فيديو الدرس: قوانين الأسس في مجموعة الأعداد الحقيقية الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قوانين الأسس لضرب وقسمة القوى، وكيف نحسب قوة مرفوعة إلى قوة في مجموعة الأعداد الحقيقية. يجب أن نكون على دراية سابقة بتعريف القوى والقوانين الأساسية للأسس. لكننا سنلخص كل ذلك بإيجاز الآن.

القوة تعبير على الصورة ﺃ أس ﻡ؛ حيث ﺃ وﻡ عددان حقيقيان. يسمى ﺃ الأساس، ويسمى ﻡ الأس. وإذا تمكنا من حساب قيمة هذه القوة؛ أي إذا كان بإمكاننا أن نكتب ﺃ أس ﻡ يساوي ﺟ، فإن ﺟ هو الناتج. على سبيل المثال، اثنان تكعيب أو اثنان أس ثلاثة يساوي ثمانية. بالنسبة إلى الأسس الصحيحة الموجبة، مثل الأس ثلاثة هنا، يمكننا اعتبار أن القوى هي عدد مرات ضرب الأساسات في نفسها. إذن اثنان تكعيب يعني اثنين في اثنين في اثنين؛ أي العدد اثنين مضروبًا في نفسه ثلاث مرات.

هناك العديد من قوانين الأسس التي يجب أن نكون على دراية سابقة بها. وتنطبق جميع هذه القوانين على القيم الحقيقية للأساس ﺃ. في الوقت الحالي، سنركز فقط على القيم الصحيحة للأسس. في البداية، لدينا قاعدة ضرب القوى، التي تخبرنا بطريقة حساب الأس عندما يكون لدينا حاصل ضرب قوى مختلفة ذات أساسات متساوية. في هذه الحالة، نجمع الأسس. ‏ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. على سبيل المثال، سبعة تربيع مضروبًا في سبعة تكعيب يساوي سبعة أس اثنين زائد ثلاثة؛ أي سبعة أس خمسة. يمكننا توضيح هذه القاعدة للأسس الصحيحة الموجبة على الأقل من خلال كتابة المقدار حدًّا بحد. ‏ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي حاصل ضرب ﺃ في نفسه عدد ﻡ من المرات مضروبًا في حاصل ضرب ﺃ في نفسه عدد ﻥ من المرات. إذن بشكل عام، إننا نضرب ﺃ في نفسه عدد ﻡ زائد ﻥ من المرات. ومن ثم هذا يعطينا أس الناتج.

لا بد أن نتعامل مع هذه القاعدة بحذر؛ حتى لا نقع في خطأين شائعين للغاية. الخطأ الأول هو ضرب الأسس بدلًا من جمعها. والخطأ الثاني هو ضرب الأساسات، أو أن نقع في الخطأين معًا ونضرب الأساسات والأسس. لكن إذا تذكرنا المنطق الذي تستند إليه هذه القاعدة، فلن نقع في هذه الأخطاء. والآن رغم أننا أوضحنا المنطق الذي تستند إليه هذه القاعدة باستخدام الأسس الصحيحة الموجبة، فإن القاعدة تنطبق في الواقع عندما تكون الأسس أي قيم حقيقية.

بعد ذلك، لدينا قاعدة قسمة القوى، التي تخبرنا بطريقة حساب الأس عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه. هذه المرة سنطرح الأسس. يمكننا أيضًا توضيح هذه القاعدة بالنسبة لقيم ﻡ وﻥ الصحيحة الموجبة عن طريق كتابة خارج القسمة حدًّا بحد، ثم حذف العوامل المشتركة الموجودة في كل من البسط والمقام. نفترض هنا أن ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ، لكن يكون الناتج صحيحًا أيضًا إذا كان ﻥ أكبر من ﻡ. بعد ذلك، لدينا قاعدة رفع قوة إلى قوة أخرى، التي تخبرنا بأننا إذا رفعنا الأساس إلى قوة ثم رفعناه إلى قوة أخرى، فإن هذا يعني أننا نرفع هذا الأساس إلى حاصل ضرب هاتين القوتين.

