نسخة الفيديو النصية
أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحصورة بالمنحنيين 𝑦 يساوي sin 𝑥، 𝑦 يساوي cos 𝑥، والخطين المستقيمين 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة، 𝑥 يساوي 𝜋 على أربعة حول 𝑦 يساوي سالب واحد. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
نعلم من المعطيات أن الدالتين 𝑦 يساوي sin 𝑥، 𝑦 يساوي cos 𝑥 تشكلان حدود منطقة يحدها أيضًا الخطان المستقيمان 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة، 𝑥 يساوي 𝜋 على أربعة. ومطلوب منا إيجاد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة حول المستقيم 𝑦 يساوي سالب واحد.
ربما يكون من المفيد أن نحاول رسم المجسم في البداية. والمجسم، في الواقع، حلقة تتخذ مقاطعها العرضية شكل الوتد. ولإيجاد حجم هذا المجسم، نجمع مساحات كل مقاطعه الطولية الرأسية باستخدام التكامل. وفي الواقع، المقاطع الطولية شرائح دائرية. وفي هذه المقاطع الطولية، يحد الحافة الخارجية cos 𝑥، ويحد الحافة الداخلية sin 𝑥. ولإيجاد مساحة هذه المقاطع الطولية، نقول: بما أن مساحة الدائرة تساوي 𝜋 في نصف القطر تربيع، وبافتراض أن 𝑅O؛ أي 𝑅 الخارجي، هو نصف قطر الدائرة الخارجية، وبافتراض أن 𝑅I؛ أي 𝑅 الداخلي، هو نصف قطر الدائرة الداخلية، فإن مساحة قرص المقطع الطولي 𝐴D تساوي 𝜋 في 𝑅 الخارجي تربيع ناقص 𝜋 في 𝑅 الداخلي تربيع. وبالطبع، يمكننا أخذ 𝜋 عاملًا مشتركًا من بعض الأقواس.
والآن، وبتذكر أن مركز الدوران يقع عند 𝑦 يساوي سالب واحد، فإن نصف القطر الخارجي 𝑅O يساوي المسافة من مركز الدوران إلى المستقيم 𝑦 يساوي صفرًا؛ أي المحور 𝑥، وهذه المسافة تساوي واحدًا زائد cos 𝑥 للقيمة المعطاة لـ 𝑥. إذن، نصف القطر الخارجي يساوي واحدًا زائد cos 𝑥. وبالمثل، يكون نصف القطر الداخلي، 𝑅I، هو المسافة من مركز الدوران إلى الخط المستقيم 𝑦 يساوي صفرًا، وهذه المسافة تساوي واحدًا زائد sin 𝑥. وهذا يعني أن نصف القطر الداخلي، 𝑅I، يساوي واحدًا زائد sin 𝑥. ومن ثم، فإن مساحة قرص المقطع العرضي تساوي 𝜋 مضروبًا في واحد زائد cos 𝑥 تربيع ناقص واحد زائد sin 𝑥 تربيع.
بفك الأقواس الداخلية، نجد أن أعداد الواحد يلغي بعضها بعضًا. ثم لدينا 𝜋 مضروبًا في cos تربيع 𝑥 ناقص sin تربيع 𝑥 زائد اثنين cos 𝑥 ناقص اثنين sin 𝑥. ومع ما نتذكره من المتطابقات المثلثية؛ من أن cos تربيع لـ 𝑥 ناقص sin تربيع لـ 𝑥 يساوي cos اثنين 𝑥، نحصل على مساحة قرص المقطع الطولي، وهي تساوي، عندئذ، 𝜋 مضروبًا في cos اثنين 𝑥 زائد اثنين cos 𝑥 ناقص اثنين sin 𝑥.
بعد إفساح بعض المساحة، ولإيجاد حجم المجسم الذي لدينا، سنجري التكامل على مساحة هذه الأقراص بالنسبة إلى 𝑥، بين حدي 𝑥. وهذا حيث الحد السفلي هو 𝜋 على ستة والحد العلوي هو 𝜋 على أربعة. ومن ثم، نحسب مجموع مساحات عدد لا نهائي من أقراص المقاطع الطولية الكثيرة التي تحدها الدالتان cos 𝑥 وsin 𝑥، والتي تقع بين 𝜋 على ستة و𝜋 على أربعة. وباستخدام خاصية التجميع للتكامل، يمكننا تقسيم عملية التكامل إلى ثلاث عمليات. يمكننا أخذ العاملين الثابتين 𝜋 واثنين 𝜋 خارج التكامل. لدينا ثلاثة تكاملات محددة نعرف كيف نحسبها.
