‪𝑛‬‏ أعمدة و‪𝑛‬‏ زائد واحد من الصفوف، حيث نأخذ تلك النسخة من مثلث النقاط ونحولها إلى نمط مستطيل. إذا جمعنا ضعف عدد النقاط التي نريدها، أي اثنين في المجموع، فإننا سنضرب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏ زائد واحد. كما قلنا، هذا يساوي ضعف عدد النقاط التي نريد معرفة عددها. إذن، تنصيف هذا العدد يعطينا المجموع يساوي ‪𝑛‬‏ على اثنين في ‪𝑛‬‏ زائد واحد. لدينا الآن طريقة ثالثة للتوصل إلى الصيغة نفسها، وبالطبع التحقق من عملنا.

عندما نتصور المسألة بهذه الطريقة، ونفترض أن ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا أو اثنين أو ثلاثة، وهكذا، فإننا نحصل على سلسلة من الأنماط. والمجاميع التي نحصل عليها عندما تكون ‪𝑛‬‏ واحدًا، أو اثنين، أو ثلاثة، وهكذا تسمى «الأعداد المثلثية». تناول جاوس أيضًا الرياضيات الخاصة بهذه الأعداد. الآن، وبعد أن توصلنا إلى الصيغة نفسها بثلاث طرق مختلفة، وأصبحنا نستطيع القول: إنه يوجد العديد من الطرق المختلفة للتعبير عن ذلك جبريًّا، يمكننا تطبيقها على أي متتابعة للأعداد من واحد وصولًا إلى عدد معين.

إذن، عند ‪𝑛‬‏ يساوي ١٠٠، كما رأينا، يكون المجموع ٥٠٥٠. وعند ‪𝑛‬‏ يساوي ١٠٠٠، يكون المجموع ٥٠٠٥٠٠. وعند ‪𝑛‬‏ يساوي ١٠٠٠٠٠٠، يكون المجموع ٥٠٠٠٠٠٥٠٠٠٠٠. وحتى عندما نستخدم حدودًا غير مألوفة مثل ٣٦٤٣، فلن تكون العمليات الحسابية بسيطة إذا لم يكن لديك آلة حاسبة، ولكنها تظل أسهل بكثير من جمع ٣٦٤٣ عددًا مختلفًا.