هذه هي القواعد الثلاث الرئيسية، لكن هناك أيضًا بعض القواعد الإضافية التي علينا تذكرها. عند رفع حاصل ضرب لقوة، فإن هذا يماثل رفع كل عامل من عوامل حاصل الضرب إلى هذا الأس، ثم حساب حاصل الضرب. وعند رفع خارج قسمة لقوة، فإن هذا يماثل رفع كل من بسط ومقام خارج القسمة هذا إلى هذا الأس، كل على حدة. يجب أن نكون قادرين بالفعل على تطبيق كل قاعدة من هذه القواعد إذا كان الأساس عددًا صحيحًا أو كسرًا. في هذا الفيديو، سنركز على توسيع نطاق معرفتنا بتطبيق هذه القواعد على مجموعة الأعداد الحقيقية كاملة. لذلك سنتناول الأساسات التي على صورة أعداد غير نسبية.

وبما أننا سنتعامل مع أي عدد حقيقي في هذا الفيديو، فعلينا توضيح بعض القواعد الأخرى لتبسيط المقادير التي تتضمن جذورًا تربيعية. يمكننا توضيح هذه القواعد فيما يأتي. بالنسبة إلى المقدار الذي يكون فيه الأساس ﺃ عددًا حقيقيًّا، والذي يجب أن يكون غير سالب، فإن الجذر التربيعي لـ ﺃ الكل تربيع يساوي ﺃ، والجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع يساوي ﺃ أيضًا. من الضروري أن يكون ﺃ هنا عددًا غير سالب؛ حتى يكون جذره التربيعي معرفًا جيدًا في القاعدة الأولى، وحتى نحصل على حل وحيد عند تربيعه، ثم نأخذ الجذر التربيعي للناتج في القاعدة الثانية. دعونا نتناول الآن المثال الأول، الذي نرى فيه كيفية استخدام قاعدة ضرب القوى لتبسيط مقدار يكون فيه الأساس عددًا حقيقيًّا.

املأ الفراغ. المقدار جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة تكعيب يبسط إلى فراغ.

علينا تبسيط هذا المقدار الذي يتكون من ثلاث قوى لها الأساس نفسه، وهو جذر ثلاثة، مضروبة بعضها في بعض. يمكننا هنا تطبيق قاعدة ضرب القوى، التي تنص على أنه عندما يكون ﺃ وﻡ وﻥ قيمًا حقيقية، فإن ﺃ أس ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻡ زائد ﻥ. لا يوجد أي أس مكتوب للحد الأول في حاصل الضرب، ولكننا نعرف أن أي عدد يمكن كتابته على صورة العدد نفسه أس واحد. إذن جذر ثلاثة يساوي جذر ثلاثة أس واحد. بتطبيق قاعدة الضرب وجمع الأسس الثلاثة معًا، نجد أن هذا المقدار يمكن تبسيطه إلى جذر ثلاثة الكل أس واحد زائد اثنين زائد ثلاثة، وهو ما يساوي جذر ثلاثة الكل أس ستة. نحن نعلم الآن أن لدينا جذر ثلاثة مضروبًا في نفسه ست مرات، وهو ما يمكننا كتابته حدًّا بحد كما هو موضح.

بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا تجميع حدود حاصل الضرب هذا في أزواج. ومن ثم يمكننا التعبير عن حاصل الضرب على صورة جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة تربيع. لعلنا نتذكر النتيجة التي تنص على أن الجذر التربيعي لـ ﺃ الكل تربيع يساوي ﺃ، وهذا بالنسبة إلى قيم ﺃ غير السالبة. ومن ثم فإن الجذر التربيعي لثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. وعليه، فإن هذا المقدار يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة؛ أي ثلاثة تكعيب، وهو ما يساوي ٢٧. إذن لملء الفراغ، يبسط المقدار المعطى إلى ٢٧.

سنتناول الآن مثالًا آخر نرى فيه كيفية تبسيط خارج قسمة قوتين أساس إحداهما هو سالب أساس الأخرى.

ما قيمة سالب جذر ثلاثة أس ستة مقسومًا على جذر ثلاثة أس ثلاثة؟

الأساسان في هذا المقدار متساويان تقريبًا، لكن أحدهما هو سالب الآخر. لا يمكننا تطبيق قوانين الأسس لتبسيط خارج القسمة هذا؛ لأن الأساسين ليسا متطابقين تمامًا. لذلك، دعونا نفكر في طريقة لتغيير هذا المقدار؛ بحيث يصبح الأساسان متطابقين.

