Vidéo de la leçon : L’angle entre deux plans ou entre un plan et une droite Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver la mesure de l’angle formé par deux plans ou par un plan et une droite. Nos plans et droites seront dans un espace tridimensionnel. Et comme on peut le voir sur ce dessin, déterminer ces angles aura un lien avec les vecteurs.

Commençons par considérer l’angle entre deux plans. Si on dit que l’équation générale qui décrit le premier plan est 𝑎 un 𝑥 plus 𝑏 un 𝑦 plus 𝑐 un 𝑧 plus 𝑑 un est égal à zéro et que l’équation qui décrit le second plan est similaire sauf pour les valeurs de ces constantes 𝑎 deux, 𝑏 deux, 𝑐 deux et 𝑑 deux, on peut alors déterminer l’angle dans l’espace tridimensionnel entre ces deux plans. Si on appelle cet angle 𝛼, alors le cos de 𝛼, l’angle entre ces deux plans, est défini par cette expression. Maintenant, cela peut sembler assez compliqué, mais nous allons voir dans un instant qu’on peut écrire cela de manière beaucoup plus simple.

Pour l’instant, notez que ces deux valeurs, 𝑑 un et 𝑑 deux, n’apparaissent nulle part dans cette équation du cos de 𝛼. En d’autres termes, 𝛼 ne dépend pas de ces valeurs. Et maintenant, remarquez autre chose. On multiplie toutes les valeurs qui sont dans cette équation par une variable 𝑥, 𝑦 ou 𝑧 dans les équations de nos plans. De notre connaissance de l’équation d’un plan écrite sous sa forme générale, nous savons que ces quantités représentent les composantes d’un vecteur qui est normal à chaque plan. C’est-à-dire que si on trace un vecteur de direction orthogonale à celle du plan un et qu’on appelle cela 𝐧 un, alors ce vecteur pourrait avoir les composantes 𝑎 un, 𝑏 un et 𝑐 un.

Ceci est aussi valable pour le plan deux. Un vecteur normal à sa surface, nous l’avons appelé 𝐧 deux, peut avoir les composantes 𝑎 deux, 𝑏 deux et 𝑐 deux. Si on regarde notre équation du cosinus de l’angle entre ces deux plans, on voit qu’elle est entièrement écrite en fonction des composantes des vecteurs normaux à ces plans. En fait, si on examine le numérateur de cette expression, on voit que c’est égal à la valeur du produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux. Et puis dans le dénominateur, cette racine carrée et tout ce qui se trouve en dessous est égale à la norme du vecteur normal 𝐧 un, tandis que cette seconde racine carrée est égale à la norme de 𝐧 deux.

Par conséquent, on peut encore écrire le cos de 𝛼 comme la norme du produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux divisée par la norme de 𝐧 un fois la norme de 𝐧 deux. Cette seconde expression pour le cos de 𝛼 nous montre que, étant donné deux plans où on veut déterminer l’angle entre eux, si on peut déterminer les composantes d’un vecteur normal à chacun, alors on peut déterminer l’angle entre les plans. En remarque, l’angle entre les vecteurs normaux est égal à l’angle entre les plans.

Bien, ceci est pour deux plans. Mais que faire si on veut déterminer l’angle entre un plan et une droite ? Nous voyons que dans ce cas, il ne suffit pas d’avoir un vecteur normal pour chacun de ces deux objets. Car dans le cas d’une droite, un vecteur normal peut pointer dans de nombreuses directions différentes. On ne peut pas spécifier la direction d’une droite avec un seul vecteur normal. On peut définir l’axe d’une droite par un vecteur de même direction que celle-ci.

Supposons que cette droite est de même direction qu’un vecteur que nous allons appeler 𝐩 avec les composantes 𝑎 trois, 𝑏 trois, 𝑐 trois. Si on veut déterminer l’angle entre cette droite et le plan, nous allons appeler cet angle 𝛽, puis au lieu de déterminer le cosinus de cet angle comme nous l’avons fait avec deux plans, nous allons écrire une expression pour le sinus de celui-ci. Rappelons qu’il y a un déphasage de 90 degrés entre les fonctions sinus et cosinus. S’il existait un seul vecteur normal à une droite, alors ce serait également la différence angulaire entre ce vecteur normal et le vecteur directeur de la droite.

