فيديو الدرس: الانحراف المعياري لمجموعة بيانات

نسخة الفيديو النصية

قبل أن تشاهد هذا الفيديو، يجب أن تكون على دراية بالانحراف المعياري وكيفية حسابه بناء على قائمة من القيم. إذا لم تكن متأكدًا من ذلك، فلدينا فيديو آخر يتناول هذا الموضوع. في هذا الفيديو، سنحسب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم الموضحة في جدول تكراري.

تذكر أن الانحراف المعياري هو عدد يوضح لك مدى تشتت مجموعة من الأعداد. وهو يساوي الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز σ. وهو هذا الرمز الصغير الموضح في هذه الصيغة. ويساوي ذلك مجموع كل قيمة على حدة ناقص الوسط الحسابي تربيع على ﻥ. ثم نأخذ الجذر التربيعي للمجموع بالكامل.

لكن ثمة صيغة أسهل يمكن استخدامها. وهي تتلخص في الوسط الحسابي لمربعات القيم ناقص مربع الوسط الحسابي لها. ثم نأخذ الجذر التربيعي للمقدار كله. وعليه، إذا كانت لديك قائمة أعداد واضحة وتريد حساب الانحراف المعياري لها، فستكون العملية الحسابية مباشرة نسبيًّا، لكنها قد تكون طويلة أحيانًا.

على سبيل المثال، إذا أردت حساب الانحراف المعياري للقيم ثلاثة وسبعة وثمانية و١٠ و١١، فيمكنك تسمية هذه الأعداد قيم ﺱ وكتابتها، ثم تربيعها. إذا جمعت قيم ﺱ في هذه الحالة، فستحصل على ٣٩. وإذا جمعت قيم ﺱ تربيع، فستحصل على ٣٤٣. تلاحظ أيضًا أن لدينا خمس قيم في مجموعة البيانات، وذلك لأنه كان لدينا خمسة أعداد في البداية. إذن لإيجاد الانحراف المعياري، علينا التعويض ببعض هذه القيم في الصيغة.

حسنًا، مجموع قيم ﺱ تربيع يساوي ٣٤٣، وﻥ يساوي خمسة، ومجموع قيم ﺱ هو ٣٩. ويمكن تبسيط ذلك كله إلى ١٩٤ على ٢٥. إذن ستكون الإجابة هي أن الانحراف المعياري لهذه المجموعة من البيانات هو ٢٫٧٩، بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

عظيم، لكن ليس ذلك هو ما يدور حوله هذا الفيديو.

لنفترض أن لدينا بعض البيانات في جدول تكراري. كيف سيمكننا حساب الانحراف المعياري في هذه الحالة؟ على سبيل المثال، أمامنا هنا مجموعة من الأسعار وعدد تكرارات كل منها. لدينا ثلاث سلع سعر كل منها ١٠ دولارات، وسلعتان سعر كل منهما ٢٠ دولارًا، وأربع سلع سعر كل منها ٣٠ دولارًا. ما الانحراف المعياري في الأسعار؟

حسنًا، يمكننا كتابة البيانات في قائمة كبيرة واستخدام الطريقة التي نعرفها بالفعل. فيصبح لدينا ثلاثة تكرارات من القيمة ١٠، وتكراران من القيمة ٢٠، وأربعة تكرارات من القيمة ٣٠. هذا يعني أن لدينا تسعة تكرارات إجمالًا. وإذا جمعناها كلها، فسنحصل على ١٩٠. هيا نتابع الحل ونكتب قيم ﺱ تربيع. ١٠ تربيع يساوي ١٠٠، و٢٠ تربيع يساوي ٤٠٠، و٣٠ تربيع يساوي ٩٠٠. وعليه، فإن مجموع قيم ﺱ تربيع يساوي ٤٧٠٠. يمكننا الآن التعويض بهذه الأعداد في الصيغة. إذن علينا أن نحسب ٤٧٠٠ مقسومًا على تسعة ناقص ١٩٠ على تسعة الكل تربيع، ثم نأخذ الجذر التربيعي لهذه الإجابة. وهذا يساوي ٨٫٧٥، لأقرب منزلتين عشريتين.