في الحد الأول، لدينا حاصل ضرب مرفوع إلى قوة؛ لأن سالب جذر ثلاثة يساوي سالب واحد مضروبًا في جذر ثلاثة. لعلنا نتذكر إحدى قواعد الأسس وهي قاعدة رفع حاصل ضرب لقوة وتنص على أن حاصل الضرب ﺃﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ. ومن ثم يمكننا إعادة كتابة الحد الأول على صورة سالب واحد أس ستة مضروبًا في جذر ثلاثة أس ستة. بعد ذلك، نتذكر أن سالب واحد مرفوعًا لأي قوة زوجية يساوي موجب واحد. إذن يمكن تبسيط الحد الأول إلى جذر ثلاثة أس ستة.

أصبح الأساسان الآن متطابقين في كل من جزأي خارج القسمة. ومن ثم يمكننا التبسيط باستخدام قاعدة قسمة القوى، التي تنص على أنه لقسمة قوتين لهما الأساس نفسه، فإننا نطرح الأسس. إذن جذر ثلاثة أس ستة مقسومًا على جذر ثلاثة أس ثلاثة يساوي جذر ثلاثة أس ستة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي جذر ثلاثة تكعيب. يمكننا التعبير عن ذلك حدًّا بحد على صورة جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة. بعد ذلك، يمكننا تجميع الحدين الأولين في حاصل الضرب معًا لنحصل على جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة.

نتذكر بعد ذلك أنه عندما تكون قيمة ﺃ قيمة حقيقية غير سالبة، فإن الجذر التربيعي لـ ﺃ الكل تربيع يساوي ﺃ. ومن ثم فإن الجذر التربيعي لثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. ويمكننا تبسيط المقدار إلى ثلاثة جذر ثلاثة. بذلك نكون قد وجدنا أن قيمة سالب جذر ثلاثة أس ستة مقسومًا على جذر ثلاثة أس ثلاثة يساوي ثلاثة جذر ثلاثة.

تتضمن جميع الأمثلة التي تناولناها حتى الآن أسسًا موجبة فقط. وعلى الرغم من ذلك، تنطبق القواعد على الأسس الموجبة والسالبة. علينا أن نذكر بعض الخواص الأساسية الأخرى لنتمكن من التعامل مع الأسس الصفرية والسالبة، وتنطبق هاتان الخاصيتان عندما يكون الأساس لا يساوي الصفر. الخاصية الأولي هي أنه عند رفع أي أساس حقيقي لا يساوي الصفر إلى الأس صفر، فإن الناتج يساوي واحدًا. والخاصية الثانية هي ما نتذكره عن أن الأس السالب يعطينا المقلوب. على سبيل المثال، ﺃ أس سالب ﻥ يساوي واحدًا على ﺃ أس ﻥ.

في المثال الآتي، سنطبق قانون الأسس السالبة على مسألة تكون فيها الأساسات على صورة كسور. وقبل أن نفعل ذلك، دعونا نستخدم القاعدة الثانية لكتابة خاصية أخرى. هذه الخاصية تسمى قاعدة رفع خارج القسمة لقوة مع الأسس السالبة. وتنص هذه القاعدة على أنه عندما تكون قيمتا ﺃ وﺏ لا تساويان الصفر، فإن ﺃ على ﺏ أس سالب ﻥ يساوي ﺏ على ﺃ أس ﻥ. يمكننا توضيح منطق هذه القاعدة بإيجاز. إذا طبقنا قانون الأسس السالبة على المقدار ﺃ على ﺏ أس سالب ﻥ، فسنحصل على واحد مقسومًا على ﺃ على ﺏ الكل أس ﻥ.

وبتطبيق قاعدة رفع خارج القسمة لقوة على المقام، فسنجد أنه يساوي واحدًا مقسومًا على ﺃ أس ﻥ على ﺏ أس ﻥ. لكننا نعلم أن القسمة على كسر تكافئ الضرب في مقلوبه. إذن هذا يكافئ واحدًا مضروبًا في ﺏ أس ﻥ على ﺃ أس ﻥ. وبتطبيق قاعدة رفع خارج القسمة لقوة بطريقة عكسية، نجد أن هذا يساوي ﺏ على ﺃ الكل أس ﻥ. سنتناول الآن مثالًا يوضح كيفية تطبيق هذه القاعدة.

