فيديو السؤال: إيجاد طول دورة الدوال المثلثية

نسخة الفيديو النصية

ما طول دورة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي اثنين sin 𝑥 زائد 𝜋 على ثلاثة؟

بداية، لنتمكن من فهم المسألة، سأرسم شكلًا للتمثيل البياني لـ sin 𝑥. ها هو إذن. لقد رسمت شكل منحنى الدالة 𝑦 يساوي sin 𝑥 كما ترون. وكما نرى، فهي موجة تكرارية تمر بنقطة الأصل. حسنًا، كيف سيساعدنا هذا الرسم في حل المسألة؟ هذه هي الكلمة التي علينا فهمها أولًا. نريد أن نعرف ما طول الدورة.

إذن ما طول دورة هذا التمثيل البياني؟ ما طول دورة 𝑦 يساوي sin 𝑥؟ حسنًا، انظر إلى هذا التعريف الجيد لطول الدورة، طول دورة الدالة هو طول دورة تكرارها. وبالعودة إلى الرسم، نرى أن الدالة تمر بدورتين كاملتين هنا، حددتهما بسهمين باللون الأحمر. وهذا لأنها متكررة. تبدأ الدالة وتتجه لأعلى، ثم تنحني للأسفل عند سالب واحد، ثم تعود مرة أخرى إلى موضع البدء نفسه.

يمكننا أن نرى من هذا التمثيل البياني أن طول دورة الدالة، التي هي 𝑦 يساوي sin 𝑥، هو اثنان 𝜋. هذا لأننا إذا نظرنا هنا فسنجد أنها تنتقل من سالب اثنين 𝜋 إلى صفر. وهذا فرق مقداره اثنان 𝜋. ومرة أخرى، إذا نظرنا إلى الجزء الموجب، نجد أنها تنتقل من صفر إلى اثنين 𝜋. إذن طول دورة الدالة 𝑦 يساوي sin 𝑥 هو بالفعل اثنان 𝜋.

يساعدك هذا على استيعاب مفهوم طول الدورة، وهذا أمر مهم جدًا؛ لأننا سنستخدمه لاحقًا في المسألة. وبالنظر إلى الدالة، وهي اثنان sin لـ 𝑥 زائد 𝜋 على ثلاثة، فما علينا فعله هو إعادة كتابتها.

سنعيد كتابتها بالصورة 𝑎 sin ثم 𝑏𝑥 ناقص 𝑐 زائد 𝑑، ما يعطينا الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي اثنين sin. ثم واحد على ثلاثة 𝑥 زائد 𝜋 على ثلاثة. ليس لدينا زائد 𝑑؛ لأنها غير موجودة في الدالة الأصلية.

حسنًا، رائع! لماذا فعلنا ذلك؟ فعلنا ذلك بسبب هذه الصيغة. توضح لنا هذه الصيغة أن طول دورة الدالة يساوي اثنين 𝜋 على القيمة المطلقة لـ 𝑏. وجاءت 𝑏 هنا من الدالة عند إعادة كتابتها بالصورة 𝑎 sin لـ 𝑏𝑥 ناقص 𝑐 زائد 𝑑.

وبالنظر إلى الصيغة التي نستخدمها، نجد اثنين 𝜋 بالأعلى. واثنان 𝜋 هذه، أعلم أنني ذكرتها سابقًا وقلت: إنني سأعود إليها مرة أخرى، فهي تأتي من حقيقة أن طول دورة الدالة 𝑦 يساوي sin 𝑥 هو اثنان 𝜋. إذن، من هنا جاءت.

حسنًا، رائع! الآن أصبح لدينا هذه الصيغة. لنعوض بالقيم ونوجد طول دورة الدالة. نجد إذن أن طول دورة الدالة يساوي اثنين 𝜋 مقسومًا على القيمة المطلقة لواحد على ثلاثة. وذلك لأن واحدًا على ثلاثة هو معامل 𝑥. وهذه هي قيمة 𝑏.

وكما ذكرنا عن القيم المطلقة، ما يهمنا فقط هو القيم الموجبة. على أية حال، واحد على ثلاثة قيمة موجبة. ومن ثم، فهي قيمة مناسبة. ثم يمكننا حساب ذلك. وبالتالي، يمكننا القول: إن طول دورة الدالة، وهي اثنان sin لـ 𝑥 زائد 𝜋 على ثلاثة، يساوي ستة 𝜋. وذلك لأن لدينا اثنين 𝜋 على ثلث. والقسمة على ثلث تعادل الضرب في ثلاثة. إذن، اثنان 𝜋 في ثلاثة يساوي ستة 𝜋.