Dans tous les cas, voici l’expression du sinus de l’angle entre un plan et une droite. Nous notons que ça a l’air presque identique à notre équation pour l’angle entre deux plans. La seule vraie différence, comme nous l’avons vu, que nous calculons à présent le sinus plutôt que le cosinus d’un angle. Tout comme nous l’avons fait plus tôt, nous pouvons exprimer le côté droit de cette équation en utilisant des vecteurs. C’est égal à la norme du produit scalaire entre un vecteur normal à notre plan et un vecteur directeur de notre droite divisé par le produit des normes de chacun de ces vecteurs. Et notez que si nous voulons déterminer l’angle même, ce que nous avons appelé 𝛽, alors nous prendrions la réciproque ou l’arc sinus de cette expression.

Sachant tout cela sur comment déterminer l’angle entre les plans et les droites, nous allons nous appliquer cela avec un exemple.

Déterminez, à la seconde, la mesure de l’angle entre les plans moins neuf 𝑥 moins six 𝑦 plus cinq 𝑧 égale moins huit et deux 𝑥 plus deux 𝑦 plus sept 𝑧 égale moins huit.

Bien, on a donc ces équations qui décrivent deux plans, et on voit qu’elles sont presque mais pas tout à fait écrites sous forme générale. Rappelons que sous forme générale, l’équation d’un plan a un zéro sur un côté. Pour ces deux expressions cependant, si on ajoute plus huit des deux côtés, on obtiendra ces équations sous forme générale. Cela nous est utile car nous pouvons maintenant choisir plus facilement les composantes des vecteurs qui sont normales à chacun de ces plans.

Supposons que le plan représenté par cette première équation est le plan un. Et nous allons appeler le plan représenté par la seconde équation, le plan deux. Lorsque l’équation d’un plan est donnée sous forme générale, cela signifie que tous les facteurs qu’on utilise pour multiplier 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les composantes d’un vecteur qui est normal à ce plan. Autrement dit, si on appelle 𝐧 un, le vecteur normal au plan un, alors on sait qu’il existe un tel vecteur avec des composantes moins neuf, moins six, cinq. De même, pour le plan deux, où on peut définir un vecteur normal, 𝐧 deux, ce vecteur aura des composantes deux, deux, sept. Nous avons pu déterminer des vecteurs normaux à chacun de nos plans car, connaissant ces composants, nous pouvons presque déterminer la mesure de l’angle entre les plans.

Si on appelle l’angle entre deux plans en général 𝛼, alors le cos de 𝛼 est égal à la norme du produit scalaire des vecteurs normaux à chaque plan divisée par le produit des normes de chacun de ces vecteurs. Connaissant 𝐧 un et 𝐧 deux pour nos deux plans, nous pouvons utiliser cette relation pour déterminer 𝛼. Si nous nous focalisons d’abord sur calculer la norme du produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux, cela est égal à la norme du produit scalaire de ces deux vecteurs. Et lorsqu’on effectue ce produit scalaire en multipliant les composantes respectives, on obtient moins 18 moins 12 plus 35. Cela est égal à la norme de cinq ou simplement cinq.

Ensuite, on peut calculer le dénominateur de cette fraction, le produit des normes de nos deux vecteurs normaux. Cela est équivalent à la racine carrée de moins neuf au carré plus moins six au carré plus cinq au carré multipliée par la racine carrée de deux au carré plus deux au carré plus sept au carré. Cela est équivalent à la racine carrée de 81 plus 36 plus 25 fois la racine carrée de quatre plus quatre plus 49 ou la racine carrée de 142 fois la racine carrée de 57. Ce qui est égal à la racine carrée de 142 fois 57 ou 8094.

Maintenant que nous avons calculé le numérateur et le dénominateur, nous pouvons écrire que le cosinus de l’angle entre nos deux plans est égal à cinq divisé par la racine carrée de 8094. Cela signifie que l’angle 𝛼 est l’arc cosinus de cinq sur la racine carrée de 8094. Et si on effectue ce calcul sur une calculatrice et on arrondit le résultat à la seconde près, le résultat est de 86 degrés, 48 minutes et 51 secondes. Voici l’angle en degrés, minutes et secondes entre nos deux plans.

Voyons maintenant un deuxième exemple.

Déterminez, au degré près, la mesure de l’angle entre les plans deux fois la quantité 𝑥 moins un plus trois fois la quantité 𝑦 moins quatre plus quatre fois la quantité 𝑧 plus cinq égale zéro et 𝐫 fois un moins deux cinq égale 16.

Bien, on a donc ces équations pour deux plans, et on peut voir qu’elles sont données sous différentes formes. Cette première équation est presque sous forme générale, tandis que l’équation de notre second plan est sous forme vectorielle. Afin de résoudre l’angle entre ces deux plans, on identifie un vecteur qui est normal à chacun d’eux.

