Vidéo de la leçon : Optimisation : applications sur des valeurs extrêmes Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous verrons l’une des applications pratiques de la dérivation aux problèmes d’optimisation. C’est-à-dire les problèmes dans lesquels on nous demande de déterminer la valeur maximale ou minimale d’une fonction donnée, telle que le temps, l’aire ou le périmètre. Nous pourrons répondre à des questions telles que : quelle est l’aire maximale que nous pouvons entourer avec une longueur de clôture donnée ou quel est le point le plus élevé atteint par une fusée suivant une courbe donnée. Dans certains exemples, nous verrons également comment exprimer nous-mêmes la fonction d’optimisation et toute contrainte à partir d’une description textuelle.

Nous rappelons tout d’abord quelques point clés sur l’utilisation de la dérivation pour trouver les points critiques d’une fonction. Les points critiques d’une fonction sont les points de son domaine de définition où sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro ou est indéfinie. Pour trouver la valeur de 𝑥 en un point critique, nous pouvons dériver la fonction pour trouver son gradient, ou sa pente, puis poser cela égal à zéro et résoudre l’équation résultante. Nous pouvons trouver la valeur de la fonction elle-même au point critique en substituant nos valeurs de 𝑥 dans la fonction.

Nous devons également nous rappeler de confirmer que notre point critique est bien un maximum ou un minimum en appliquant le test de la dérivée seconde. Nous rappelons qu’en un maximum local, la dérivée seconde 𝑓 seconde de 𝑥 sera négative, alors qu’en un minimum local la dérivée seconde 𝑓 seconde de 𝑥 sera positive. Nous allons maintenant voir comment appliquer ces principes clés à certains problèmes d’optimisation.

Une fusée est tirée verticalement. Sa hauteur, en mètres, en fonction du temps est donnée par ℎ de 𝑡 égale moins 4,9𝑡 au carré plus 229𝑡 plus 234. Trouvez la hauteur maximale atteinte par la fusée.

Donc on nous a donné une équation pour la hauteur ℎ de cette fusée en fonction du temps 𝑡. Et on nous demande de déterminer la hauteur maximale atteinte par la fusée. Nous pouvons suivre quelques étapes clés pour le faire. Premièrement, nous devons trouver une expression pour la dérivée première de notre fonction. Dans ce cas, c’est ℎ prime de 𝑡. En appliquant la règle de dérivation des puissances, nous voyons que ℎ prime de 𝑡 est égal à moins deux multiplié par 4,9𝑡 plus 229, ce qui se simplifie pour donner moins 9,8𝑡 plus 229.

Ensuite, nous rappelons qu’aux points critiques de la fonction, la dérivée première est égale à zéro. Donc nous allons prendre cette expression que nous avons trouvée pour ℎ prime de 𝑡, la poser égale à zéro, puis résoudre l’équation résultante pour 𝑡. Nous ajoutons 9,8𝑡 aux deux côtés, puis divisons par 9,8 pour donner 𝑡 égale 229 sur 9,8, ce qui, sous forme décimale, est égal à 23,36734, ou 23,37 au centième près. Alors cela est la valeur de 𝑡 en laquelle notre fonction ℎ de 𝑡 a un point critique. Nous ne savons pas encore si c’est un maximum. Et nous ne savons pas encore la hauteur que la fusée atteint à ce stade.

Notre prochaine étape consiste donc à évaluer la fonction ℎ de 𝑡 lorsque 𝑡 égale 23,37. La substitution dans notre équation ℎ de 𝑡 donne ℎ de 23,37 est égal à moins 4,9 multiplié par 23,37 au carré plus 229 multiplié par 23,37 plus 234. Ce qui est égal à 2909,56119, ou 2909,56 au centième près. Donc nous pensons que cela est la hauteur maximale que la fusée atteint car cela se produit au seul point critique de la fonction. Mais nous devons confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum.

Pour ce faire, nous allons effectuer le test de la dérivée seconde. Nous évaluerons la dérivée seconde ℎ seconde de 𝑡 en ce point critique. En dérivant notre expression pour ℎ prime de 𝑡, qui était moins 9,8𝑡 plus 229, nous constatons que ℎ seconde de 𝑡 est égal à moins 9,8. Et en fait, nous n’avons pas besoin d’évaluer la dérivée seconde lorsque 𝑡 est égal à 23,37 car celle-ci est constante. La dérivée seconde est la même pour toutes les valeurs de 𝑡.

Nous notons cependant que cette valeur est négative. Et par conséquent, selon le test de la dérivée seconde, notre point critique est un maximum. Nous aurions également pu constater cela si nous avions considéré que l’expression qui nous a été donnée pour ℎ en fonction de 𝑡 est un polynôme du second degré avec un coefficient de degré deux négatif. Et donc la courbe représentative de ℎ en fonction de 𝑡 serait une parabole inversée. Et nous savons qu’elle aura donc un point maximum plutôt qu’un minimum. Nous pouvons donc conclure que la hauteur maximale atteinte par la fusée, et nous avons confirmé qu’il s’agit bien d’un maximum, est de 2909,56 mètres, au centième près.

Il convient ici de souligner que dans cette question, chacune des dérivées a également des interprétations concrètes. La dérivée première de notre fonction, qui est moins 9,8𝑡 plus 229, donne la vitesse de la fusée, qui diminue avec le temps. La dérivée seconde, qui nous avons vu, est la constante moins 9,8, donne l’accélération de la fusée, ou en fait la décélération. Ce qui, nous le voyons, est égal à moins 9,8 mètres par seconde au carré. Et cela est la décélération due à la gravité.

Dans ce problème, la fonction que nous devions optimiser nous a été donnée. Mais de façon plus fréquente dans les problèmes d’optimisation, nous devrons exprimer nous-mêmes ces fonctions à partir d’une description textuelle. Voyons comment cela fonctionne dans notre prochain exemple.

Trouvez deux nombres dont la somme est 156 et dont la somme des carrés est la plus petite possible.

Notons ces deux nombres, que nous ne connaissons pas encore, 𝑥 et 𝑦. Ensuite, nous pouvons exprimer le fait que leur somme vaut 156 comme 𝑥 plus 𝑦 égale 156. Nous voulons minimiser la somme de leurs carrés, que nous pouvons noter 𝑠. La somme 𝑠 est égale à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Pour cela, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 et 𝑦 pour lesquelles le taux de variation de 𝑠 par rapport à 𝑥 ou 𝑦 est égal à zéro. Cela signifie que nous devons dériver 𝑠 par rapport à 𝑥 ou 𝑦.

Cependant, nous devons tout d’abord écrire 𝑠 en fonction d’une seule variable. Le choix est tout à fait arbitraire dans ce problème. Nous pourrions effectuer un simple réarrangement de notre première équation pour donner 𝑦 égale 156 moins 𝑥, puis substituer cette expression pour 𝑦 dans notre expression de 𝑠 pour avoir une équation en fonction de 𝑥 seulement. Développer la parenthèse puis simplifier donne 𝑠 égale deux 𝑥 au carré moins 312𝑥 plus 24336.

Rappelons que nous cherchons à minimiser cette somme de carrés, nous devons donc trouver les points critiques de 𝑠. Pour ce faire, nous devons trouver où la dérivée première de 𝑠 par rapport à 𝑥, c’est-à-dire d𝑠 sur d𝑥, est égale à zéro. Nous pouvons utiliser la règle de puissance pour déterminer cette dérivée. Et nous voyons que d𝑠 sur d𝑥 est égal à quatre 𝑥 moins 312. Nous posons ensuite cette dérivée égale à zéro et résolvons pour 𝑥. Nous ajoutons d’abord 312 de chaque côté, puis divisons par quatre, ce qui donne 𝑥 égale 78.

Ainsi, nous avons trouvé la valeur de 𝑥 en laquelle 𝑠 a un point critique. Mais il nous reste deux choses à faire. Dans un instant, nous confirmerons qu’il s’agit bien d’un minimum. Mais d’abord, nous devons également trouver la valeur de 𝑦, ce que nous pouvons faire en substituant la valeur de 𝑥 dans notre équation linéaire. Nous voyons que 𝑦 est égal à 156 moins 78, ce qui est égal à 78.

Confirmons maintenant que ce point critique est bien un minimum. Nous devons trouver la dérivée seconde de la fonction 𝑠 par rapport à 𝑥. La dérivation de d𝑠 sur d𝑥 donne alors d deux 𝑠 sur d𝑥 au carré égale quatre. La dérivée seconde de 𝑠 par rapport à 𝑥 est donc constante pour toutes les valeurs de 𝑥. Et plus important encore, elle est positive, ce qui confirme que ce point critique est bien un minimum. Les deux nombres dont la somme est 156 et dont la somme des carrés est minimale sont 78 et 78.

Dans cet exemple, nous avons vu comment exprimer nous-mêmes la fonction d’optimisation et les éventuelles contraintes à partir des informations données dans la question. Nous allons maintenant voir comment le faire à nouveau avec un exemple plus concret.

Un fil de 41 centimètres de long est utilisé pour faire un rectangle. Quelles dimensions donnent son aire maximale ?