تمكنا من إنجاز هذا سريعًا باستخدام هذه الطريقة، ولكن تخيل ماذا سيحدث إذا كان عدد هذه التكرارات أكبر بكثير. ستكون لدينا قائمة طويلة جدًّا من الأعداد هنا. وسيستغرق إجراء هذه العملية الحسابية وقتًا طويلًا. لحسن الحظ، توجد صيغة بديلة توفر لنا بعض الوقت.

إذا أطلقنا على عدد التكرارات ﻙ وعلى السعر في هذه الحالة ﺱ، وهو كل القيم المنفصلة، فإن σ سيساوي المجموع لـ ﻙ مضروبًا في ﺱ تربيع مقسومًا على المجموع لـ ﻙ، أي عدد تكرارات قيم البيانات، ناقص المجموع لـ ﻙﺱ مقسومًا على مجموع التكرارات الكل تربيع. ثم نأخذ الجذر التربيعي لذلك. والآن، دعونا ننفذ ذلك عمليًّا.

أولًا، سنضيف صفًّا آخر إلى الجدول. وسيكون هذا الصف لقيم ﺱ تربيع. وهذه القيم هي ١٠ تربيع، و٢٠ تربيع، و٣٠ تربيع، أي ١٠٠ و٤٠٠ و٩٠٠. والآن، سنضيف صفًّا لقيم ﻙ في ﺱ، أي عدد التكرارات مضروبًا في قيمة ﺱ. إذن في العمود الأول، لدينا ثلاثة، وهو عدد التكرارات، مضروبًا في ١٠، وهي قيمة ﺱ. وفي العمود الثاني، لدينا اثنان مضروبًا في ٢٠. وفي الثالث، لدينا أربعة مضروبًا في ٣٠، وبذلك نحصل على ٣٠ و٤٠ و١٢٠.

بعد ذلك، نضيف صفًّا لقيم ﻙ في ﺱ تربيع. سنستخدم التكرارات التي استخدمناها في العمليات الحسابية بالصف السابق، ولكن هذه المرة لن نضربها في قيم ﺱ المناظرة، وإنما سنضربها في قيم ﺱ تربيع المناظرة لها. وهي ١٠٠ و٤٠٠ و٩٠٠. وعند إكمال هذه العمليات الحسابية، ستكون قيم ﻙﺱ تربيع هي ٣٠٠، و٨٠٠، و٣٦٠٠.

بعد ذلك، علينا إجراء بعض عمليات الجمع. مجموع التكرارات، أي ثلاثة زائد اثنين زائد أربعة، يساوي تسعة. ومجموع قيم ﻙﺱ، أي ٣٠ زائد ٤٠ زائد ١٢٠، يساوي ١٩٠. ومجموع قيم ﻙﺱ تربيع، أي ٣٠٠ زائد ٨٠٠ زائد ٣٦٠٠، يساوي ٤٧٠٠. والآن، علينا التعويض بهذه الأعداد في الصيغة. مجموع قيم ﻙﺱ تربيع يساوي ٤٧٠٠. ومجموع قيم ﻙ يساوي تسعة. وسنطرح من هذا مجموع قيم ﻙﺱ، وهو ١٩٠، على مجموع ﻙ، وهو تسعة، الكل تربيع. ثم نأخذ الجذر التربيعي للمقدار كله.

ولحسن الحظ، نحصل على الإجابة نفسها. في هذا المثال تحديدًا، نظرًا لأن عدد التكرارات كان صغيرًا للغاية، ربما استغرقت الطريقة الثانية وقتًا أطول قليلًا مما استغرقته الطريقة الأصلية التي تضمنت كتابة كل القيم على حدة. لكن إذا كان عدد التكرارات أكبر من ذلك بكثير، فإن كتابة كل القيم على حدة كانت ستستغرق وقتًا أطول بكثير. ومن ثم، كانت الطريقة الثانية ستوفر بالتأكيد بعض الوقت.