Rappelons que lorsqu’un plan est exprimé sous forme vectorielle, il est donné en tant que vecteur normal au plan multiplié par un vecteur à un point général du plan égal à ce vecteur normal multiplié par le vecteur à un point connu sur le plan. Soit dit en passant, dans cette équation, nous avons utilisé des demi-flèches sur les lettres pour représenter le symbole d’un vecteur, alors que dans notre énoncé du problème, une lettre écrite en gras, comme ce 𝐫, représente un vecteur. En avançant avec notre solution, nous continuerons d’utiliser cette notation de demi-flèche pour des raisons de cohérence.

Si nous devions faire correspondre cette seconde équation du plan qui nous est donnée avec la forme vectorielle de l’équation d’un plan, nous pourrions voir que ce vecteur un, moins deux, cinq correspond au vecteur normal 𝐧, 𝐫 correspond à 𝐫 dans l’équation, et 16 correspond au résultat de ce produit scalaire. Pour nos fins, l’important est que nous connaissions maintenant les composantes d’un vecteur qui est normal à ce plan. Nous l’appellerons le plan deux et le vecteur qui lui est normal sera 𝐧 deux. Comme nous l’avons vu, ce vecteur a les composantes un, moins deux, cinq.

Examinons maintenant la première équation du plan qui nous a été donnée. Et nous appellerons ce plan le plan un. Nous avons mentionné que ce plan nous est donné presque sous forme générale. Cette forme est donnée comme suit : 𝑎 fois 𝑥 plus 𝑏 fois 𝑦 plus 𝑐 fois 𝑧 plus 𝑑 est égal à zéro. Si nous devions prendre la forme donnée du plan un et la multiplier par ces facteurs deux, trois et quatre et si nous rassemblions ensuite toutes les valeurs ne multipliant pas une variable, notre plan serait alors exprimé sous forme générale. Cela nous aide car sous cette forme, les valeurs par lesquelles on multiplie 𝑥, 𝑦 et 𝑧 - 𝑎, 𝑏 et 𝑐 comme nous les avons écrites ici - sont égales aux composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 d’un vecteur normal à ce plan.

Si nous appelons ce vecteur normal au plan un, 𝐧 un, nous pouvons alors voir qu’il aura les composantes deux, trois et quatre. Maintenant que ces vecteurs sont normaux à chacun de nos deux plans, déterminons la mesure de l’angle entre les plans. Si on appelle cet angle 𝛼, alors on peut rappeler que le cos de 𝛼 est égal à la norme du produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux divisée par le produit de la norme de chacun de ces vecteurs. Si nous écrivons cette expression en utilisant les vecteurs 𝐧 un et 𝐧 deux que nous avons déterminés, cela ressemble à ceci. Notez que dans le numérateur, on considère la norme du produit scalaire comprise entre 𝐧 un et 𝐧 deux. Et dans le dénominateur, nous déterminons les normes de ces deux vecteurs en prenant la racine carrée de la somme des carrés de leurs composantes.

Au numérateur, on calcule ce produit scalaire et, au dénominateur, on élimine chacune des composantes de manière à obtenir la norme de deux moins six plus 20 divisée par la racine carrée de quatre plus neuf plus 16 fois la racine carrée de un plus quatre plus 25. Cela est égal à 16 divisé par la racine carrée de 29 fois la racine carrée de 30 ou 16 divisée par la racine carrée de 29 fois 30. Afin d’obtenir l’angle 𝛼, nous allons prendre l’arc cosinus de cette expression. Lorsqu’on effectue cela sur une calculatrice, au degré près, 𝛼 est égal à 57 degrés. Voici la mesure de l’angle entre nos deux plans.

Voyons maintenant un exemple où on calcule l’angle entre un plan et une droite.

Lequel des énoncés suivants est le plus petit angle entre la droite 𝐫 égale moins sept 𝐢 moins 𝐣 moins neuf 𝐤 plus 𝑡 fois deux 𝐢 plus 𝐣 moins 𝐤 et le plan 𝐫 fois neuf 𝐢 moins neuf 𝐣 plus deux 𝐤 est égal à 13 ? (A) Arc sinus de sept fois la racine carrée de 249 divisé par 498. (B) Arc cosinus de sept fois la racine carrée de 249 divisé par 498. (C) Arc sinus de sept fois la racine carrée de 43 sur 86. (D) Arc cosinus de sept fois la racine carrée de 43 sur 86.