Il est important ici de ne pas simplement essayer des solutions au hasard. Nous devons utiliser une méthode d’optimisation appropriée pour trouver les dimensions qui donneront la plus grande surface possible pour ce rectangle, avec la contrainte selon laquelle nous n’avons que 41 centimètres de fil.

Considérons donc un rectangle de longueur 𝑙 centimètres et de largeur 𝑤 centimètres. Nous devons maximiser son aire, qui pour un rectangle est sa longueur multipliée par sa largeur. Et cela avec la contrainte selon laquelle le périmètre de ce rectangle doit être égal à 41. Le périmètre d’un rectangle est le double de sa longueur plus le double de sa largeur. Donc nous avons la contrainte deux 𝑙 plus deux 𝑤 égale 41.

Maintenant, afin de maximiser cette aire, nous allons devoir utiliser la dérivation pour trouver les points critiques de cette fonction 𝐴. Mais avant de pouvoir le faire, nous devons écrire 𝐴 en fonction d’une seule variable. Le choix d’utiliser 𝑙 ou 𝑤 est tout à fait arbitraire. Nous avons ici choisi de réorganiser l’équation linéaire pour donner 𝑙 égale 41 moins deux 𝑤 sur deux. La substitution de cette expression pour 𝑙 dans notre formule d’aire donne 𝐴 égale 41 moins deux 𝑤 sur deux multiplié par 𝑤. Et en développant la parenthèse, nous avons 41𝑤 sur deux moins 𝑤 au carré.

Pour trouver les points critiques de 𝐴, on calcule d’abord sa dérivée première, d𝐴 sur d𝑤, qui, en utilisant la règle de dérivation des puissances, est égale à 41 sur deux moins deux 𝑤. Nous posons ensuite cette expression égale à zéro et résolvons l’équation résultante pour 𝑤. Nous ajoutons deux 𝑤 de chaque côté, puis divisons par deux, ce qui donne 𝑤 est égal à 41 sur quatre. Nous avons donc déterminé la largeur du rectangle pour laquelle l’aire a un point critique.

Nous devons également calculer la longueur, ce que nous faisons en remplaçant cette valeur de 𝑤 dans notre expression pour 𝑙, ce qui donne 41 moins deux fois 41 sur quatre sur deux. Ce qui se simplifie également pour donner 41 sur quatre. Cependant, nous n’avons pas encore terminé. Nous savons que ces valeurs de 𝑤 et 𝑙 donnent un point critique pour l’aire. Mais nous n’avons pas encore confirmé qu’il s’agissait bien d’un maximum. Pour vérifier cela, nous devons effectuer le test de la dérivée seconde. Nous calculons d deux 𝐴 sur d𝑤 au carré, ce qui est égal à moins deux.

Cela est une constante pour toutes les valeurs de 𝑤. Mais plus précisément, il s’agit d’une constante négative. Et comme la dérivée seconde est inférieure à zéro, cela confirme que notre point critique est bien un maximum. Nous avons donc trouvé que la longueur et la largeur qui donnent à ce rectangle son aire maximale, avec la contrainte de périmètre donnée, sous forme de nombres décimaux, sont toutes deux de 10,25 centimètres.

Nous remarquons maintenant que la longueur et la largeur de ce rectangle sont en fait égales, ce qui en fait un carré. Cela illustre un point général des problèmes d’optimisation où nous cherchons à maximiser une aire par rapport à une contrainte de longueur. L’aire maximale sera atteinte lorsque les dimensions sont aussi semblables que possible, c’est-à-dire lorsque le rapport entre les dimensions est aussi proche que possible d’un pour un.

Dans le cas d’un problème impliquant un rectangle, il s’avérera toujours que la forme sera en fait un carré. Mais bien sûr, nous devons toujours faire le calcul. Et cela afin de justifier notre résultat. Dans notre dernier exemple, nous verrons comment maximiser la somme des volumes de deux figures tridimensionnelles soumises à une contrainte d’aire.

Étant donné que la somme des aires d’une sphère et d’un cylindre circulaire droit est de 1000𝜋 centimètres carrés, et que leurs rayons sont égaux, trouvez le rayon de la sphère qui maximise la somme de leur volumes.

Dans cette question, on nous demande de maximiser la somme des volumes de deux solides en trois dimensions, avec une contrainte sur la somme de leurs aires. Commençons par écrire les formules pour les aires de la sphère et du cylindre circulaire droit. Et comme leurs rayons sont les mêmes, nous pouvons utiliser la même lettre 𝑟 pour les deux. Pour la sphère, tout d’abord, son aire est donnée par quatre 𝜋𝑟 au carré. Pour le cylindre, son aire est de deux 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟ℎ, où ℎ représente la hauteur du cylindre.

