فيديو السؤال: حساب التكامل الثلاثي المحدد

نسخة الفيديو النصية

احسب التكامل الثلاثي الآتي.

نستخدم التكامل الثلاثي لحساب التكامل على منطقة ثلاثية الأبعاد. قد يبدو ذلك معقدًا، لكن الخطوات مباشرة إلى حد ما. نبدأ بحساب تكامل ﻉ بالنسبة إلى ﻉ بين الحدين واحد وصفر. ثم بعدها نحسب تكامل ﺹ بالنسبة إلى ﺹ بين الحدين اثنين وصفر. وأخيرًا، نحسب تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين ثلاثة وصفر.

فلنبدأ بحساب تكامل ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. تكامل ﻉ بالنسبة إلى ﻉ هو ﻉ تربيع على اثنين. ومع عدم وجود حدود، نضيف ثابت التكامل هذا. تذكر أنه لحساب التكامل، نضيف واحدًا إلى الأس. ثم نقسم على قيمة هذا الأس الجديد. وبما أننا نحسب التكامل بين الحدين واحد وصفر، فسيكون علينا التعويض بهذه القيم في المقدار وإيجاد الفرق. إذن واحد تربيع على اثنين ناقص صفر تربيع على اثنين، يساوي نصفًا. ويتبقى أمامنا الآن تكامل ثنائي.

نحسب تكامل ﺹ بالنسبة إلى ﺹ بين الحدين اثنين وصفر. تكامل ﺹ بالنسبة إلى ﺹ هو ﺹ تربيع على اثنين. وبين الحدين، يكون اثنان تربيع على اثنين ناقص صفر تربيع على اثنين، وهذا يساوي اثنين. ومن ثم يتبقى أمامنا تكامل واحد بسيط. نحسب تكامل اثنين في نصف ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين الحدين ثلاثة وصفر. اثنان في نصف يساوي واحدًا. ومن ثم فإننا بكل بساطة نحسب تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﺱ تربيع على اثنين. إذن علينا حساب ذلك بين الحدين ثلاثة وصفر. أي ثلاثة تربيع على اثنين ناقص صفر تربيع على اثنين، ويساوي ذلك ٤٫٥. وبهذا نكون قد حسبنا قيمة التكامل الثلاثي. وهي ٤٫٥.

والآن، من المهم أن نلاحظ أنه على الرغم من اختيارنا ترتيبًا معينًا، إذ حسبنا تكامل ﻉ بالنسبة إلى ﻉ، ثم ﺹ بالنسبة إلى ﺹ، ثم ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فقد كان بإمكاننا اختيار أي ترتيب طالما كنا متأكدين من أننا نحسب كل تكامل بين الحدود المعطاة.