نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتناول التغير الطردي. سنتناول المصطلح والصيغة بالإضافة إلى المفهوم الأساسي. إذن سنتحدث عن ماهية التغير الطردي وكيفية التعبير عنه. ثم سنستعرض بعض الأسئلة المعتادة.
في البداية، قبل أن نتحدث عن ماهية التغير الطردي، دعونا نذكر أولًا كيف يعبر عنه. ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. هذا الرمز الصغير الذي على شكل سمكة يعني: «يتناسب طرديًا مع». ﺹ يتغير طرديًا بتغير ﺱ أو ﺹ في علاقة تغير طردي مع ﺱ. أو أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. أو ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ. ﺱ وﺹ يتغيران طرديًا. أو ﺱ وﺹ متناسبان طرديًا. أو ﺹ أحد مضاعفات ﺱ. وهذه العبارة الأخيرة تلخص بالفعل جوهر التناسب الطردي. فأحد المتغيرين يكون مضاعفًا للمتغير الآخر. يرتبط هذا بوضوح بما ذكرناه هنا. ﺹ أحد مضاعفات ﺱ. وﻙ عدد ثابت. حسنًا، إنه يسمى ثابت التناسب أو ثابت التغير. ويستخدم عادة الحرف ﻙ للتعبير عنه. ولكنك قد تستخدم حرفًا آخر حسب المكان الذي تعيش فيه.
قد تقابل هذا المفهوم في الأسئلة بالعديد من الطرق المختلفة. وهذه الطريقة هنا، أي ﺹ أحد مضاعفات ﺱ أو ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ، هي أفضل طريقة لوصفه. ولكن للأسف، هذه هي الطريقة التي لن تقابلها كثيرًا في الأسئلة. لذا عليك أن تتعلم كيفية التعرف على جميع الصور الأخرى.
يوضح هذا الرسم البياني أحد أمثلة التناسب الطردي. إنه يمثل الوقت المستغرق وعدد الأميال التي يقطعها قطار يسير بسرعة ثابتة. كلما زادت الأميال المقطوعة، زاد الوقت المستغرق في قطعها. فإذا قطعت ميلًا إضافيًا، فسيزيد الوقت المستغرق بنفس المقدار، سواء قطعت صفرًا أو ١٠٠ ميل.
إذن انحدار هذا الخط أو ميله ثابت دائمًا. وفي حالة التناسب الطردي، سيمر الخط دائمًا بنقطة الأصل. فإذا لم أقطع أي أميال، فلن يكون هناك وقت مستغرق. تذكر أن ميل الخط هو التغير في الإحداثي ﺹ عند زيادة الإحداثي ﺱ بمقدار واحد. وفي هذه المسألة، إذا زدنا الإحداثي ﺱ بمقدار واحد، فسيزداد الإحداثي ﺹ بمقدار ﻙ. إذن الميل هو ﻙ، ومعادلة هذا الخط هي ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ.
ولأنه يقطع المحور ﺹ عند صفر، حيث يمر بنقطة الأصل، نضيف صفرًا إلى المعادلة، ولكن لا نحتاج إلى كتابة ذلك. إذن المعادلة العامة لإحدى علاقات التناسب الطردي هذه هي ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ.
وبناء على السرعة التي يسير بها القطار، ستتأثر قيمة ﻙ. نوضح مصطلحًا آخر، هذه القيمة ﻙ تسمى أحيانًا بثابت التناسب أو ثابت التغير.
المهارة الأولى التي يجب أن تتقنها هي تحديد متى يكون بين المتغيرين علاقة تغير طردي. فمثلًا، قد تقابل سؤالًا كهذا.
يوضح الرسم البياني العلاقة بين المتغيرين ﺱ وﺹ. هل ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ؟ حسنًا، إنها علاقة ممثلة بخط مستقيم. وهو يمر بنقطة الأصل. إذن هاتان الحقيقتان معًا توضحان أنه «نعم، ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ بالفعل».
