Vidéo de la leçon : Taux de variations liés Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les dérivées pour déterminer la relation entre les taux de variation de deux ou plusieurs quantités dans des problèmes sur les taux de variation liés.

Dans les problèmes de taux de variation liés, l’idée est de calculer le taux de variation d’une quantité en fonction du taux de variation d’une autre quantité, qui est parfois plus facile à mesurer. Cela fonctionne car si deux quantités liées évoluent au cours du temps, alors leurs taux de variation et, bien sûr, leurs dérivées, sont également liées.

Considérons par exemple un ballon sphérique rempli d’air. Le rayon 𝑟 et le volume 𝑣 du ballon augmentent tous les deux au cours du temps. Et comme le volume d’une sphère est proportionnel au cube de son rayon, le taux de variation du volume et le taux de variation du rayon sont également liés. Notez également que le signe de la dérivée indique si la quantité augmente ou diminue au cours du temps, elle augmente si la dérivée est positive et diminue sinon. On peut résoudre ces problèmes à l’aide de la dérivation implicite, qui fait appel à la règle de dérivation en chaîne, assurez-vous donc d’en avoir une bonne compréhension avant de regarder cette vidéo.

Dans un problème de taux de variation liés, le mieux est en général d’attaquer directement le problème et de voir ce qui se passe.

Le rayon d’un cercle augmente de trois millimètres par seconde. Trouvez le taux de variation de l’aire du cercle si le rayon du cercle mesure 15 millimètres.

Rappelons que lorsqu’on parle du taux de variation d’une quantité, on parle de sa dérivée par rapport au temps. Donc ici, soit 𝐴 l’aire du cercle, le taux de variation de l’aire est d𝐴 sur d𝑡, c’est-à-dire la dérivée de l’aire par rapport au temps. Le problème est que la formule de l’aire du cercle que nous connaissons est donnée en fonction de son rayon. Cette aire est égale à 𝜋 fois le rayon au carré. Cela signifie qu’on sait dériver 𝐴 par rapport à 𝑟, mais qu’on ne sait pas dériver 𝐴 par rapport à 𝑡.

Heureusement, on peut utiliser la dérivation implicite, qui est une variante de la règle de dérivation en chaîne. Elle indique que, 𝐴 étant fonction de 𝑟, la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑡 est égale à d𝐴 sur d𝑟 fois d𝑟 sur d𝑡. Donc, ce dont on a besoin, c’est de trouver les expressions ou valeurs de d𝐴 sur d𝑟 et d𝑟 sur d𝑡. Bien sûr, on a déjà trouvé que 𝐴 est égal à 𝜋𝑟 au carré, donc d𝐴 sur d𝑟 est assez simple à calculer. 𝜋 est bien sûr une constante. On peut donc se servir de la règle de dérivation d’une puissance pour trouver d𝐴 sur d𝑟. C’est à dire deux 𝜋𝑟.

Mais qu’en est-il de d𝑟 sur d𝑡 ? Eh bien, on sait que le rayon du cercle augmente de trois millimètres par seconde. Cela signifie que d𝑟 sur d𝑡, le taux de variation du rayon, est égal à plus trois, positif car croissant. Et donc d𝐴 sur d𝑡 est le produit de ces deux expressions. C’est deux 𝜋𝑟 fois trois, ce qui vaut six 𝜋𝑟. Le taux de variation de l’aire du cercle par rapport au temps est maintenant exprimé en fonction de son rayon.

La dernière étape consiste à remplacer 𝑟 par 15 dans cette expression. Ce qui donne le taux de variation instantané de l’aire lorsque le rayon prend cette valeur. Donc d𝐴 sur d𝑡, en 𝑟 égale 15, est égal à six fois 𝜋 fois 15, ce qui est égal à 90𝜋. Puisqu’il s’agit du taux de variation de l’aire, en millimètres carrés, par rapport au temps, le taux de variation est de 90𝜋 millimètres carrés par seconde.

