فيديو السؤال: حساب مساحة قطاع دائري

نسخة الفيديو النصية

نصف قطر دائرة يساوي ٢٨ سنتيمترًا، وطول قوس أحد القطاعات يساوي ٣٧ سنتيمترًا. أوجد مساحة القطاع الدائري.

لدينا في المعطيات معلومتان أساسيتان: أولاهما نصف قطر الدائرة، ثم طول قوس القطاع المقطوع من هذه الدائرة. هيا نرسم ذلك أولًا. لا نعرف قياس الزاوية عند مركز الدائرة التي تشكل هذا القطاع. لذا دعونا نطلق عليها 𝜃.

لكن السؤال يطلب منا إيجاد مساحة القطاع. دعونا نتذكر الصيغة المناسبة لإيجاد ذلك. إنها 𝜃، الزاوية عند مركز الدائرة، مقسومة على ٣٦٠ في ‏𝜋‏نق تربيع. ‏‏𝜋‏نق تربيع تعطينا مساحة الدائرة بالكامل. ثم بالضرب في 𝜃 على ٣٦٠ نحصل على مساحة ذلك الجزء من الدائرة الذي لدينا في هذا القطاع.

نحن نعلم قيمة نق. إنها ٢٨ سنتيمترًا. لكن لكي نجد هذه المساحة، علينا أن نعرف قيمة 𝜃. هيا نفكر في المعلومة الأخرى التي لدينا، طول قوس القطاع. نحسب طول القوس عن طريق إيجاد محيط الدائرة بالكامل، اثنان ‏𝜋‏نق، ثم نضرب في 𝜃 على ٣٦٠؛ لأن طول القوس لا يمثل إلا جزءًا من المحيط.

هيا نعوض بالقيم التي لدينا في هذه المعادلة. طول القوس يساوي ٣٧ سنتيمترًا، ونصف القطر يساوي ٢٨ سنتيمترًا. إذن لدينا المعادلة: 𝜃 على ٣٦٠ في اثنين في ‏𝜋‏ في ٢٨ يساوي ٣٧. يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃. لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هنا هو أن نحسب مساحة القطاع. ليس علينا أن نعرف قيمة 𝜃 تحديدًا.

إذا قارنا هذه المعادلة بصيغة مساحة القطاع، سنرى أنهما تشتملان على الكثير من الحدود المشتركة. فكلتاهما يتضمن 𝜃 على ٣٦٠، و‏𝜋‏. إذن ما سنفعله ليس إيجاد قيمة 𝜃، لكن 𝜃 على ٣٦٠ في ‏𝜋‏، ثم التعويض بهذه القيمة في صيغة مساحة القطاع.

إذن، نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين و٢٨. والآن لدينا 𝜃 على ٣٦٠ في ‏𝜋‏ يساوي ٣٧ على اثنين في ٢٨. سنترك ذلك على حاله الآن. والآن يمكننا التعويض في صيغة حساب مساحة القطاع. تذكر أن الصيغة هي 𝜃 على ٣٦٠ في ‏𝜋‏ في نق تربيع. إذن، الجزء الأول 𝜃 على ٣٦٠ في ‏𝜋‏ يساوي ٣٧ على اثنين في ٢٨ كما وجدنا. ثم نضربه في نق تربيع، وهو ما يساوي ٢٨ تربيع.

الآن يوجد عامل مشترك ٢٨ في مقام هذا الكسر، و٢٨ تربيع في البسط. إذن ٢٨ في المقام تلغي تربيع الـ ٢٨ في البسط. إذن لدينا الآن ٣٧ على اثنين مضروبًا في ٢٨. كما يمكننا أيضًا إلغاء العامل المشترك اثنين من المقام والبسط. إذن، بسطنا العملية الحسابية بالكامل إلى ٣٧ في ١٤.

بالطبع يمكنك الآن حساب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. لكن بما أننا لم نكن بحاجة إلى استخدام آلة حاسبة في أي جزء آخر من السؤال حتى الآن، لنفترض أنه ليس لدينا واحدة. إذن نحتاج إلى طريقة أخرى لحساب ٣٧ في ١٤. يمكننا بالطبع إجراء عملية ضرب مطولة.

كما يمكننا تقسيم ١٤ إلى ١٠ واثنين واثنين، ثم حساب حاصل ضرب ٣٧ في كل عدد منها، ثم جمع النواتج. نحصل بهذا على ٥١٨. إذن، توصلنا إلى أن مساحة هذا القطاع بوحدة قياسها هي ٥١٨ سنتيمترًا مربعًا.