إذن، يسهل ملاحظة ذلك. الأمر الوحيد الذي يجب التدقيق فيه هو الطرق المختلفة للتعبير عن ذلك. إذن كان يمكن أن يكون السؤال: هل ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ أو هل ﺱ وﺹ متناسبان طرديًا أو هل ﺱ وﺹ يتغيران طرديًا؟
هناك نوع آخر من الأسئلة يطلب منا تحديد ما إذا كان بين المتغيرين علاقة تغير طردي، كما يلي.
يوضح الجدول التالي إحداثيات بعض النقاط الواقعة على خط مستقيم. هل يوضح الجدول أن ﺹ متناسب طرديًا مع ﺱ؟ في الجدول، عند ﺱ يساوي واحدًا، ﺹ يساوي اثنين. عند ﺱ يساوي اثنين، ﺹ يساوي أربعة. وعند ﺱ يساوي ثلاثة، ﺹ يساوي ستة. وعند ﺱ يساوي أربعة، ﺹ يساوي ثمانية. وعند ﺱ يساوي خمسة، ﺹ يساوي ١٠.
في كل من هذه الأزواج الإحداثية، ﺱ وﺹ، نلاحظ أن قيمة ﺹ تساوي دائمًا ضعف قيمة ﺱ، زائد صفر. تذكر المسألة أن ذلك خط مستقيم. إذن معادلة الخط المستقيم هي ﺹ يساوي اثنين في ﺱ. أي إن ﺹ دائمًا مضاعف لـ ﺱ. وعندما تكون قيمة ﺱ صفرًا، فإن قيمة ﺹ تساوي اثنين في صفر. وهذا يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم يمر الخط بنقطة الأصل.
هناك طريقة أخرى للتحقق من ذلك، وهي أنه في كل مرة يقل الإحداثي ﺱ بمقدار واحد، يقل الإحداثي ﺹ بمقدار اثنين. وبالتالي إذا قللنا الإحداثي ﺱ من واحد إلى صفر، فإن الإحداثي ﺹ المناظر له سيقل من اثنين إلى صفر. وفي الحالتين، عرفنا طريقتين مختلفتين للتأكد من أن الخط يمر بنقطة الأصل. وبصفة عامة، كلا الشرطين متحققان. ﺹ أحد مضاعفات ﺱ والخط الممثل لهذه العلاقة يمر بنقطة الأصل. إذن الإجابة هي نعم، يوضح الجدول أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ.
لدينا مثال آخر: هل الإحداثيات التي في جدول القيم أدناه توضح أن المتغيرين ﺱ وﺹ في علاقة تغير طردي؟ لدينا أزواج الإحداثيات اثنان وستة، وأربعة و١٦، وستة و٢٤. الشرط الأول هو أنه إذا كان ﺱ وﺹ في علاقة تناسب طردي أو تغير طردي، فإن ﺹ سيكون مضاعفًا لـ ﺱ. لنحسب إذن قيمة المضاعف لكل زوج إحداثي.
عند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺹ يساوي ستة. إذن الإحداثي ﺹ يساوي ثلاثة أمثال الإحداثي ﺱ. عند ﺱ يساوي أربعة، فإن ﺹ يساوي ١٦. إذن، ﺹ يساوي أربعة أمثال الإحداثي ﺱ. وعند ﺱ يساوي ستة، فإن ﺹ يساوي ٢٤. وبالتالي ﺹ يساوي أربعة أمثال الإحداثي ﺱ. لدينا هنا قيم مختلفة. فأحيانًا يكون ﺹ ثلاثة أمثال الإحداثي ﺱ. وأحيانًا يكون ﺹ أربعة أمثال الإحداثي ﺱ. هذا إذن ليس مضاعفًا ثابتًا لـ ﺱ. وبالتالي فهذا ليس تغيرًا طرديًا.