Nous avons donc vu comment utiliser la formule de l’aire d’un cercle pour trouver le taux de variation, connaissant le taux de variation du rayon. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment relier le volume et l’aire d’un ballon sphérique.

Un ballon sphérique a une fuite d’hélium de 48 centimètres cubes par seconde. Quel est le taux de variation de sa surface si son rayon mesure 41 centimètres ?

Le but de cette question est de trouver le taux de variation d’une quantité. Et on sait que le taux de variation est lié à sa dérivée par rapport au temps. Alors, ici, on cherche le taux de variation de l’aire. Donc, soit 𝐴 l’aire, son taux de variation est d𝐴 sur d𝑡.

Un petit problème se pose toutefois. L’aire d’une sphère de rayon 𝑟 vaut quatre 𝜋𝑟 au carré. Et donc pour trouver une expression du taux de variation de 𝐴, d𝐴 sur d𝑡, nous allons utiliser la dérivation implicite. À savoir, la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑡 est égale à la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑟 fois d𝑟 sur d𝑡. On peut alors calculer d𝐴 sur d𝑟 grâce à la règle de dérivation d’une puissance. Puisque 𝜋 est une constante, d𝐴 sur d𝑟 est égale à deux fois quatre 𝜋𝑟, soit huit 𝜋𝑟. Et donc d𝐴 sur d𝑡 est le produit de huit 𝜋𝑟 par d𝑟 sur d𝑡.

En général, on aurait cherché une valeur ou expression du taux de variation du rayon par rapport au temps. C’est-à-dire d𝑟 sur d𝑡. Mais dans cette question, on nous donne le débit de la fuite d’hélium dans le ballon. Elle est donnée en centimètres cubes par seconde. Il s’agit donc en fait du taux de variation de son volume. Plus précisément, soit 𝑣 le volume de la sphère, on nous donne d𝑣 sur d𝑡. Comme le ballon a une fuite d’hélium, donc sa dérivée, le taux de variation de 𝑣 par rapport au temps, est négative. Elle vaut moins 48. Ce qui pour le moment n’aide pas spécialement à trouver d𝑟 sur d𝑡, mais on peut procéder de la même façon, par dérivation implicite, mais cette fois pour d𝑣 sur d𝑡.

On sait que d𝑣 sur d𝑡 peut se calculer en trouvant le produit de d𝑣 sur d𝑟 par d𝑟 sur d𝑡. On connaît la valeur de d𝑣 sur d𝑡. C’est moins 48. Donc, si on trouve l’expression ou la valeur de d𝑣 sur d𝑟, on peut en déduire la formule et la valeur de d𝑟 sur d𝑡. Or, on sait que le volume d’une sphère de rayon 𝑟 mesure quatre tiers de 𝜋𝑟 cube. Et donc sa dérivée par rapport à 𝑟, d𝑣 sur d𝑟, est trois fois quatre tiers de 𝜋𝑟 au carré, ce qui vaut quatre 𝜋𝑟 au carré. On peut alors remplacer d𝑣 sur d𝑡 par moins 48. Maintenant, on voit qu’on peut trouver la formule de d𝑟 sur d𝑡 en divisant chaque côté de l’équation par quatre 𝜋𝑟 au carré. C’est moins 48 sur quatre 𝜋𝑟 au carré, ce qui donne moins 12 sur 𝜋𝑟 au carré.

On voit maintenant qu’on peut remplacer d𝑟 sur d𝑡 dans la formule précédente donnant d𝐴 sur d𝑡. On obtient alors d𝐴 sur d𝑡 égale huit 𝜋𝑟 fois moins 12 sur 𝜋𝑟 au carré. On peut simplifier par 𝜋 et par 𝑟, puisqu’on sait que 𝑟 est différent de zéro. On a donc exprimé d𝐴 sur d𝑡 en fonction de 𝑟. C’est moins 96 sur 𝑟. On trouve alors le taux de variation de l’aire pour 𝑟 égale 41 en remplaçant 𝑟 par 41. Ce qui nous donne moins 96 sur 41. L’unité du taux de variation est le centimètre carré par seconde.

