شارح الدرس: التكامل بالتجزيء

مثال ١: إيجاد تكامل حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود ودالة مثلثية

استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة .

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

وبما أننا نُوجِد تكامل ، إذن علينا تحديد العامل الذي سنُعرِّفه على صورة ، والعامل الذي سنُعرِّفه على صورة .

لاحِظ أنه إذا اخترنا ، فعند اشتقاق هذه الدالة، نحصل على . بما أن هذا ثابت، إذن سيجعل قيمة الدالة التي سيجري عليها التكامل في الحد الأخير لتلك الصيغة أقل تعقيدًا من الدالة الأصلية.

نضع:

بعد ذلك، نُوجِد عن طريق اشتقاق ، ونُوجِد عن طريق إيجاد تكامل :

ملاحظة:

من حيث المبدأ، يجب أن نحصل على ثابت تكامل في كل مرة نُوجِد فيها تكاملًا. لكننا في النهاية سنجمِّع هذا الثابت مع ثابت ثانٍ؛ ومن ثَمَّ، وبوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

وبذلك، تصبح صيغة التكامل بالتجزيء:

باستخدام التكامل بالتجزيء، نجد أن:

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة أسية مضروبة في دالة كثيرة الحدود باستخدام التكامل بالتجزيء

أوجد .

الحل

الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالتين. هذه إشارة إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل.

يخبرنا التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

نبدأ باختيار الدالتين ، . تخبرنا طريقة ترتيب الدوال بأن علينا اختيار لتكون الدالة التي تظهر أولًا في القائمة: الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية العكسية، والدوال الجبرية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية.

والدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود (دالة جبرية) ودالة أسية. بما أن الدالة الجبرية تسبق الدالة الأسية في الترتيب، إذن نختار أن تكون الدالة الجبرية هي .

وبذلك، نكون قد وضعنا:

بعد ذلك، نُوجِد عن طريق اشتقاق ، ونُوجِد عن طريق تكامل . توضِّح القاعدة العامة للقوة كيفية إيجاد مشتقة دالة قابلة للاشتقاق لها أس ثابت :

اشتقاق يعطينا:

لنحصل على ، علينا إيجاد قيمة تكامل :

من ثَمَّ:

تذكَّر أنه على الرغم من أننا يجب أن نحصل على ثابت التكامل في كل مرة نُجري فيها التكامل، فإننا نجمِّعه في النهاية مع ثابت آخر؛ ومن ثَمَّ، فإننا، بوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

باستخدام التكامل بالتجزيء، يكون لدينا

لاحِظ أن لدينا الآن دالة ثانية سيجرى عليها التكامل، وهي حاصل ضرب الدالتين. قد نخشى أن نختار الدالة الخاطئة . لكننا نلاحِظ أن مشتقة الدالة هي ثابت؛ وهو ما يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل الجديد باستخدام التكامل بالتجزيء. سنأخذ العامل الثابت ٦ خارج التكامل، ونطبِّق الصيغة مرةً أخرى لإيجاد قيمة:

نضع: بحيث:

وبالتعويض بهذه القيم في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على:

يمكننا التعويض بهذا المقدار في معادلة التكامل الأصلي:

ولتبسيط هذا الناتج، نُخرِج العامل خارج التكامل:

بتطبيق التكامل بالتجزيء، نحصل على:

مثال ٣: إيجاد التكامل غير المحدَّد لحاصل ضرب دالة أسية ودالة مثلثية

بافتراض أن، ، احسب باستخدام التكامل بالتجزيء.

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ، يكون:

مطلوب منا أن نضع ، . بعبارةٍ أخرى:

علينا إيجاد قيمة عن طريق اشتقاق ، وإيجاد عن طريق تكامل :

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أن:

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة مباشرةً؛ لذا، نطبِّق التكامل بالتجزيء مرةً أخرى.

