شارح الدرس: التكامل بالتجزيء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل حاصل ضرب دوال.

تخبرنا النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن الاشتقاق والتكامل كلٌّ منهما عملية عكسية للأخرى.

هذا يعني أن أيَّ قاعدة للاشتقاق يمكن أن تُطبَّق في صورة قاعدة تكامل بالعكس. على سبيل المثال، انظر قاعدة الضرب لاشتقاق 𞸑=𞸏𞸒؛ حيث𞸏، 𞸒 دالتان قابلتان للاشتقاق:𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎+𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎.

إعادة ترتيب هذه المعادلة تعطينا:𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸎𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸒)𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد تكامل طرفَي هذه المعادلة بالنسبة إلى 𞸎:󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=󰏅󰃁𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸒)𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎󰃀𞸃𞸎󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=󰏅𞸃𞸃𞸎(𞸏𞸒)𞸃𞸎󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

من ثَمَّ، في الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، يمكن تبسيط الحد الأول في الطرف الأيسر إلى 𞸏𞸒+𞸖، وعلى أيِّ حال، فإن ثابت التكامل سينضم إلى الثابت الناتج من التكامل غير المحدَّد الآخر. هذا يعطينا صيغة التكامل بالتجزيء:󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

نظرية: التكامل بالتجزيء

لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

تَستبدل هذه الصيغة تكاملًا بتكامل آخر. والهدف من ذلك هو التأكُّد من أن إيجاد قيمة التكامل الجديد أسهل؛ لذا، علينا اختيار الدالتين 𞸏، 𞸃𞸒𞸃𞸎 بعناية. بمجرد اختيار هاتين الدالتين، سيكون علينا اشتقاق 𞸏 وإيجاد تكامل 𞸃𞸒𞸃𞸎 لتكوين الدالتين 𞸃𞸏𞸃𞸎، 𞸒 على الترتيب.

نرى الآن مثالًا يوضِّح كيفية استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل 𞸎𞸎.

مثال ١: إيجاد تكامل حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود ودالة مثلثية

استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة 󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎.

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

وبما أننا نُوجِد تكامل 𞸎𞸎، إذن علينا تحديد العامل الذي سنُعرِّفه على صورة 𞸏، والعامل الذي سنُعرِّفه على صورة 𞸃𞸒𞸃𞸎.

لاحِظ أنه إذا اخترنا 𞸏=𞸎، فعند اشتقاق هذه الدالة، نحصل على 𞸃𞸏𞸃𞸎=١. بما أن هذا ثابت، إذن سيجعل قيمة الدالة التي سيجري عليها التكامل في الحد الأخير لتلك الصيغة أقل تعقيدًا من الدالة الأصلية.

نضع:𞸏=𞸎𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸎.،

بعد ذلك، نُوجِد 𞸃𞸏𞸃𞸎 عن طريق اشتقاق 𞸏، ونُوجِد 𞸒 عن طريق إيجاد تكامل 𞸃𞸒𞸃𞸎:𞸃𞸏𞸃𞸎=١𞸒=𞸎.،

ملاحظة:

من حيث المبدأ، يجب أن نحصل على ثابت تكامل في كل مرة نُوجِد فيها تكاملًا. لكننا في النهاية سنجمِّع هذا الثابت مع ثابت ثانٍ؛ ومن ثَمَّ، وبوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

وبذلك، تصبح صيغة التكامل بالتجزيء: 󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=𞸎×(𞸎)󰏅(𞸎)×١𞸃𞸎=𞸎𞸎󰏅𞸎𞸃𞸎=𞸎𞸎(𞸎)+𞸖=𞸎𞸎𞸎+𞸖.

باستخدام التكامل بالتجزيء، نجد أن: 󰏅𞸎𞸎𞸃𞸎=𞸎𞸎𞸎+𞸖.

في المثال الأول، رأينا أنه من خلال اختيار 𞸏 بعناية، أوجدنا تكاملًا ثانيًا أسهل بكثير في إيجاد قيمته. لو اخترنا بدلًا من ذلك 𞸏=𞸎، لحصلنا على تكامل ثانٍ أكثر تعقيدًا. في هذه الحالة، كانت مشتقة 𞸏 حدًّا ثابتًا. ولكن، إذا لم يتضح أيُّ دالة سنختار لـ 𞸏، فيمكن أن تساعدنا طريقة ترتيب الدوال في اتخاذ القرار. أيًّا كانت الدالة التي تأتي أولًا في القائمة، فهي الدالة التي علينا أن نختارها لتكون 𞸏. والجدير بالملاحظة أنه على الرغم من أنها خطوة مفيدة، فإن هناك استثناءات لطريقة ترتيب الدوال.