Comme la somme de ces aires est de 1000𝜋 centimètres carrés, nous pouvons exprimer une équation : quatre 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟 au carré plus deux 𝜋𝑟ℎ égale 1000𝜋. Nous pouvons ensuite combiner les termes semblables sur le côté gauche, puis diviser par 𝜋, car il s’agit d’un facteur commun à tous les termes. Nous pouvons également diviser par deux, car tous les coefficients sont pairs, pour donner trois 𝑟 au carré plus 𝑟ℎ égale 500. Nous ne pouvons pas aller plus loin avec cette équation à ce stade, car nous avons deux inconnues 𝑟 et ℎ. Nous rappelons ensuite les formules pour le volume d’une sphère et le volume d’un cylindre.

Le volume d’une sphère est quatre tiers multiplié par 𝜋 multiplié par son rayon au cube. Et le volume d’un cylindre est 𝜋 multiplié par son rayon au carré multiplié par sa hauteur. Donc nous avons que le volume total de ces deux solides est de quatre tiers 𝜋𝑟 au cube plus 𝜋𝑟 au carré ℎ. Nous voulons maximiser la somme de ces volumes, 𝑉 total. Maintenant, cela sera maximisé lorsque son taux de variation par rapport à 𝑟 ou ℎ est égal à zéro, ce qui se produit lorsque sa dérivée première est égale à zéro. Mais avant de pouvoir dériver, nous devons exprimer 𝑉 total en fonction d’une seule variable.

Il est beaucoup plus simple de réorganiser notre contrainte d’aire de surface pour donner une expression de ℎ en fonction de 𝑟 que pour donner une expression de 𝑟 en fonction de ℎ. Nous avons ℎ égale 500 moins trois 𝑟 au carré sur 𝑟. Nous pouvons alors substituer cette expression à ℎ dans notre expression pour le volume total de sorte qu’elle soit en termes de 𝑟 seulement. Nous pouvons annuler un facteur de 𝑟 au deuxième terme, puis développer la parenthèse pour donner quatre tiers 𝜋𝑟 au cube plus 500𝜋𝑟 moins trois 𝜋𝑟 au cube. Nous avons alors une expression pour 𝑉 total en fonction de 𝑟 seulement.

Ensuite, nous devons trouver la dérivée première d𝑉 total sur d𝑟, nous allons donc faire un peu de place pour cela. En appliquant la règle de dérivation des puissances, nous voyons que la dérivée de 𝑉 total par rapport à 𝑟 est égale à quatre tiers 𝜋 multiplié par trois 𝑟 carré plus 500𝜋 moins trois 𝜋 multiplié par trois 𝑟 carré, ce qui se simplifie pour donner 500𝜋 moins cinq 𝜋𝑟 au carré. Ensuite, pour trouver les points critiques, nous devons poser cette dérivée égale à zéro et résoudre pour 𝑟.

Nous pouvons diviser par cinq 𝜋, ce qui donne zéro égale 100 moins 𝑟 au carré. Ajouter 𝑟 au carré des deux côtés donne 𝑟 au carré égale 100. Et nous trouvons ensuite 𝑟 en calculant la racine carrée. Il suffit de calculer la racine carrée positive car le rayon d’un solide doit être une valeur positive. Donc nous voyons que 𝑟 est égal à 10. Nous savons maintenant que le volume combiné de ces deux solides a un point critique lorsque le rayon est égal à 10. Mais nous devons maintenant confirmer qu’il s’agit d’un maximum.

Nous effectuons le test de la dérivée seconde. La dérivation de notre expression pour d𝑉 total sur d𝑟 à nouveau, par rapport à 𝑟, donne moins 10𝜋𝑟. Et évaluer cela lorsque 𝑟 est égal à 10 donne moins 100𝜋. Cela est négatif, ce qui confirme que le point critique est bien un maximum. Ainsi, nous avons constaté que le rayon de la sphère et le rayon du cylindre circulaire droit qui maximise la somme de leurs volumes, avec la contrainte d’aire donnée, est de 10 centimètres.

Résumons enfin les points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Premièrement, les principes clés de la dérivation peuvent être appliqués aux problèmes d’optimisation. Ce sont des problèmes où nous voulons trouver la valeur maximale ou minimale d’une fonction. Nous savons que les points critiques d’une fonction se produisent lorsque sa dérivée première est égale à zéro ou est indéfinie. Une fois que nous avons trouvé un point critique, nous devons toujours confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum ou d’un minimum en effectuant le test de la dérivée seconde. Et nous avons vu qu’il est parfois nécessaire d’exprimer nous-mêmes à la fois la fonction d’optimisation et toute contrainte à partir d’une description textuelle.