ولأن البيانات لا تستوفي الشرط الأول، فلا داعي حتى للمتابعة والتحقق من الشرط الثاني لمعرفة ما إذا كان الخط الممثل لهذه العلاقة يمر بالنقطة صفر، صفر، أي بنقطة الأصل.
إليكم مسألة أخرى.
يوضح الجدول التالي إحداثيات بعض النقاط الواقعة على خط مستقيم. هل يوضح الجدول أن ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ؟ لدينا أزواج الإحداثيات ثلاثة، ١١، وستة، ١٧، وتسعة، ٢٣.
إذن بمجرد النظر إلى الأعداد، نرى أنه في كل مرة نزيد الإحداثي ﺱ بمقدار ثلاثة، يزيد الإحداثي ﺹ المناظر له بمقدار ستة. إذن تؤيد هذه الأعداد صحة ما ورد في السؤال من أن النقاط تقع على خط مستقيم. لكن دعونا نتحقق مما إذا كان الخط يمر بنقطة الأصل.
حسنًا، لدينا النقطة ثلاثة، ١١. إذا طرحنا ثلاثة من الإحداثي ﺱ، فعلينا طرح ستة من الإحداثي ﺹ. هذا يعطينا النقطة صفر، خمسة. وبالتالي فالخط لا يمر بنقطة الأصل. إذن فهو خط مستقيم، ولكنه لا يمر بنقطة الأصل. إذن الإجابة هي لا، فالجدول لا يوضح أن ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ.
وفي الواقع، بالنظر إلى الأعداد، يخبرنا تحليل الفرق بين ﺱ وﺹ أن الميل يساوي اثنين. وهذا يوضح أن الخط يقطع المحور ﺹ عند خمسة. إذن معادلة هذا الخط هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد خمسة. إذن جميع علاقات التغير الطردي تتضمن إضافة صفر بدلًا من إضافة قيمة أخرى غير الصفر إلى المعادلة.
لدينا الآن ثلاث أسئلة يمكنك حلها. أريد منك أن توقف الفيديو للحظات، وأن تحدد ما إذا كانت هذه الحالات الثلاث تمثل علاقات تناسب طردي أم لا.
حسنًا، الحالة الأولى عبارة عن علاقة يمثلها خط مستقيم. ويمر بنقطة الأصل. وبالتالي الإجابة هي نعم، ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. الحالة الثانية عبارة عن علاقة ممثلة بخط مستقيم. ولكنه لا يمر بنقطة الأصل. إذن الإجابة هي لا، ﺹ لا يتغير طرديًا مع ﺱ. في الحالة الثالثة، التسعيرة بالدولار الخاصة بشركة سيارات أجرة تساوي واحدًا ونصفًا في عدد الأميال المقطوعة. إذن، لدينا هنا علاقة خطية. ولكن لأننا نضيف دائمًا ثلاثة إلى الناتج، فهذا يعني أن الإحداثي ﺹ إذا أردت أن ترسم تمثيلًا بيانيًا له، لن يكون دائمًا مضاعفًا فقط للإحداثي ﺱ؛ لأننا سنزيح الخط كله لأعلى بمقدار ثلاثة.
الأهم من ذلك، إذا كان لدينا صفر من الأميال، فإن ١٫٥ في صفر يساوي صفرًا. لكن عند إضافة ثلاثة إلى ذلك، فإن الإحداثي ﺹ، أي الأجرة، ستكون ثلاثة دولارات. وبالتالي، لا يمر الخط بنقطة الأصل؛ مما يعني أن هذه ليست علاقة تناسب طردي.
حسنًا، الآن صار بإمكاننا التعرف على علاقات التغير الطردي. لنكتشفها معًا بمزيد من التفصيل. علينا أن نكون قادرين على استخدام المعادلات التي تمثل علاقات تغير طردي.
