فيديو: حل تقسيم الدائرة

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

حل تقسيم الدائرة

٠٨:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو السابق، طرحت السؤال التالي: إذا حددت عدد ‪𝑛‬‏ من النقاط على دائرة، ثم وصلت كل نقطتين بخط، فإلى كم جزء ستقسم هذه الخطوط الدائرة؟

كان الغريب في الأمر أنه عندما تكون قيمة ‪𝑛‬‏ أقل من ستة وعندما تكون قيمة ‪𝑛‬‏ تساوي ‪10‬‏، فإن الناتج دائمًا ما يكون إحدى قوى العدد اثنين. لكن بالنسبة إلى جميع قيم ‪𝑛‬‏ الأخرى، لا يكون الناتج ذا صلة على الإطلاق بقوى العدد اثنين.

ما يروق لي في هذه المسألة أنها تجمع العديد من المفاهيم المختلفة: دوال العد، والمخططات، وإحدى أشهر معادلات أويلر، ومثلث باسكال.

لعلك تتساءل هل تغيير أماكن النقاط سيغير عدد الأجزاء. من الجائز حقًا ذلك! على سبيل المثال، لاحظ كيف ستختفي هذه المنطقة الخضراء الصغيرة في الوسط إذا عدلنا أماكن النقاط بحيث تمر الخطوط الثلاثة بنفس النقطة.

لكن إذا أضفنا الشرط القائل بأنه لا يجوز أن تمر أي ثلاث نقاط بنفس النقطة. فإن عدد الأجزاء سيعتمد على عدد النقاط فقط، وليس على أماكنها، كما سترون بعد قليل.

أعتقد أنه من الإنصاف أن نصف هذه المسألة بأنها صعبة. وعند حل المسائل الصعبة، من الجيد أن تطرح أسئلة أبسط حول نفس الموضوع. وهنا، لدي سؤالان لكم:‪(1)‬‏ كم عدد الخطوط هنا؟، ‪(2)‬‏ كم عدد النقاط التي ستتقاطع فيها هذه الخطوط داخل الدائرة؟

بالنسبة إلى السؤال الأول، كل خط يناظره زوج واحد فقط من النقاط. وبالمثل، كل زوج من النقاط يعطينا خطًا واحدًا فقط.

لحسن الحظ، حساب عدد الأزواج في مجموعة ما من الأمور الشائعة في الرياضيات حتى إن لدينا صيغة خاصة لحسابها: «‪𝑛‬‏ توافيق اثنين»، التي نوجد قيمتها بالصيغة ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد الكل مقسوم على اثنين.

لكي نعرف من أين جاءت هذه الصيغة، لاحظ أن لديك عدد ‪𝑛‬‏ من الخيارات للعنصر الأول من الزوج، الذي نضربه في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، وهو عدد الخيارات الباقية للعنصر الثاني. لكن هذا سيجعلنا نعد كل زوج مرتين، ومن ثم نقسم على اثنين.

على سبيل المثال، عند ‪𝑛‬‏ يساوي سبعة، فإن سبعة توافيق اثنين يساوي سبعة في ستة على اثنين أي ‪21‬‏. إذن يوجد ‪21‬‏ زوجًا من النقاط، وبالتالي ‪21‬‏ خطًا.

يمكننا أن نوفر على أنفسنا عناء تعيين ‪100‬‏ نقطة؛ لأن حساب عدد الخطوط مباشرة سيكون في هذه الحالة أمرًا غاية في الصعوبة. لكن يمكننا حساب ذلك بالصيغة ‪100‬‏ توافيق اثنين، وهي ‪100‬‏ في ‪99‬‏ على اثنين، أي ‪4950‬‏.

إن حساب عدد نقاط تقاطع الخطوط أمر أكثر تعقيدًا. فعلى الرغم من أن كل نقطة تقاطع يناظرها زوج واحد فقط من الخطوط، فثمة العديد من أزواج الخطوط التي لا تتقاطع داخل الدائرة. ومن ثم، لا يمكننا عد أزواج الخطوط. لكن ما يمكننا فعله هو ربط كل نقطة تقاطع بمجموعة من أربع نقاط على الدائرة.

ولأن العكس صحيح، فإن كل مجموعة من أربع نقاط ترتبط بنقطة تقاطع واحدة فقط. لنلق نظرة على ذلك! أليس هذا رائعًا؟ هذا يعني أن عدد نقاط التقاطع يساوي عدد المجموعات المكونة من أربع نقاط لعدد ‪𝑛‬‏ من النقاط التي بدأنا بها.

الدالة ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة تعد المجموعات المكونة من أربع نقاط في مجموعة عددها ‪𝑛‬‏. وسنوجد قيمتها عن طريق حساب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص واحد في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين في ‪𝑛‬‏ ناقص ثلاثة، الكل مقسوم على واحد في اثنين في ثلاثة في أربعة.

إنشاء هذه الصيغة مشابه لـ ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين. تضرب ‪𝑛‬‏، التي تمثل عدد الخيارات التي لديك لكل عنصر متتال. ثم تقسم على عدد العناصر التي عددتها أكثر من مرة.

على سبيل المثال، عند ‪𝑛‬‏ يساوي أربعة، فإن أربعة توافيق أربعة يساوي واحدًا. وبالفعل، توجد نقطة تقاطع واحدة فقط. ستة توافيق أربعة يساوي ‪15‬‏. إذن عندما ‪𝑛‬‏ يساوي ستة، يكون هناك ‪15‬‏ نقطة تقاطع. وإذا كان ‪𝑛‬‏ يساوي ‪100‬‏، حتى لو بدا عد نقاط التقاطع أمرًا غاية في الصعوبة، فيمكننا استنتاج أنه سيكون هناك ‪3921225‬‏ نقطة تقاطع.

والآن، كيف سيساعدنا هذا في عد الأجزاء في الدائرة؟ لعلك تتساءل عن ذلك الآن. حسنًا، سيساعدنا ذلك، بمجرد أن ندرس المخططات وصيغة أويلر. لا، لا نقصد بذلك أمورًا مثل التمثيلات البيانية للدوال ولا الصيغة ‪𝑒‬‏ مرفوعًا للقوة الأسية ‪𝜋𝑖‬‏.

إذ يمكن أيضًا أن تشير كلمة «مخطط» إلى مجموعة من النقاط، يشار إليها باسم «الرءوس»، ومجموعة من الخطوط التي تصل بين بعض هذه النقاط ونسميها «أحرفًا». لاحظ أننا لو عددنا الرءوس في هذا المخطط، ثم طرحنا عدد الأحرف، ثم أضفنا عدد الأجزاء التي قسم إليها هذا المخطط الفضاء، بالإضافة إلى هذا الجزء الخارجي، فإن الناتج اثنان. إذا فعلنا الشيء نفسه مع هذا المخطط الآخر، فسنحصل على اثنين مرة أخرى.

هذا ليس من قبيل المصادفة. يمكنك تطبيق ذلك على أي مخطط. وطالما أن الأحرف لا تتقاطع، فسيكون الناتج دائمًا اثنين. أما إذا تقاطعت الأحرف، يمكنك تغيير عدد الأجزاء دون تغيير عدد الرءوس والأحرف. وهذا لن يكون منطقيًا بالطبع.

تعرف هذه العلاقة باسم «صيغة مميزة أويلر». وجدير بالذكر أن «أويلر» كلمة ألمانية تعني «جميلًا».

وإذا كان يراودك الفضول، فإن السبب في أننا نكتب ‪𝐹‬‏ للإشارة إلى عدد الأجزاء أن الصيغة تشير في الأساس إلى عدد الرءوس ‪(vertics)‬‏، والأحرف ‪(edges)‬‏، والأوجه ‪(faces)‬‏ لمتعدد السطوح الثلاثي الأبعاد. في فيديو آخر، سأشرح السبب وراء صحة ذلك. لكن هنا، دعونا نستخدم هذه الصيغة لحل مسألة الدائرة التي لدينا.

الشكل الذي لدينا هو مخطط به عدد ‪𝑛‬‏ من الرءوس و‪𝑛‬‏ توافيق اثنين من الأحرف، حرف واحد بين كل زوج من النقاط. لكن لا يمكننا تطبيق صيغة مميزة أويلر مباشرة، بما أن الأحرف تتقاطع عدة مرات، ‪𝑛‬‏ توافيق أربع مرات لتحري الدقة.

ومع ذلك، إذا اعتبرنا كل نقطة تقاطع هي رأسًا، بمعنى أن الخطوط الأصلية لا بد أن تتقاطع عند هذه النقاط، وإذا اعتبرنا أجزاء الدائرة التي تصل بين عدد ‪𝑛‬‏ من النقاط الخارجية هي أحرف جديدة، فسيكون لدينا مخطط مناسب تمامًا لتطبيق صيغة أويلر.

في هذه الصورة تحديدًا، عدد الأجزاء يساوي عدد الأحرف في المخطط الجديد ناقص عدد الرءوس زائد اثنين.

بما أن المخطط الجديد يحتفظ بعدد الرءوس الأصلية ‪𝑛‬‏ ويضيف ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة أخرى لتمثيل نقاط التقاطع، فسنعوض عن الحد المشتمل على ناقص ‪𝑉‬‏ بناقص ‪𝑛‬‏ ناقص ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة.

لإيجاد عدد الأحرف، لاحظ أنه يمكن النظر إلى كل نقطة من نقاط التقاطع باعتبارها تضيف ضلعين، حيث تأخذ كل نقطة خطين موجودين ثم تقسمهما إلى أربعة أجزاء أصغر. على سبيل المثال، تنقسم الخطوط الثلاثة المتقاطعة في نقطتين إلى ثلاثة زائد اثنين في اثنين يساوي سبعة أجزاء أصغر. وتنقسم الخطوط الأربعة المتقاطعة في ثلاث نقاط إلى أربعة زائد اثنين في ثلاثة يساوي عشر قطع أصغر.