Bien, dans cet exercice, on nous donne l’équation d’une droite et l’équation d’un plan. Supposons que voici notre droite et notre plan. Nous voulons déterminer le plus petit angle entre ces deux objets. On suppose que cette droite et ce plan se croisent dans un espace tridimensionnel. Et on constate que cette intersection forme deux angles, celui-ci ici et celui-ci. Notre problème nous dit de déterminer le plus petit de ces deux angles.

Pour ce faire, il nous faudra connaître un vecteur qui est normal ou de direction orthogonale à notre plan ainsi qu’un vecteur directeur de notre droite. Commençant par notre plan, appelons le vecteur normal à sa surface, 𝐧. Si on examine la forme sous laquelle l’équation de notre plan est donnée, on constate qu’elle nous est présentée sous forme vectorielle. Ainsi écrit, un vecteur à un point général du plan est multiplié par un vecteur normal au plan. À partir de là, nous pouvons lire les composantes de notre vecteur 𝐧, neuf, moins neuf, deux.

Maintenant, cherchons à déterminer un vecteur directeur de notre droite. Nous appellerons ce vecteur 𝐩. Si nous examinons la forme sous laquelle l’équation de notre droite est donnée, nous pouvons trouver un vecteur directeur de cette droite en recherchant le facteur d’échelle ; Dans ce cas, c’est 𝑡. Le vecteur par lequel on multiplie le facteur d’échelle est un vecteur directeur de notre droite. On peut alors dire que les composantes de 𝐩 sont deux, un et moins un. Maintenant que nous avons notre vecteur normal à notre plan et un vecteur directeur de notre droite, nous pouvons rappeler l’équation générale selon laquelle le sin de l’angle 𝛼 entre un plan et une droite est égal à la norme du produit scalaire d’un vecteur directeur de la droite et un normal au plan le tout divisé par le produit de la norme de chacun de ces vecteurs.

Pour déterminer 𝛼, nous pouvons continuer à calculer ce numérateur et ce dénominateur, puis les rassembler. La norme de 𝐩 fois 𝐧 en utilisant nos vecteurs 𝐩 et 𝐧 est égale à la norme de deux, un, moins un multiplié par neuf, moins neuf, deux. Cela est équivalent à la norme de 18 moins neuf moins deux ou sept. Connaissant ce résultat, calculons maintenant le dénominateur de notre fraction. Cela est égal à la racine carrée de la somme des carrés de deux, un et moins un fois la racine carrée de la somme des carrés de neuf, moins neuf et deux. Cela est égal à cette expression ou à la racine carrée de six fois la racine carrée de 166, ce qui est égal à la racine carrée de 996.

Nous pouvons maintenant dire que le sin de l’angle 𝛼 est égal à sept sur la racine carrée de 996. Et si on rationalise le dénominateur, on obtient sept fois la racine carrée de 996 sur 996. Et puis nous notons que 996 est égal à quatre fois 249. Ainsi écrit, nous pouvons sortir quatre de la racine carrée, où ça devient deux. Il se trouve cependant que 996 est divisible par deux. Donc, si on divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par deux, on obtient qu’elle est égale à sept fois la racine carrée de 249 divisé par 498. Donc, si le sin de 𝛼 est égal à cette expression, alors 𝛼 est égal à arc sinus de sept fois la racine carrée de 249 sur 498.

Maintenant, si on calcule cela avec une calculatrice, on obtient un résultat d’environ 13 degrés. Cela nous confirme que, en effet, nous avons déterminé le plus petit des deux angles d’intersection entre notre droite et le plan. Notre résultat correspond à l’option de réponse (A). Le plus petit angle entre cette droite et ce plan est arc sinus de sept fois la racine carrée de 249 divisé par 498.

Terminons maintenant notre leçon en résumant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu qu’étant donné l’équation de deux plans sous forme générale, le cosinus de l’angle entre ces plans est défini par cette expression. Nous avons aussi vu que si 𝐧 un et 𝐧 deux sont des vecteurs normaux à chacun de ces plans respectifs, alors le cosinus de l’angle entre les plans est égal à la norme du produit scalaire de 𝐧 un et 𝐧 deux divisé par le produit de leurs normes.

Et puis si au lieu de deux plans, on a un plan et une droite, le sinus de l’angle entre eux, que nous avons appelé 𝛽, est égal à cette expression ou en termes de vecteurs, la norme du produit scalaire d’un vecteur normal au plan avec un vecteur directeur de la droite divisé par le produit des normes de ces deux vecteurs.