في التكامل الأول، سنستخدم حقيقة أنه إذا كان 𝑢 يساوي 𝑎𝑥، فإن تكامل الدالة 𝑓 لـ 𝑢 بالنسبة إلى 𝑥 يساوي واحدًا على 𝑎 في تكامل 𝑓 لـ 𝑢 بالنسبة إلى 𝑢. وفي هذه المسألة، 𝑓 لـ 𝑢 تساوي cos اثنين 𝑥؛ حيث 𝑎 يساوي اثنين. إذن، بالنسبة إلى الحد الأول، لدينا 𝜋 مضروبًا في واحد على اثنين في sin اثنين 𝑥 بين 𝜋 على أربعة و𝜋 على ستة. إننا نستخدم حقيقة أن التكامل المحدد لـ cos 𝑥 بين 𝑎 و𝑏 بالنسبة إلى 𝑥 هو sin 𝑥 بين 𝑎 و𝑏. إذن، التكامل الثاني لدينا يساوي اثنين 𝜋 مضروبًا في sin 𝑥 بين 𝜋 على أربعة و𝜋 على ستة. وفي النهاية، بالنسبة إلى الحد الثالث، نستخدم حقيقة أن تكامل sin 𝑥 يساوي سالب cos 𝑥. ومن ثم، فإن التكامل الثالث يساوي سالب اثنين 𝜋 مضروبًا في سالب cos 𝑥 بين 𝜋 على أربعة و𝜋 على ستة.
والآن، بما أن حدي التكامل يتكرران في كل الحدود، يمكننا جمع الكل معًا وأخذ العامل المشترك 𝜋 على اثنين خارج بعض الأقواس؛ بحيث إن الحجم يساوي 𝜋 على اثنين مضروبًا في sin اثنين 𝑥 زائد أربعة في sin 𝑥 زائد أربعة في cos 𝑥، بحساب المقدار كله بين 𝜋 على أربعة و𝜋 على ستة. وبعد إفساح بعض المساحة وإعادة الكتابة، يمكننا التعويض بالحدين وإجراء بعض عمليات التبسيط بحيث يكون الحد الأول في المجموعة الأولى من الأقواس sin 𝜋 على اثنين، والحد الأول في المجموعة الثانية من الأقواس sin 𝜋 على ثلاثة.
حان وقت إيجاد قيمة دالتي الجيب وجيب التمام، sin 𝜋 على اثنين يساوي واحدًا. وsin 𝜋 على أربعة يساوي جذر اثنين على اثنين، وكذلك قيمة cos 𝜋 على أربعة. sin 𝜋 على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وsin 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. وcos 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. والآن نلاحظ أن بعض أعداد الاثنين سيلغي بعضها بعضًا. فنحصل على 𝜋 على اثنين مضروبًا في واحد زائد أربعة في الجذر التربيعي لاثنين ناقص خمسة جذر ثلاثة على اثنين زائد اثنين. وبإفساح بعض المساحة مرة أخرى، نجد أن الحجم يساوي 𝜋 على اثنين في سالب واحد زائد أربعة في الجذر التربيعي لاثنين ناقص خمسة في جذر ثلاثة على اثنين.
وبحساب ما لدينا داخل الأقواس لأقرب خمس منازل عشرية، نحصل على 𝜋 على اثنين مضروبًا في ٠٫٣٢٦٧٣. وذلك يساوي ٠٫٥١ لأقرب منزلتين عشريتين. وبذلك نجد أن حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحصورة بالمنحنيين 𝑦 يساوي sin 𝑥، 𝑦 يساوي cos 𝑥، والخطين المستقيمين 𝑥 يساوي 𝜋 على ستة، 𝑥 يساوي 𝜋 على أربعة حول 𝑦 يساوي سالب واحد، يساوي ٠٫٥١ وحدة تكعيب لأقرب منزلتين عشريتين.