وفي الدائرة المرسومة لدينا، تنقسم الخطوط التي عددها ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين المتقاطعة عند نقاط عددها ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة إلى أجزاء أصغر عددها ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين زائد اثنين في ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة زائد ‪𝑛‬‏ مرة أخرى لعدد أجزاء الدائرة التي نعتبرها الآن أحرفًا.

عودة إلى الصيغة لدينا، يمكننا التعويض عن ‪𝐸‬‏ بـ ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين زائد اثنين في ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة زائد ‪𝑛‬‏. وبتجميع الحدود المتشابهة، نجد أن المخطط يقسم المستوى الثنائي الأبعاد إلى أجزاء عددها اثنان زائد ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين زائد ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة. بما أن اهتمامنا ينصب على عد الأجزاء داخل الدائرة، يمكننا تجاهل الأجزاء الخارجية وكتابة الإجابة النهائية واحد زائد ‪𝑛‬‏ توافيق اثنين زائد ‪𝑛‬‏ توافيق أربعة.

هذا رائع! توصلنا إلى الإجابة. لكن لماذا ترتبط هذه الصيغة بقوى العدد اثنين عندما تكون ‪𝑛‬‏ أقل من ستة، ثم مجددًا عندما ‪𝑛‬‏ يساوي ‪10‬‏؟ إنها ليست مجرد صدفة؛ فالأمر مرتبط بمثلث باسكال. مثلث باسكال مبني هكذا: كل حد هو مجموع الحدين الموجودين أعلاه. إذا جمعت كل صف، فستحصل على قوى متتالية للعدد اثنين. لكي تقتنع بالأمر، لاحظ أن كل حد أضيف إلى الصف الذي يليه مرتين، إذن يجب أن يكون مجموع كل صف يساوي ضعف مجموع الصف الذي يسبقه.

الدالة ‪𝑛‬‏ توافيق ‪𝐾‬‏ مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بهذا المثلث، إذ فيه العنصر ‪𝑘‬‏ في الصف ‪𝑛‬‏، حيث يبدأ العد من صفر، دائمًا ما يساوي ‪𝑛‬‏ توافيق ‪𝑘‬‏. على سبيل المثال، لإيجاد موقع خمسة توافيق ثلاثة في المثلث، نبدأ العد رأسيًا من الصف صفر، واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة؛ ثم العد أفقيًا صفر، واحد، اثنان، ثلاثة. وبالفعل، خمسة توافيق ثلاثة يساوي ‪10‬‏. هذا يعني أن حل مسألة الدائرة لعدد ‪𝑛‬‏ من النقاط هو مجموع العناصر صفر، واثنين، وأربعة من الصف ‪𝑛‬‏ في مثلث باسكال.

على سبيل المثال، إذا كان ‪𝑛‬‏ يساوي خمسة، فإننا نلاحظ أن علينا فقط جمع واحد زائد ‪10‬‏ زائد خمسة. بما أن كل حد يمثل مجموع الحدين الموجودين أعلاه، فهذا مثل جمع الصف الرابع بالكامل، والذي نعرف أنه إحدى قوى العدد اثنين. وبالمثل، بالنسبة إلى قيم ‪𝑛‬‏ الأصغر، فسيكون الناتج هو مجموع ‪𝑛‬‏ ناقص الصف الأول وبالتالي إحدى قوى العدد اثنين.

على الرغم من ذلك، عند ‪𝑛‬‏ يساوي ستة مع ربط الحدود بالصف الخامس، لاحظ أننا لن نضيف الصف بالكامل لأننا أغفلنا الحد الأخير. وبذلك، نحصل على ‪31‬‏ فقط. عندما ‪𝑛‬‏ يساوي ‪10‬‏، فسنجمع بالضبط نصف الصف التاسع. إذن فالإجابة هي نصف اثنين مرفوعًا للقوة الأسية تسعة، وهو ما يساوي اثنين مرفوعًا للقوة الأسية ثمانية.

إذن لنراجع الخطوات سريعًا، أولًا نحول الشكل إلى مخطط مناسب لتطبيق صيغة مميزة أويلر عن طريق إضافة كل نقاط التقاطع كرءوس وتقسيم كل الأحرف. ثم نحسب عدد الخطوط ونقاط التقاطع عن طريق ربطها بأزواج النقاط والمجموعات المكونة من أربعة نقاط التي بدأنا بها. وأخيرًا، نستخدم صيغة مميزة أويلر لاستنتاج عدد الأجزاء ثم نربطها بقوى العدد اثنين باستخدام مثلث باسكال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.