بالنسبة إلى ﺃ يساوي ١٥ على أربعة، ﺏ يساوي خمسة على اثنين، أوجد قيمة ﺃ تربيع ﺏ أس سالب ثلاثة.

لنبدأ بالتعويض بقيمتي ﺃ وﺏ العدديتين في المقدار الذي لدينا. ومن ثم، نحصل على ١٥ على أربعة تربيع مضروبًا في خمسة على اثنين أس سالب ثلاثة. لتبسيط الحد الثاني في حاصل الضرب، فإننا نسترجع قاعدة رفع خارج القسمة لقوة مع الأسس السالبة. وتنص هذه القاعدة على أنه عندما يكون ﺃ وﺏ لا يساويان الصفر، فإن ﺃ على ﺏ أس سالب ﻥ يساوي ﺏ على ﺃ أس ﻥ. إذن سنترك الحد الأول في حاصل الضرب دون تغيير، والحد الثاني سيساوي خمسين أس ثلاثة.

نتذكر بعد ذلك قاعدة رفع خارج القسمة لقوة، التي تنص على أن ﺃ على ﺏ أس ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ على ﺏ أس ﻥ. بتطبيق هذه القاعدة على كل حد، يصبح لدينا ١٥ تربيع على أربعة تربيع مضروبًا في اثنين تكعيب على خمسة تكعيب. يمكننا بعد ذلك كتابة المقدار حدًّا بحد وحذف العوامل المشتركة في كل من بسط خارج القسمة ومقامه. ومن ثم يتبقى لدينا ثلاثة مضروبًا في ثلاثة في البسط على اثنين مضروبًا في خمسة في المقام، وهو ما يساوي تسعة على ١٠. إذن عندما يكون ﺃ يساوي ١٥ على أربعة وﺏ يساوي خمسة على اثنين، فإن ﺃ تربيع ﺏ أس سالب ثلاثة يساوي تسعة أعشار.

سنختتم الدرس بشرح طريقة حل المعادلات التي تكون فيها الأساسات أو الأسس متساوية. افترض أن لدينا المعادلة: اثنان أس ﺱ يساوي اثنين أس أربعة. بما أن الأساسين في طرفي هذه المعادلة متساويان، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يتساوى بها هذان المقداران هي أن يكون الأسان متساويين أيضًا. وبمساواة الأسين، نجد أن الحل هو ﺱ يساوي أربعة. وبالمثل، افترض أن لدينا المعادلة: ﺹ أس أربعة يساوي ثلاثة أس أربعة.

بما أن الأسين في هذين المقدارين متساويان، فقد نظن أن الأساسين يجب أن يكونا متساويين أيضًا. لكن الأمر في الواقع أكثر تعقيدًا من ذلك؛ لأنه يعتمد على إذا ما كان الأس زوجيًّا أم فرديًّا. ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١، وكذلك سالب ثلاثة أس أربعة يعطينا الناتج نفسه أيضًا. إذن فإن ﺹ قد يساوي ثلاثة، وقد يساوي سالب ثلاثة أيضًا. يمكننا التعبير عن ذلك بأن نقول إن القيمة المطلقة لـ ﺹ تساوي ثلاثة. لكن إذا كان الأس عددًا صحيحًا فرديًّا، ولنفترض مثلًا أن لدينا المعادلة: ﻉ تكعيب يساوي ثلاثة تكعيب، فإننا لن نواجه مثل هذه المشكلة. ثلاثة تكعيب يساوي ٢٧، لكن سالب ثلاثة تكعيب يساوي سالب ٢٧. في هذه الحالة، يمكننا القول إنه إذا كان الأسان متساويين، فلابد أن يكون الأساسان متساويين أيضًا.

يمكننا صياغة كل عملية من هذه العمليات المستخدمة في حل المعادلات من خلال القواعد الآتية. القاعدة الأولى، إذا كان ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ؛ حيث ﺃ عدد حقيقي لا يساوي سالب واحد أو صفرًا أو واحدًا، فإن ﻡ يجب أن يساوي ﻥ. والقاعدة الثانية، إذا كان ﺃ أس ﻥ يساوي ﺏ أس ﻥ، فإن ﺃ يساوي ﺏ عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا فرديًّا، والقيمة المطلقة لـ ﺃ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺏ عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا. سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نوضح فيه كيفية استخدام هذين القانونين لحل معادلة؛ حيث يتضمن الأس مجهولًا.