حسنًا، لننتقل إلى مثال أخير قبل إنهاء الفيديو.

احسب الانحراف المعياري للبيانات الآتية. قيم النقاط التي لدينا هي: واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة. حصل ثلاثة أشخاص على واحد، وحصل تسعة أشخاص حصلوا على اثنين، وحصل ١٢ شخصًا على ثلاثة، وحصل خمسة أشخاص على أربعة، وحصل أربعة أشخاص على خمسة.

أول ما علينا فعله هو إضافة ثلاثة صفوف: صف لقيم ﺱ تربيع، وصف لـ ﻙ في قيم ﺱ، وصف لـ ﻙ في قيم ﺱ تربيع. أولًا، هيا نحسب قيم ﺱ تربيع. واحد تربيع يساوي واحدًا، واثنان تربيع يساوي أربعة، وثلاثة تربيع يساوي تسعة، وأربعة تربيع يساوي ١٦، وخمسة تربيع يساوي ٢٥. والآن، يمكننا ملء الصف ﻙﺱ. تذكر أن التكرارات هي ثلاثة وتسعة و١٢ وخمسة وأربعة. ثلاثة في واحد يساوي ثلاثة، وتسعة في اثنين يساوي ١٨، و١٢ في ثلاثة يساوي ٣٦، وخمسة في أربعة يساوي ٢٠، وأربعة في خمسة يساوي ٢٠.

والآن، يمكننا ملء صف ﻙﺱ تربيع. ثلاثة في واحد مرة أخرى يساوي ثلاثة، وتسعة في أربعة يساوي ٣٦، و١٢ في تسعة يساوي ١٠٨، وخمسة في ١٦ يساوي ٨٠، وأربعة في ٢٥ يساوي ١٠٠. والآن علينا أن نحسب مجموع قيم ﻙ، ومجموع قيم ﻙ في ﺱ، ومجموع قيم ﻙ في ﺱ تربيع. بجمع الأعداد في صف ﻙ، أي ثلاثة زائد تسعة زائد ١٢ زائد خمسة زائد أربعة، نحصل على ٣٣. وبجمع الأعداد في صف ﻙﺱ، أي ثلاثة زائد ١٨ زائد ٣٦ زائد ٢٠ زائد ٢٠، يصبح لدينا ٩٧. وبجمع قيم ﻙﺱ تربيع، أي ثلاثة زائد ٣٦ زائد ١٠٨ زائد ٨٠ زائد ١٠٠، يصبح لدينا ٣٢٧.

نسترجع صيغة σ أو الانحراف المعياري، وهي تساوي الجذر التربيعي لمجموع قيم ﻙﺱ تربيع مقسومًا على مجموع قيم ﻙ ناقص مجموع قيم ﻙﺱ مقسومًا على مجموع قيم ﻙ الكل تربيع. نعوض بالقيم التي لدينا حيث مجموع قيم ﻙﺱ تربيع يساوي ٣٢٧، ومجموع قيم ﻙ يساوي ٣٣. سنكتب ذلك هنا وهنا. ومجموع قيم ﻙﺱ يساوي ٩٧. وبحساب كل ذلك على الآلة الحاسبة ثم التقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ١٫١٣.

حسنًا، آمل أن يكون المثال الأخير قد أوضح حقيقة أنه كلما زاد عدد التكرارات، صار استخدام هذه الطريقة أسهل؛ فدونها كنا سنضطر إلى كتابة ٣٣ عددًا. وكان سيصعب علينا حل هذه المسألة إذا لم نستخدم صيغة الجدول.

تلخيصًا لما تعلمناه، بالنسبة للقيم المعطاة في جدول تكراري حيث ﺱ هي القيم الفردية وﻙ هي عدد تكرارات هذه القيم، فإن الانحراف المعياري σ يساوي الجذر التربيعي لمجموع قيم ﻙﺱ تربيع مقسومًا على مجموع قيم ﻙ ناقص مجموع قيم ﻙﺱ مقسومًا على مجموع قيم ﻙ الكل تربيع.