كيف نطبِّق طريقة ترتيب الدوال

في التكامل بالتجزيء، تخبرنا طريقة ترتيب الدوال أن علينا اختيار 𞸏 لتكون الدالة التي تظهر أولًا في هذه القائمة.

الدوال اللوغاريتمية(𞸎)، 𞸤(𞸎) وغيرها.
الدوال المثلثية العكسية١(𞸎)، ١(𞸎) وغيرها.
الدوال الجبرية𞸎٣، ٥𞸎 وغيرها.
الدوال المثلثية(𞸎)، (𞸎) وغيرها.
الدوال الأسية٢𞸎، 𞸤𞸎 وغيرها.

في المثال التالي، نتناول كيفية استخدام هذه الطريقة لحساب تكامل حاصل ضرب دالة أسية ودالة كثيرة الحدود.

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة أسية مضروبة في دالة كثيرة الحدود باستخدام التكامل بالتجزيء

أوجد 󰏅(٣𞸎+٤)𞸤𞸃𞸎٢𞸎.

الحل

الدالة التي سيجرى عليها التكامل (٣𞸎+٤)𞸤٢𞸎 هي حاصل ضرب دالتين. هذه إشارة إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل.

يخبرنا التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

نبدأ باختيار الدالتين 𞸏، 𞸃𞸒𞸃𞸎. تخبرنا طريقة ترتيب الدوال بأن علينا اختيار 𞸏 لتكون الدالة التي تظهر أولًا في القائمة: الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية العكسية، والدوال الجبرية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية.

والدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود (دالة جبرية) ودالة أسية. بما أن الدالة الجبرية تسبق الدالة الأسية في الترتيب، إذن نختار أن تكون الدالة الجبرية هي 𞸏.

وبذلك، نكون قد وضعنا: 𞸏=(٣𞸎+٤)𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸤.٢𞸎،

بعد ذلك، نُوجِد 𞸃𞸏𞸃𞸎 عن طريق اشتقاق 𞸏، ونُوجِد 𞸒 عن طريق تكامل 𞸃𞸒𞸃𞸎. توضِّح القاعدة العامة للقوة كيفية إيجاد مشتقة دالة قابلة للاشتقاق لها أس ثابت 𞸍:𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎))=𞸍(󰎨(𞸎))󰎨(𞸎).𞸍𞸍١

اشتقاق (٣𞸎+٤)٢ يعطينا:𞸃𞸏𞸃𞸎=٢(٣𞸎+٤)×٣=٦(٣𞸎+٤).١

لنحصل على 𞸒، علينا إيجاد قيمة تكامل 𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸤𞸎:󰏅𞸤𞸃𞸎=𞸤+𞸖.𞸎𞸎

من ثَمَّ:𞸃𞸏𞸃𞸎=٦(٣𞸎+٤)𞸒=𞸤.،𞸎

تذكَّر أنه على الرغم من أننا يجب أن نحصل على ثابت التكامل في كل مرة نُجري فيها التكامل، فإننا نجمِّعه في النهاية مع ثابت آخر؛ ومن ثَمَّ، فإننا، بوجه عام، نختار عدم تضمين ثابت في هذه المرحلة.

باستخدام التكامل بالتجزيء، يكون لدينا 󰏅(٣𞸎+٤)𞸤𞸃𞸎=(٣𞸎+٤)×𞸤󰏅𞸤×٦(٣𞸎+٤)𞸃𞸎=𞸤(٣𞸎+٤)󰏅٦𞸤(٣𞸎+٤)𞸃𞸎.٢𞸎٢𞸎𞸎𞸎٢𞸎

لاحِظ أن لدينا الآن دالة ثانية سيجرى عليها التكامل، وهي حاصل ضرب الدالتين. قد نخشى أن نختار الدالة الخاطئة 𞸏. لكننا نلاحِظ أن مشتقة الدالة ٣𞸎+٤ هي ثابت؛ وهو ما يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل الجديد باستخدام التكامل بالتجزيء. سنأخذ العامل الثابت ٦ خارج التكامل، ونطبِّق الصيغة مرةً أخرى لإيجاد قيمة:٦󰏅𞸤(٣𞸎+٤)𞸃𞸎.𞸎