أوجد قيمة ﺱ في المعادلة ١٦ مضروبًا في اثنين أس تسعة ناقص ﺱ يساوي اثنين أس ﺱ ناقص واحد الكل تربيع.

لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا استخدام قوانين الأسس. لكن لا بد أولًا من التعبير عن جميع حدود المعادلة على صورة قوى لها الأساس نفسه. لدينا اثنان أس تسعة ناقص ﺱ واثنان أس ﺱ ناقص واحد الكل تربيع. لذا دعونا نفكر في طريقة نعيد بها كتابة الحد ١٦. حسنًا، ١٦ يساوي اثنين أس أربعة. إذن بالتعويض عن ١٦ باثنين أس أربعة، تصبح الأساسات في جميع حدود المعادلة متساوية.

يمكننا الآن البدء في تطبيق بعض قوانين الأسس. لدينا في الطرف الأيسر حاصل ضرب قوتين لأساسين متساويين. ومن ثم يمكننا تطبيق قاعدة ضرب القوى، التي تنص على أنه لضرب قوى لها الأساس نفسه، فإننا نجمع الأسس. إذن الطرف الأيسر يكافئ اثنين أس أربعة زائد تسعة ناقص ﺱ. ولدينا في الطرف الأيمن قوة مرفوعة إلى قوة أخرى. إذن يمكننا تبسيط ذلك باستخدام قاعدة رفع قوة إلى قوة أخرى، التي تنص في هذه الحالة على ضرب الأسس بعضها في بعض. إذن يصبح لدينا في الطرف الأيمن اثنان أس اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص واحد. بتبسيط الأس في كلا الطرفين، يصبح لدينا اثنان أس ١٣ ناقص ﺱ يساوي اثنين أس اثنين ﺱ ناقص اثنين.

بما أن الأساسين في كلا طرفي المعادلة متساويان، فلا بد أن يكون الأسان متساويين أيضًا. وبمساواة الأسين، نحصل على المعادلة ١٣ ناقص ﺱ يساوي اثنين ﺱ ناقص اثنين. نريد الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. بإضافة اثنين وﺱ إلى كلا الطرفين، نحصل على ١٥ يساوي ثلاثة ﺱ. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على ثلاثة، نجد أن ﺱ يساوي خمسة. إذن قيمة ﺱ في المعادلة المعطاة تساوي خمسة.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية التي تعلمناها في هذا الفيديو. يمكننا استخدام قوانين الأسس لتبسيط القوى ذات الأساسات التي هي عبارة عن أعداد حقيقية. تنطبق قاعدة ضرب القوى، وقاعدة قسمة القوى، وقاعدة رفع قوة لقوة، وقاعدة رفع حاصل الضرب لقوة، وقاعدة رفع خارج القسمة لقوة إذا كانت قيم ﺃ وﺏ قيمًا حقيقية وقيم ﻡ وﻥ قيمًا صحيحة. استعرضنا أيضًا قاعدة رفع خارج القسمة لقوة مع الأسس السالبة. وتنص على أنه إذا كانت قيمتا ﺃ وﺏ لا تساويان الصفر، فإن ﺃ على ﺏ أس سالب ﻥ يساوي ﺏ على ﺃ أس ﻥ. وتناولنا بعض القواعد الأساسية للتعامل مع المربعات والجذور التربيعية. إذا كانت قيمة ﺃ قيمة حقيقية غير سالبة، فإن الجذر التربيعي لـ ﺃ الكل تربيع يساوي ﺃ، والجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع يساوي ﺃ أيضًا.

لحل المعادلات الأسية البسيطة ذات الأساسات الحقيقية، يمكننا استخدام القواعد الآتية عندما تكون الأساسات أو الأسس متساوية. إذا كان ﺃ أس ﻡ يساوي ﺃ أس ﻥ؛ حيث ﺃ عدد حقيقي لا يساوي سالب واحد أو صفرًا أو واحدًا، فإن ﻡ يجب أن يساوي ﻥ. وإذا كان الأسان متساويين؛ أي إذا كان ﺃ أس ﻥ يساوي ﺏ أس ﻥ، فإن ﺃ يساوي ﺏ عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا فرديًّا، والقيمة المطلقة لـ ﺃ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺏ عندما يكون ﻥ عددًا صحيحًا زوجيًّا.