Cette réponse a beaucoup de sens. Un taux de variation négatif indique que la surface diminue au cours du temps. Et nous savons que le ballon a une fuite d’hélium, il doit donc diminuer de taille. d𝐴 sur d𝑡 égale moins 96 sur 41 centimètres carrés par seconde.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment lier deux valeurs différentes du taux de variation à une troisième valeur du taux de variation. Ceci dans un contexte de recherche de l’aire d’un rectangle.

La longueur d’un rectangle augmente de 15 centimètres par seconde et sa largeur de 13 centimètres par seconde. Déterminez la vitesse d’augmentation de l’aire du rectangle si la longueur du rectangle est de 25 centimètres et sa largeur de 12 centimètres.

On nous donne beaucoup d’informations sur l’aire, la longueur et la largeur d’un rectangle. Commençons par noter 𝑙 la longueur du rectangle en centimètres et 𝑤 sa largeur. Et donc son aire 𝐴 est égale à 𝑙𝑤, sa longueur multipliée par sa largeur. Mais ce n’est pas tout à fait suffisant. Nous recherchons le taux de variation de l’aire, c’est-à-dire la dérivée de l’aire 𝐴 par rapport à 𝑡. Et bien sûr, les informations que nous avons sur l’aire du rectangle sont fonction de la longueur et de la largeur.

Heureusement, on peut combiner dérivation implicite et règle du produit pour exprimer d𝐴 sur d𝑡 en fonction de 𝑙, 𝑤 et de leurs dérivées respectives. Commençons par la formule du produit. 𝐴 est le produit de 𝑙 et 𝑤, qu’on suppose être deux fonctions dérivables. On peut faire cette hypothèse parce que l’énoncé nous donne le taux de variation de 𝑙 et de 𝑤. Ainsi, la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑡 d’après la formule du produit est 𝑙 fois d𝑤 sur d𝑡 plus 𝑤 fois d𝑙 sur d𝑡.

Ce qui est très utile car on sait que la longueur du rectangle augmente de 15 centimètres par seconde. Et donc la dérivée de 𝑙 par rapport à 𝑡 est positive car 𝑙 augmente, et elle est égale à 15. De même, on peut dire que la dérivée de 𝑤 par rapport à 𝑡, le taux de variation de sa largeur, est de 13. En injectant ces valeurs dans l’expression précédente de d𝐴 sur d𝑡, on obtient 13𝑙 plus 15𝑤. Or, c’est tout ce dont on a besoin, car on sait qu’à cet instant, la longueur du rectangle mesure 25 centimètres et sa largeur 12 centimètres.

Nous allons donc utiliser ces valeurs dans l’expression de d𝐴 sur d𝑡. Cela donne 13 fois 25 plus 15 fois 12, soit 505. C’est le taux de variation de son aire. Et l’aire est en centimètres carrés. On sait aussi que le temps est donné en secondes. On en conclut que la vitesse d’augmentation de l’aire du rectangle est de 505 centimètres carrés par seconde. Notez que même si on ne savait pas qu’elle augmentait, on pourrait le déduire du signe de la dérivée : elle est positive.

Dans les exemples précédents, nous avons examiné des applications géométriques de problèmes de taux de variation liés. Il est important de comprendre qu’on peut procéder de la même manière avec des équations de courbes. Regardons cela un peu plus en détail.

Une particule se déplace le long de la courbe d’équation six 𝑦 au carré plus deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus cinq 𝑦 moins 13 égale zéro. Si le taux de variation, par rapport au temps, de l’abscisse 𝑥 au point moins un, trois vaut deux, trouvez le taux de variation de l’ordonnée 𝑦 par rapport au temps au même point.