يقول هذا السؤال: «إذا كان ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ، فاكتب معادلة لـ ﺹ بدلالة ﺱ إذا كان ﻙ هو ثابت التناسب.»
عندما يرد في السؤال أن ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ، فهذا يعني أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. وبالتالي يمكننا كتابة ذلك بهذه الصورة. وهذا يعني أن ﺹ يساوي دائمًا عددًا ثابتًا ما في ﺱ. والسؤال يقول إن ﻙ في هذه الحالة هو ثابت التناسب. إذن القيمة التي يمكننا كتابتها هنا هي ﻙ. بذلك تكون الإجابة هي ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ.
في بعض الأسئلة، يطلب منا كتابة معادلة لـ ﺹ بدلالة ﺱ. ثم تذكر بعض المعلومات الأساسية التي تساعدنا في ذلك.
إذن، يخبرنا السؤال بأن ﺹ وﺱ في علاقة تناسب طردي وأنه عند ﺱ يساوي ١٢، فإن ﺹ يساوي ٣٦. إذن نبدأ بالقول إنه إذا كان ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ، فهذا يعني أن ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ، أي عددًا ما في ﺱ. لكن هنا يخبرنا السؤال بأنه عندما يكون الإحداثي ﺱ مساويًا ١٢، فإن الإحداثي ﺹ يساوي ٣٦. لذا يمكننا التعويض بذلك في المعادلة التي لدينا. بالتالي نحصل على: ٣٦ يساوي ﻙ في ١٢. حسنًا، هذه مجرد نقطة محددة على الخط.
الآن بقسمة الطرفين على ١٢، يمكننا اختزال الطرف الأيسر. ١٢ مقسومًا على ١٢ يساوي واحدًا. ١٢ مقسومًا على ١٢ يساوي واحدًا، ويتبقى لدينا ﻙ فقط. ٣٦ مقسومًا على ١٢ في الطرف الأيمن يساوي ثلاثة، إذن ﻙ يساوي ثلاثة. الآن صرنا نعلم أن ﻙ يساوي ثلاثة، ويمكننا التعويض بذلك في المعادلة الأصلية. ﺹ يساوي ثلاثة في ﺱ.
لدينا مثال آخر: اكتب معادلة لـ ﺹ بدلالة ﺱ إذا كان ﺹ يتغير طرديًا مع ﺱ وﺱ يساوي ٣٥ عندما ﺹ يساوي تسعة. مرة أخرى، يمكننا القول إن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. وهذا يعني أن ﺹ مجرد عدد ثابت ما، لنسمه ﻙ، مضروب في ﺱ. لدينا قيمتان متناظرتان محددتان لـ ﺱ وﺹ في هذا السؤال. لذا يمكننا التعويض بهاتين القيمتين عن ﺱ وﺹ لإيجاد قيمة ﻙ. ﺹ يساوي تسعة وﺱ يساوي ٣٥، إذن تسعة يساوي ﻙ في ٣٥.
يمكننا الآن قسمة الطرفين على ٣٥ ليتبقى لدينا ﻙ فقط في الطرف الأيسر. ﻙ يساوي تسعة على ٣٥. حسنًا، لا يمكن تبسيط ذلك. إذن أحيانًا لا تكون قيمة ﻙ عددًا بسيطًا. إنها كسر في هذه الحالة. أحيانًا تكون عددًا صحيحًا. وأحيانًا تكون عددًا موجبًا. وأحيانًا تكون عددًا سالبًا. حسنًا، في هذه المسألة، المعادلة هي ﺹ يساوي تسعة على ٣٥ في ﺱ.
بعض الأسئلة لا تطلب منك كتابة المعادلة فقط، بل التعويض بقيمة محددة فيها وحل المعادلة أيضًا.