نضع:𞸏=٣𞸎+٤𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸤،𞸎 بحيث:𞸃𞸏𞸃𞸎=٣𞸒=𞸤.،𞸎

وبالتعويض بهذه القيم في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على: 󰏅𞸤(٣𞸎+٤)𞸃𞸎=(٣𞸎+٤)×𞸤󰏅𞸤×٣𞸃𞸎=𞸤(٣𞸎+٤)󰏅٣𞸤𞸃𞸎=𞸤(٣𞸎+٤)٣𞸤+𞸖.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎١

يمكننا التعويض بهذا المقدار في معادلة التكامل الأصلي:󰏅(٣𞸎+٤)𞸤𞸃𞸎=𞸤(٣𞸎+٤)󰏅٦𞸤(٣𞸎+٤)𞸃𞸎=𞸤(٣𞸎+٤)٦󰁖𞸤(٣𞸎+٤)٣𞸤+𞸖󰁕=𞸤(٣𞸎+٤)٦𞸤(٣𞸎+٤)+٨١𞸤+𞸖.٢𞸎𞸎٢𞸎𞸎٢𞸎𞸎١𞸎٢𞸎𞸎

ولتبسيط هذا الناتج، نُخرِج العامل 𞸤𞸎 خارج التكامل:󰏅(٣𞸎+٤)𞸤𞸃𞸎=𞸤󰁓(٣𞸎+٤)٦(٣𞸎+٤)+٨١󰁒+𞸖=𞸤󰁓٩𞸎+٦𞸎+٠١󰁒+𞸖.٢𞸎𞸎٢𞸎٢

بتطبيق التكامل بالتجزيء، نحصل على: 󰏅(٣𞸎+٤)𞸤𞸃𞸎=𞸤󰁓٩𞸎+٦𞸎+٠١󰁒+𞸖.٢𞸎𞸎٢

في المثال السابق، رأينا أنه من الضروري أحيانًا تطبيق التكامل بالتجزيء عدة مرات. في كل مرة نطبِّق فيها التكامل بالتجزيء، تقل قوة الدالة الجبرية وتصبح ثابتة في النهاية؛ ومن ثَمَّ، تُكوِّن تكاملًا نهائيًّا بسيطًا. في المثال التالي، نَعرِف كيف أن لطريقة ترتيب الدوال استثناءات، وكيف قد نحتاج إلى إعادة ترتيب الناتج لإيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد.

مثال ٣: إيجاد التكامل غير المحدَّد لحاصل ضرب دالة أسية ودالة مثلثية

بافتراض أن𞸏=𞸤𞸎، 𞸃𞸒=𞸎𞸃𞸎، احسب 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎𞸎 باستخدام التكامل بالتجزيء.

الحل

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

مطلوب منا أن نضع 𞸏=𞸤𞸎، 𞸃𞸒=𞸎𞸃𞸎. بعبارةٍ أخرى: 𞸏=𞸤𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸎.𞸎،

علينا إيجاد قيمة 𞸃𞸏𞸃𞸎 عن طريق اشتقاق 𞸏، وإيجاد 𞸒 عن طريق تكامل 𞸃𞸒𞸃𞸎:𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸤𞸒=𞸎.𞸎،

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أن: 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎=𞸤×𞸎󰏅𞸎×𞸤𞸃𞸎=𞸤𞸎󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

لكن لا يمكننا إيجاد قيمة 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎𞸎 مباشرةً؛ لذا، نطبِّق التكامل بالتجزيء مرةً أخرى.

نضع: 𞸏=𞸤𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸎.𞸎، بحيث:𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸤𞸒=𞸎.𞸎،

من ثَمَّ:󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎=𞸤×(𞸎)󰏅(𞸎)×𞸤𞸃𞸎=𞸤𞸎+󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

لاحِظ أن التكامل الثاني الذي نحصل عليه يساوي التكامل الأصلي؛ ومن ثَمَّ، لا يتعيَّن علينا مواصلة التكامل. بدلًا من ذلك، بالتعويض بهذا المقدار في التكامل بالتجزيء السابق، يصبح لدينا: 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎=𞸤𞸎󰃄𞸤𞸎+󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎󰃃=𞸤𞸎+𞸤𞸎󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎.𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎𞸎

يمكننا الآن إضافة 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎𞸎 إلى طرفَي هذه المعادلة وتضمين ثابت التكامل:٢󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎=𞸤𞸎+𞸤𞸎+𞸖.𞸎𞸎𞸎١

وأخيرًا، بالقسمة على ٢، نحصل على: 󰏅𞸤𞸎𞸃𞸎=١٢󰁓𞸤𞸎+𞸤𞸎󰁒+𞸖.𞸎𞸎𞸎

في هذا المثال، رأينا أننا لا نحتاج دائمًا إلى تطبيق طريقة ترتيب الدوال، ويمكننا أن نعكس الترتيب الذي اخترنا به 𞸏، 𞸃𞸒𞸃𞸎. لكن نادرًا ما تكون هذه هي الحالة، لكنها توضِّح أنه من الممكن اختيار الدوال بطريقة مختلفة.

بعد ذلك، نتذكَّر أن التكامل بالتجزيء يتيح لنا إيجاد المشتقة العكسية لدالةٍ ما، في حين ينص الجزء الثاني من النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل على أنه يمكننا إيجاد قيمة التكاملات المحدَّدة باستخدام أيِّ مشتقة عكسية. من ثَمَّ، يمكننا استخدام صيغة التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل المحدَّد.

نظرية: التكامل بالتجزيء للتكامل المحدَّد

لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒؛ حيث𞸏، 𞸒 متصلتان على [𞸀،𞸁] يكون:󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=[𞸏𞸒]󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.𞸁𞸀𞸁𞸀𞸁𞸀

في المثال التالي، نرى كيف نُوجِد قيمة مثل هذا التكامل.

مثال ٤: استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل محدَّد

أوجد قيمة 󰏅𞸎𞸤𞸃𞸎١٠٢𞸎.

الحل

الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب الدالتين، 𞸎٢، فيكون𞸤𞸎. هذه إشارة إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة التكامل.

تذكَّر أنه في حالة الدالتين 𞸏، 𞸒 القابلتين للاشتقاق؛ حيث 𞸏، 𞸒 متصلتان على [𞸀،𞸁]، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=[𞸏𞸒]󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.𞸁𞸀𞸁𞸀𞸁𞸀

لتطبيق التكامل بالتجزيء، علينا أولًا تحديد أيُّ عامل هو 𞸏، وأيُّ عامل هو 𞸃𞸒𞸃𞸎. نحن نلاحِظ أن كلتا الدالتين، 𞸎٢، 𞸤𞸎، قابلتان للاشتقاق ولهما مشتقات متصلة.

ويمكن أن تساعد طريقة ترتيب الدوال في الاختيار. لقد اخترنا 𞸏 لتكون الدالة التي تظهر أولًا في هذه القائمة: الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية العكسية، والدوال الجبرية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية.

بما أن 𞸎٢ هي دالة جبرية، إذن نُعرِّفها لتكون 𞸏.

نضع:𞸏=𞸎𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸤.٢𞸎،

نلاحِظ بعد ذلك أن: 𞸃𞸏𞸃𞸎=٢𞸎𞸒=𞸤.،𞸎

لاحِظ أن مشتقة 𞸏 لن تقدِّم تكاملًا بسيطًا؛ ومع ذلك، يمكننا تطبيق صيغة التكامل بالتجزيء مرةً أخرى.

بالتعويض بهذه المقادير في صيغة التكامل بالتجزيء، نحصل على: 󰏅𞸎𞸤𞸃𞸎=𞸎𞸤󰍸󰏅٢𞸎𞸤𞸃𞸎.١٠٢𞸎٢𞸎١٠١٠𞸎

لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل المحدَّد الجديد مباشرةً؛ لذا، بدلًا من ذلك، نطبِّق التكامل بالتعويض مرةً أخرى. نضع 𞸏=٢𞸎، 𞸃𞸒𞸃𞸎=𞸤𞸎 على التكامل الثاني:𞸃𞸏𞸃𞸎=٢𞸒=𞸤.،𞸎