Commençons par analyser ce que nous devons rechercher. Il faut déterminer le taux de variation de l’ordonnée 𝑦. Rappelons que le taux de variation d’une quantité est sa dérivée par rapport au temps. Donc, ici, nous cherchons à trouver d𝑦 sur d𝑡. Or, on nous donne des informations sur le taux de variation de l’abscisse 𝑥 par rapport au temps. On nous donne d𝑥 sur d𝑡. En un point donné, le point moins un, trois, la valeur de d𝑥 sur d𝑡 est égale à deux. Et donc, commençons par dériver l’équation entière de la courbe. Pour ce faire, il va falloir utiliser la dérivation implicite.

Pour rappel, on dérive par rapport à 𝑡. Et la dérivée de zéro est, bien sûr, zéro. Nous pouvons alors examiner et dériver chaque terme. Bien sûr, utilisons pour ce faire la dérivation implicite. Commençons par six 𝑦 au carré. On peut dériver six 𝑦 au carré par rapport à 𝑦. Ça fait deux fois six 𝑦. Qui se simplifie à 12𝑦. On obtient donc que la dérivée de cette expression par rapport à 𝑡 est 12𝑦 fois d𝑦 sur d𝑡. Procédons de même pour deux 𝑥 au carré. Dérivons-le par rapport à 𝑥. Ça fait deux fois deux 𝑥, soit quatre 𝑥. Ensuite, multiplions cela par d𝑥 sur d𝑡.

Ensuite, dérivons moins deux 𝑥 par rapport à 𝑡. Pour ce faire, dérivons par rapport à 𝑥 puis multiplions par d𝑥 sur d𝑡. De même, la dérivée de cinq 𝑦 par rapport à 𝑡 est cinq d𝑦 sur d𝑡. Ensuite, la dérivée de la constante moins 13 est simplement égale à zéro. Nous allons maintenant factoriser par d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡 pour arranger un peu les choses. Voilà, nous constatons que d𝑦 sur d𝑡 fois 12𝑦 plus cinq plus d𝑥 sur d𝑡 fois quatre 𝑥 moins deux est égal à zéro.

Puisque nous recherchons la valeur de d𝑦 sur d𝑡 en un point donné, nous allons isoler d𝑦 sur d𝑡. D’abord, retranchons de chaque côté le terme contenant d𝑥 sur d𝑡 ; puis on divise par 12𝑦 plus cinq. Voici donc l’expression de d𝑦 sur d𝑡. Il ne reste plus qu’à effectuer quelques substitutions. Tout d’abord, nous savons que d𝑥 sur d𝑡 est égal à deux. Et nous recherchons le taux de variation de l’ordonnée 𝑦 par rapport au temps en ce même point, pour 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale trois.

Et donc nous injectons toutes ces valeurs dans l’expression de d𝑦 sur d𝑡. Nous obtenons moins deux fois quatre fois moins un moins deux sur 12 fois trois plus cinq. Ce qui nous donne une valeur de 12 sur 41. L’énoncé ne fournit aucune unité pour le taux de variation de l’abscisse 𝑥. Mais on peut supposer qu’il s’agit d’une variation par unité de temps. Ainsi, le taux de variation de l’ordonnée 𝑦 par rapport au temps en ce point est de 12 sur 41, soit 12 sur 41 par unité de temps.

Maintenant que nous avons traité un certain nombre d’exemples de problèmes de taux de variation liés, récapitulons les points clés de cette leçon.

Dans cette leçon, nous avons appris que si deux quantités liées évoluent au cours du temps, leurs taux de variation, c’est à dire leurs dérivées, sont également liées. Nous avons vu que la dérivation implicite, cette variante de la règle de dérivation en chaîne, est extrêmement importante pour les problèmes de taux de variation liés. Mais nous pouvons également utiliser d’autres règles de dérivation, comme celle du produit. Enfin, nous avons vu en quoi le signe de la dérivée indique si une quantité augmente ou diminue. Si la dérivée finale, le taux de variation, est positif, alors la quantité augmente. Et si elle est négative, la quantité diminue.