لدينا في المعطيات أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. عند ﺱ يساوي سبعة، فإن ﺹ يساوي ٢١. علينا إيجاد قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي ١١. النهج العام لحل ذلك هو إيجاد المعادلة أولًا ثم التعويض لإيجاد قيمة ﺹ. حسنًا، ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ يعني أن ﺹ يساوي عددًا ثابتًا ما في ﺱ، لنسمه ﻙ. ونعلم على وجه التحديد أنه عند ﺱ يساوي سبعة، فإن ﺹ يساوي ٢١. لذا يمكننا التعويض بهاتين القيمتين عن ﺱ وﺹ. وهذا يعطينا: ٢١ يساوي ﻙ في سبعة.
الآن إذا قسمنا الطرفين على سبعة لإيجاد قيمة ﻙ، فسيتبقى لدينا ﻙ في الطرف الأيسر. ٢١ مقسومًا على سبعة يساوي ثلاثة، إذن ﻙ يساوي ثلاثة. بالتالي فالمعادلة التي تحكم هذه العلاقة هي ﺹ يساوي ثلاثة في ﺱ.
علينا الآن المتابعة وإيجاد قيمة ﺹ عندما ﺱ يساوي ١١. يمكننا التعويض بقيمة ﺱ هذه في المعادلة. يصبح لدينا ﺹ يساوي ثلاثة في ١١، ما يعني أنه عند ﺱ يساوي ١١، فإن ﺹ يساوي ٣٣.
يمكننا جعل هذا النوع من الأسئلة أصعب قليلًا بأن نطلب منك إيجاد قيمة ﺱ بمعلومية قيمة محددة لـ ﺹ.
لدينا أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. وعند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي ثلاثة. أوجد قيمة ﺱ إذا كان ﺹ يساوي ٢٠. نبدأ مجددًا من النقطة نفسها. ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ يعني أن ﺹ يساوي عددًا ثابتًا ما في ﺱ، ونسميه ﻙ في هذه الحالة. ثم نعوض في المعادلة بالقيمتين المتناظرتين المحددتين ﺱ وﺹ الواردتين في السؤال، لإيجاد قيمة ﻙ. هذا يعني أن ثلاثة يساوي ﻙ في خمسة.
بقسمة الطرفين على خمسة لإيجاد قيمة ﻙ، يتبقى لدينا ﻙ في الطرف الأيسر. نحصل على ﻙ يساوي ثلاثة على خمسة. إذن ﻙ يساوي ثلاثة على خمسة، وﺹ يساوي ﻙ في ﺱ. هذا يعني أن الصيغة العامة هي ﺹ يساوي ثلاثة على خمسة في ﺱ.
ويمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة ﺱ عند ﺹ يساوي ٢٠. إذن، لدينا ٢٠ يساوي ثلاثة على خمسة في ﺱ. إذا ضربنا الطرفين في خمسة، خمسة في ٢٠ يساوي ١٠٠. وبضرب ثلاثة على خمسة في خمسة، العددان خمسة يلغي أحدهما الآخر ليتبقى لدينا ثلاثة فقط. وبذلك يصبح الطرف الأيسر ثلاثة ﺱ. إذا قسمنا الطرفين بعد ذلك على ثلاثة، فسنحصل على ﺱ يساوي ١٠٠ مقسومًا على ثلاثة. هذا يساوي ٣٣ وثلثًا.
إذن، هذه المسألة تشبه المسألة السابقة إلى حد كبير. لكن المشكلة هي أن المجهول كان هنا؛ لذا كان علينا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. كان يمكننا ترتيب المعادلة بطريقة مختلفة نوعًا ما. دعونا نفعل ذلك بطريقة مختلفة. بدلًا من القول إن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ يعني أن ﺹ يساوي ﻙ في ﺱ، لنقل إن هذا يعني أن ﺱ يساوي ﻙ في ﺹ. وهذا صحيح بالتأكيد. وسنحصل على قيمة مختلفة لـ ﻙ في هذه المعادلة. سأستخدم حرفًا آخر يمثل هذه القيمة، فقط لتوضيح هذه النقطة. لكن دعونا نجري هذه العملية الحسابية مرة أخرى.
لنبدأ من البداية، ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ يعني أن ﺱ يساوي عددًا ما في ﺹ. سنسمي ذلك ﺟ في هذه الحالة. نعلم أنه عند ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي ثلاثة. هذا يعني أن خمسة يساوي ﺟ في ثلاثة. إذن نقسم الطرفين على ثلاثة. نحصل على ﺟ يساوي خمسة على ثلاثة. وهذا يعني أن ﺱ يساوي خمسة على ثلاثة في ﺹ. هذا هو الحال بالنسبة لعلاقات التناسب الطردي كلها. يمكننا كتابة معادلتين مختلفتين لوصف هذه العلاقة. توصلنا إلى أن ﺹ يساوي ثلاثة على خمسة في ﺱ هنا، وأيضًا ﺱ يساوي خمسة على ثلاثة في ﺹ. هذان الثابتان كل منهما مقلوب للآخر. في هذه الحالة تحديدًا، إذا استخدمنا المعادلة الثانية وكان لدينا قيمة ﺹ، فيمكننا بسهولة التعويض عن ﺹ بـ ٢٠ ومن ثم التوصل إلى قيمة ﺱ مباشرة؛ مما يجعل هذا الجزء من العملية الحسابية أسهل قليلًا. إذن، أحيانًا يكون استخدام إحدى الطريقتين أسهل. وأحيانًا يكون استخدام الطريقة الأخرى أسهل.
لدينا سؤال أخير.
المتغيران ﺱ وﺹ متناسبان طرديًا. يوضح الجدول التالي بعض القيم. أوجد ثابت التغير وقيمة ﺱ عند ﺹ يساوي ١٩. نعلم أن ﺹ يتناسب طرديًا مع ﺱ. هذا يعني أن ﺹ يساوي عددًا ثابتًا ما في ﺱ. يعطينا السؤال ثلاثة أزواج من القيم. عند ﺱ يساوي ثلاثة، فإن ﺹ يساوي ٤٫٥. وعند ﺱ يساوي ستة، فإن ﺹ يساوي تسعة. وعند ﺱ يساوي ١٠، فإن ﺹ يساوي ١٥. إذن يمكننا اختيار أي من هذه الأزواج لإيجاد هذا الثابت.
سنستخدم القيمتين ﺱ يساوي ستة، وﺹ يساوي تسعة؛ لأنهما عددان سهلان نسبيًا. هذا يعطينا تسعة يساوي ﻙ في ستة. بقسمة الطرفين على ستة، نحصل على ﻙ يساوي تسعة على ستة، وهما عددان يقبلان القسمة على ثلاثة. بذلك نحصل على ثلاثة على اثنين. إذن ثابت التغير هو ثلاثة على اثنين.
جدير بالذكر هنا أنه على الرغم من أنني أوضحت في السؤال السابق إمكانية الحل بطريقة مختلفة تجعل العمليات الرياضية أسهل، إلا أن عليك أن تكون حذرًا. في معظم هذه الأسئلة، يتوقع منك أن تحل على أساس أن ﺹ متناسب طرديًا مع ﺱ، وﺹ يساوي ﻙ في ﺱ. وإذا أجريت العملية الحسابية بالطريقة الأخرى، أي ﺱ يتناسب طرديًا مع ﺹ، وأوجدت قيمة ثابت التغير هذا، فستحصل على قيمة مختلفة، هي مقلوب القيمة التي تبحث عنها. على أي حال، هذا يعطينا المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة على اثنين ﺱ، التي يمكننا إعادة كتابتها لتصبح ﺱ يساوي اثنين على ثلاثة ﺹ. والتعويض بـ ﺹ يساوي ١٩، يعطينا ﺱ يساوي ١٢ وثلثين.