من ثَمَّ: 󰏅٢𞸎𞸤𞸃𞸎=٢𞸎𞸤󰍸󰏅٢𞸤𞸃𞸎=󰁖٢𞸎𞸤٢𞸤󰁕.١٠𞸎𞸎١٠١٠𞸎𞸎𞸎١٠

وبما أن هذا تكامل محدَّد، إذن لا نحتاج إلى تضمين ثابت التكامل في أيِّ مرحلة:󰏅𞸎𞸤𞸃𞸎=󰁖𞸎𞸤󰁓٢𞸎𞸤٢𞸤󰁒󰁕=󰁖𞸎𞸤٢𞸎𞸤+٢𞸤󰁕.١٠٢𝑥٢𞸎𞸎𞸎١٠٢𞸎𞸎𞸎١٠

وأخيرًا، نُوجِد قيمة المشتقة العكسية عند حدَّي التكامل:󰏅𞸎𞸤𞸃𞸎=󰁖١×𞸤٢×١×𞸤+٢𞸤󰁕󰁖٠×𞸤٢×٠×𞸤+٢𞸤󰁕=(𞸤٢𞸤+٢𞸤)(٢)=𞸤٢.١٠٢𞸎٢١١١٢٠٠٠

من ثَمَّ: 󰏅𞸎𞸤𞸃𞸎=𞸤٢.١٠٢𞸎

لاحِظ أنه من الشائع أن نحتاج إلى استخدام التكامل أكثر من مرة لإيجاد قيمة التكامل. نتناول الآن تكاملًا شائعًا لإيجاد قيمة التكامل باستخدام التكامل بالتجزيء.

مثال ٥: تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي

أوجد تكامل 󰏅𞸎𞸃𞸎𞸤 بالتجزيء باستخدام 𞸏=𞸎𞸤، 𞸃𞸒=𞸃𞸎.

الحل

مطلوب منا استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل.

تخبرنا صيغة التكامل بالتجزيء أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق𞸏، 𞸒، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.

لدينا المُعطى: 𞸏=𞸎𞸃𞸒=𞸃𞸎،𞸃𞸒𞸃𞸎=١.،أو𞸤

لتطبيق صيغة التكامل بالتجزيء، نشتق 𞸏 ونجري التكامل لـ 𞸃𞸒𞸃𞸎:𞸃𞸏𞸃𞸎=١𞸎𞸒=𞸎.،

بمجرد أن يكون لدينا كل مقدار من هذه المقادير، يمكننا التعويض به في الصيغة لإيجاد: 󰏅𞸎𞸃𞸎=𞸎×𞸎󰏅𞸎×١𞸎𞸃𞸎=𞸎𞸎󰏅١𞸃𞸎=𞸎𞸎𞸎+𞸖.𞸤𞸤𞸤𞸤

يمكننا التبسيط بتحليل 𞸎:󰏅𞸎𞸃𞸎=𞸎󰁓𞸎١󰁒+𞸖.𞸤𞸤

يوضِّح هذا المثال السابق أنه يمكننا استخدام صيغة التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة تكامل دالة اللوغاريتم الطبيعي، وكتابتها على صورة حاصل ضرب 𞸤𞸎 و١. لقد اخترنا 𞸏=𞸎𞸤؛ لأننا إذا كنا سنختار 𞸏=١ فإننا لا نزال نحتاج إلى إجراء التكامل لـ 𞸤𞸎 في التكامل الثاني.

في المثال الأخير، نتناول كيف يمكن أن تساعدنا صيغة التكامل بالتجزيء في إيجاد تكامل دالة مثلثية عكسية.

مثال ٦: تكامل الدالة المثلثية العكسية

احسب 󰏅(𞸎)𞸃𞸎.١٠١

الحل

على الرغم من أنه لا تتضح الآن كيفية إيجاد قيمة هذا التكامل، فإننا نَعرِف بعض المعلومات عن مشتقة ١(𞸎):𞸃𞸃𞸎󰁓(𞸎)󰁒=١١+𞸎.١٢

إذا أعدنا كتابة الدالة التي سيجرى لها التكامل على الصورة ١×(𞸎)١، فيمكننا إذن استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة هذا التكامل.

نتذكَّر أنه لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒؛ حيث𞸏، 𞸒 متصلتان على [𞸀،𞸁]، يكون:󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=[𞸏𞸒]󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.𞸁𞸀𞸁𞸀𞸁𞸀

لاختيار الدالة 𞸏 يمكننا استخدام حقيقة أننا نَعرِف مشتقة ١(𞸎). ونحن نَعرِف أيضًا أن ١(𞸎) عبارة عن دالة متصلة وقابلة للاشتقاق على مجموعة الأعداد الحقيقية، في حين أن مشتقتها متصلة على المجموعة نفسها. من ثَمَّ، يمكننا تطبيق الصيغة المُعطاة.

نضع:𞸏=(𞸎)𞸃𞸒𞸃𞸎=١.،١

وبناءً على ذلك:𞸃𞸏𞸃𞸎=١١+𞸎𞸒=𞸎.٢،

وبالتعويض بكل مقدار في صيغة التكامل بالتجزيء، يكون لدينا: 󰏅(𞸎)𞸃𞸎=𞸎(𞸎)󰍸󰏅𞸎١+𞸎𞸃𞸎.١٠١١١٠١٠٢

قد نلاحِظ الآن أن بسط الدالة التي سيجرى لها التكامل هو حاصل ضرب عدد ثابت في مشتقة المقام.

يمكننا إذن استخدام صيغة خاصة للتكامل بالتعويض، وهي تنص على أنه بالنسبة إلى كل دالة قابلة للاشتقاق 󰎨، يكون: 󰏅󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)𞸃𞸎=|󰎨(𞸎)|+𞸖.𞸤

وبوضع 󰎨(𞸎)=١+𞸎٢، 󰎨(𞸎)=٢𞸎، نلاحِظ أن البسط يساوي نصف قيمة 󰎨(𞸎)؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة التكامل على الصورة: ١٢󰏅٢𞸎١+𞸎𞸃𞸎=١٢󰍸١+𞸎󰍸+𞸖.٢𞸤٢

في الواقع، لا نحتاج إلى هذا الثابت؛ لأننا سنحسب قيمة تكامل محدَّد:󰏅(𞸎)𞸃𞸎=𞸎(𞸎)󰍸󰏅𞸎١+𞸎𞸃𞸎=󰂗𞸎(𞸎)١٢󰍸١+𞸎󰍸󰂖=󰂔١×(١)١٢󰍸١+١󰍸󰂓󰂔٠×(٠)١٢󰍸١+٠󰍸󰂓=𝜋٤١٢(٢).١٠١١١٠١٠٢١𞸤٢١٠١𞸤٢١𞸤٢𞸤

من ثَمَّ:󰏅(𞸎)𞸃𞸎=𝜋٤(٢)٢.١٠١𞸤

والآن، بعد أن شرحنا كيف نستخدم صيغة التكامل بالتجزيء لإيجاد قيمة عدد من الأنواع المختلفة من التكاملات، هيا نلخِّص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا إيجاد قيمة تكاملات حواصل ضرب الدوال باستخدام صيغة التكامل بالتجزيء: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=𞸏𞸒󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎، حيث 𞸏، 𞸒 دالتان قابلتان للاشتقاق.
  • عند التكامل بالتجزيء، نحاول اختيار 𞸏 لتكون الدالة التي تُكوِّن، عند اشتقاقها، تكاملًا ثانيًا يكون إيجاد قيمته أسهل.
  • يمكن أن تساعدنا طريقة ترتيب الدوال، في تحديد الدالة التي سنختارها لـ 𞸏 عن طريق اختيار الدالة التي تظهر أولًا في هذه القائمة.
    الدوال اللوغاريتمية(𞸎)،𞸤(𞸎) وغيرها.
    الدوال المثلثية العكسية١(𞸎)، ١(𞸎) وغيرها.
    الدوال الجبرية𞸎٣، ٥𞸎 وغيرها.
    الدوال المثلثية(𞸎)، (𞸎) وغيرها.
    الدوال الأسية٢𞸎، 𞸤𞸎 وغيرها.
  • يمكننا استخدام الصيغة لحساب تكامل الدوال الخاصة؛ مثل 𞸤𞸎، ١(𞸎)، من خلال كتابة كل دالة منهما على الصورة ١×𞸎𞸤 أو ١×(𞸎)١.
  • لكل دالتين قابلتين للاشتقاق 𞸏، 𞸒؛ حيث 𞸏، 𞸒، 𞸏، 𞸒 متصلة على [𞸀،𞸁]، يكون: 󰏅𞸏𞸃𞸒𞸃𞸎𞸃𞸎=[𞸏𞸒]󰏅𞸒𞸃𞸏𞸃𞸎𞸃𞸎.𞸁𞸀𞸁𞸀𞸁𞸀

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.