نضع: بحيث:

من ثَمَّ:

لاحِظ أن التكامل الثاني الذي نحصل عليه يساوي التكامل الأصلي؛ ومن ثَمَّ، لا يتعيَّن علينا مواصلة التكامل. بدلًا من ذلك، بالتعويض بهذا المقدار في التكامل بالتجزيء السابق، يصبح لدينا:

يمكننا الآن إضافة إلى طرفَي هذه المعادلة وتضمين ثابت التكامل:

وأخيرًا، بالقسمة على ٢، نحصل على:

مثال ٤: استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل محدَّد

أوجد قيمة .

الحل

الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب الدالتين، ، فيكون. هذه إشارة إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل.

تذكَّر أنه في حالة الدالتين ، القابلتين للاشتقاق؛ حيث ، متصلتان على ، يكون:

لتطبيق التكامل بالتجزيء، علينا أولًا تحديد أيُّ عامل هو ، وأيُّ عامل هو . نحن نلاحِظ أن كلتا الدالتين، ، ، قابلتان للاشتقاق ولهما مشتقات متصلة.

ويمكن أن تساعد طريقة ترتيب الدوال في الاختيار. لقد اخترنا لتكون الدالة التي تظهر أولًا في هذه القائمة: الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية العكسية، والدوال الجبرية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية.

بما أن هي دالة جبرية، إذن نُعرِّفها لتكون .

نضع:

نلاحِظ بعد ذلك أن:

لاحِظ أن مشتقة لن تقدِّم تكاملًا بسيطًا؛ ومع ذلك، يمكننا تطبيق صيغة التكامل بالتجزيء مرةً أخرى.

بالتعويض بهذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على:

لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المحدَّد الجديد مباشرةً؛ لذا، بدلًا من ذلك، نطبِّق التكامل بالتعويض مرةً أخرى. نضع ، على التكامل الثاني:

من ثَمَّ:

وبما أن هذا تكامل محدَّد، إذن لا نحتاج إلى تضمين ثابت التكامل في أيِّ مرحلة:

وأخيرًا، نُوجِد قيمة المشتقة العكسية عند حدَّي التكامل:

من ثَمَّ:

مثال ٥: تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي

أوجد تكامل بالتجزيء باستخدام ، .

الحل

مطلوب منا استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل.

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق، ، يكون:

لدينا المُعطى:

لتطبيق صيغة التكامل بالتجزيء، نشتق ونجري التكامل لـ :

بمجرد أن يكون لدينا كل مقدار من هذه المقادير، يمكننا التعويض به في الصيغة لإيجاد:

يمكننا التبسيط بتحليل :

مثال ٦: تكامل الدالة المثلثية العكسية

احسب

الحل

على الرغم من أنه لا تتضح الآن كيفية إيجاد قيمة هذا التكامل، فإننا نَعرِف بعض المعلومات عن مشتقة :

إذا أعدنا كتابة الدالة التي سيجرى لها التكامل على الصورة ، فيمكننا إذن استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل.

نتذكَّر أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق ، ؛ حيث، متصلتان على ، يكون:

لاختيار الدالة يمكننا استخدام حقيقة أننا نَعرِف مشتقة . ونحن نَعرِف أيضًا أن عبارة عن دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية، في حين أن مشتقتها متصلة على المجموعة نفسها. من ثَمَّ، يمكننا تطبيق الصيغة المُعطاة.

نضع:

وبناءً على ذلك:

وبالتعويض بكل مقدار في صيغة التكامل بالتجزيء، يكون لدينا:

قد نلاحِظ الآن أن بسط الدالة التي سيجرى لها التكامل هو حاصل ضرب عدد ثابت في مشتقة المقام.

يمكننا إذن استخدام صيغة خاصة للتكامل بالتعويض، وهي تنص على أنه بالنسبة إلى كل دالة قابلة للاشتقاق ، يكون:

وبوضع ، ، نلاحِظ أن البسط يساوي نصف قيمة ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة التكامل على الصورة:

في الواقع، لا نحتاج إلى هذا الثابت؛ لأننا سنحسب قيمة تكامل محدَّد:

من ثَمَّ: