Vidéo de la leçon : Forme polaire des nombres complexes Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons découvrir la forme polaire d’un nombre complexe. C’est une façon d’écrire un nombre complexe particulièrement adapté aux problèmes de multiplication. Cette nouvelle forme est mieux comprise à l’aide d’un diagramme d’Argand. Alors récapitulons.

Un diagramme d’Argand représente tous les nombres complexes sur un plan. Les nombres réels sont situés sur l’axe horizontal ou l’axe des 𝑥 et les nombres purement imaginaires se trouvent à la verticale ou l’axe des 𝑦. Quel point sur ce diagramme représente le nombre complexe quatre moins quatre 𝑖 ? Eh bien, nous prenons la partie réelle de quatre pour la coordonnée 𝑥 et la partie imaginaire moins quatre pour la coordonnée 𝑦. Donc, le point représentant quatre moins quatre 𝑖 est ici dans le quatrième quadrant du diagramme.

Nous avons également découvert deux propriétés des nombres complexes : le module d’un nombre complexe et l’argument d’un nombre complexe. Commençons par le module. Le module généralise le concept de valeur absolue d’un nombre des nombres réels aux nombres complexes. Et c’est écrit de la même manière avec deux barres verticales de chaque côté du nombre. En écrivant un nombre complexe en fonction de sa partie réelle 𝑎 et de sa partie imaginaire 𝑏, nous avons une formule pour son module. Il s’agit de la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Mais vraiment, cette formule est mieux comprise en utilisant le diagramme d’Argand.

Si nous dessinons un vecteur de l’origine au point représentant notre nombre complexe, alors le module de notre nombre complexe est la longueur ou la norme de ce vecteur et de la même manière que le module de notre nombre complexe donne la norme de ce vecteur. Son argument donne la direction du vecteur. L’argument d’un nombre complexe 𝑧 s’écrit arg 𝑧. Et la formule pour arg 𝑎 plus 𝑏𝑖 dépend du quadrant dans lequel il se trouve, mais dans chaque cas implique un arctan de 𝑏 sur 𝑎. Encore une fois, la meilleure façon de penser à l’argument est d’utiliser le diagramme d’Argand.

C’est l’angle du vecteur mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe réel positif. Nous commençons donc à l’axe réel positif et nous nous déplaçons dans le sens antihoraire jusqu’à ce que nous arrivions à notre vecteur. C’est donc l’angle. Il n’est pas trop difficile de voir que cet angle aigu mesure 45 degrés ou 𝜋 sur quatre radians. Et en considérant l’angle en un point, notre argument est de 350 degrés ou sept 𝜋 sur quatre radians.

Lorsque nous parlons de l’argument d’un nombre complexe, nous avons tendance à utiliser des radians. Et donc, nous pouvons écrire que l’argument de quatre moins quatre 𝑖 est sept 𝜋 sur quatre. Nous pourrions également soustraire deux 𝜋 pour obtenir l’argument principal moins 𝜋 sur quatre, que vous pouvez considérer comme une mesure de l’angle aigu orange avec un signe moins car cet angle doit être mesuré dans la direction opposée.

Ayant trouvé l’argument de notre nombre complexe, nous pourrions aussi bien trouver son module. Nous trouvons cela en utilisant la formule que nous avons. 𝑎 est quatre et 𝑏 est moins quatre. Et en simplifiant, nous obtenons la racine carrée de 32, qui dans sa forme la plus simple est quatre racine deux. Ranger et interpréter sur notre diagramme. Nous avons trouvé le module et l’argument de notre nombre complexe en utilisant ses parties réelles et imaginaires. Eh bien, en fait, nous avons eu de la chance avec cet argument parce que nous avons remarqué l’angle de 45 degrés. Mais vous pouvez vérifier que le calcul de l’arctan de la partie imaginaire moins quatre sur la partie réelle quatre aurait donné la même réponse.

Une question que nous pouvons poser est de savoir si nous pouvons aller dans l’autre sens. Étant donné le module et l’argument d’un nombre complexe 𝑧, pouvons-nous trouver qu’il s’agit de parties réelles et imaginaires et avons tendance à écrire notre 𝑧 ? Il semble que nous devrions pouvoir. Nous savons que l’argument de notre nombre complexe est moins 𝜋 sur quatre. Et donc, si nous sortons notre rapporteur, nous pouvons voir que notre nombre complexe doit se trouver quelque part sur ce rayon ou cette droite. Et puis, le module nous indique jusqu’où nous devons aller. Nous prenons notre règle et mesurons quatre racines deux unités depuis l’origine pour constater que notre nombre complexe doit se trouver ici.

L’idée que nous pouvons spécifier un point en donnant sa distance par rapport à l’origine et à la direction mesurée à partir de l’axe 𝑥 au lieu de ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 donne naissance à des coordonnées polaires que vous pourriez connaître. L’application de la même idée sur un diagramme d’Argand à des nombres complexes donne naissance à la forme polaire d’un nombre complexe. Voyons comment on peut écrire un nombre complexe 𝑧 en fonction de module et d’argument.

Étant donné que le module de 𝑧 est 𝑟 et l’argument de 𝑧 est 𝜃, déterminez 𝑧.

Nous dessinons un diagramme d’Argand pour nous aider. Et comme le module de 𝑧 est 𝑟, le point représentant 𝑧 sur le diagramme d’Argand doit être à une distance de 𝑟 de l’origine. Il se trouve donc sur le cercle avec le centre de l’origine et le rayon 𝑟. Et comme son argument est 𝜃, il doit aussi se situer quelque part sur cette droite violette. Voici donc 𝑧 à l’intersection. Mais avons-nous vraiment trouvé 𝑧, ce que nous devons faire, c’est l’écrire sous la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Et pour cela, il faut trouver la partie réelle 𝑎 et la partie imaginaire 𝑏. On peut lire la partie réelle 𝑎 ; c’est la coordonnée 𝑥 de notre point, et, de même, pour la partie imaginaire 𝑏. Comment écrivez-vous ces 𝑎 et 𝑏 en fonction de 𝑟 et 𝜃 ? Eh bien, si vous étiez dans un cercle unitaire, alors 𝑎 serait cos 𝜃 et 𝑏 serait sin 𝜃. Mais malheureusement, nous ne le sommes pas. Le rayon est 𝑟. Et donc, tout est mis à l’échelle par 𝑟, ce qui signifie que 𝑎 est 𝑟 cos 𝜃 et 𝑏 est 𝑟 sin 𝜃.

Nous pouvons voir cela d’une autre manière, en remarquant un triangle rectangle avec l’hypoténuse 𝑟, le rayon du cercle, la longueur du côté 𝑎 adjacent à l’angle 𝜃 et 𝑏 en face. Le sin 𝜃 est donc l’opposé 𝑏 sur l’hypoténuse 𝑟. Et donc, 𝑟 sin 𝜃 est égal à 𝑏. Et ce que nous devons faire, c’est échanger les côtés. De même, cos 𝜃 est la longueur du côté adjacent 𝑎 sur l’hypoténuse 𝑟. Et donc, notre cos 𝜃 est égal à 𝑎. Encore une fois, il suffit d’échanger les côtés pour trouver que 𝑎 est 𝑟 cos 𝜃.

Après avoir trouvé les parties réelles et imaginaires de 𝑧 en fonction de 𝑟 et 𝜃, nous pouvons écrire 𝑧 en fonction de 𝑟 et 𝜃 simplement en les substituant. 𝑧 est 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑟 sin 𝜃 𝑖. Et ce sera la réponse à notre question. Cela signifie que le nombre complexe 𝑧 dont le module est 𝑟 et dont l’argument est 𝜃 est représenté par le point 𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃 sur un diagramme d’Argand. Ces coordonnées devraient sembler familières si vous avez appris les coordonnées polaires. Si nous connaissons le module et l’argument d’un nombre complexe, nous pouvons l’utiliser comme formule pour trouver le nombre complexe.

Étant donné que le module de 𝑧 est quatre racine deux et l’argument de 𝑧 est moins 𝜋 sur quatre, déterminez 𝑧.

Eh bien, nous voyons que le module 𝑟 est quatre racine deux et l’argument 𝜃 est moins 𝜋 sur quatre. Nous les substituons dans notre formule. Et nous pouvons simplifier soit en utilisant une calculatrice, soit en utilisant des identités impaires et paires et des angles spéciaux. Cos est une fonction paire. Et donc, cos de moins 𝜋 sur quatre est cos de 𝜋 sur quatre. Et 𝜋 sur quatre est un angle spécial dont nous nous souvenons que le cosinus est racine deux sur deux. De même, en utilisant le fait que le sin est une fonction impaire, nous obtenons que le sin de moins 𝜋 sur quatre est racine moins deux sur deux. En substituant ces valeurs et en simplifiant, nous obtenons quatre moins quatre 𝑖. Mais parfois, nous ne voulons pas simplifier. Nous pouvons réécrire légèrement notre formule en supprimant le facteur commun de 𝑟, obtenant 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃.

Notez que nous avons également échangé l’ordre de 𝑖 et de sin 𝜃 ici. Et il s’avère qu’il est très utile d’écrire un nombre complexe sous cette forme. En appliquant ceci à notre exemple, où le module de 𝑧 est quatre racine deux et son argument est moins 𝜋 sur quatre, nous écrivons 𝑧 sous la forme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 fois sin 𝜃. En substituant simplement quatre racine deux pour 𝑟 et moins 𝜋 sur quatre pour 𝜃, nous obtenons que 𝑧 est quatre racine deux fois cos moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin moins 𝜋 sur quatre. Ce n’est pas seulement une étape de travail sur la façon d’écrire la valeur de 𝑧. C’est une façon valable d’exprimer la valeur de 𝑧 à part entière.

Voici donc une définition. Lorsqu’un nombre complexe 𝑧 est écrit sous la forme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, il est dit être sous « forme polaire ». Cela peut aussi être appelé « forme trigonométrique » car il implique des fonctions trigonométriques cosinus et sinus ou le « forme module-argument » car cette forme facilite la lecture du module et de l’argument. Avec 𝑧 comme dans la définition, son module est 𝑟 et son argument est 𝜃.

Cela nous laisse avec la question de savoir quel est l’appel de la forme originale 𝑎 plus 𝑏𝑖. C’est ce qu’on appelle « forme algébrique », « forme cartésienne » ou « forme rectangulaire ». Quatre moins quatre 𝑖 est sous cette forme. Et quatre racine deux fois cos moins 𝜋 sur quatre plus 𝑖 sin moins 𝜋 sur quatre est le même nombre complexe écrit sous forme polaire. Regardons maintenant un exemple, où certains nombres sont écrits correctement sous forme polaire et certains ne le sont pas.

Lequel des nombres complexes suivants est correctement exprimé sous forme polaire ?

Prenez maintenant un moment pour mettre la vidéo en pause et examinez attentivement chaque option avant de les parcourir ensemble. D’accord, tu es prêt ? Et c’est parti. On dit que notre nombre complexe est écrit sous forme polaire s’il est écrit sous la forme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 pour certaines valeurs de 𝑟 et 𝜃. Nous voulons toujours que la valeur de 𝑟 soit supérieure ou égale à zéro. C’est donc le module de notre nombre complexe. Et parfois, vous voulez que 𝜃 soit dans un intervalle de moins 𝜋 à 𝜋 incluant 𝜋 mais pas moins 𝜋 pour que ce soit l’argument principal du nombre complexe. Mais nous ne nous en inquiéterions pas pour le moment.

D’accord, commençons par l’option A ; est-ce écrit sous la forme requise ? La valeur de la racine deux en dehors des parenthèses semble correcte. Mais à l’intérieur des parenthèses, nous avons quelque chose de sin, plus 𝑖 cos quelque chose où nous voulons cos quelque chose en plus 𝑖 quelque chose sin. Ceci n’est pas correctement exprimé sous forme polaire.

Et l’option B ? Eh bien, nous voyons qu’en dehors des parenthèses, les valeurs de 𝑖 sont cinq, ce qui est positif. C’est une bonne nouvelle. Et à l’intérieur des parenthèses, nous avons cos de quelque chose plus 𝑖 sin de quelque chose qui est ce que nous voulons. Et surtout, dans les deux cas, les choses sont les mêmes ; moins cinq 𝜋 sur six est la valeur de 𝜃. Maintenant, cette valeur de 𝜃 est négative. Mais ça va. C’est permis. En fait, c’est même l’argument principal de notre nombre complexe. Et donc, B est correctement exprimé sous forme polaire.

Passant à C, nous voyons que la valeur de 𝑟 est 𝑒 au carré, encore une fois le nombre positif. Mais à l’intérieur des parenthèses, nous avons cos de quelque chose moins 𝑖 le sin de quelque chose. Et nous aurions besoin que ce sin moins soit un plus pour que ce nombre complexe soit correctement exprimé sous forme polaire.

Nous passons donc à D. La valeur de 𝑟 ici est de trois 𝜋 sur quatre. À l’intérieur des parenthèses, nous avons cos de quelque chose plus 𝑖 sin de quelque chose comme requis. Et encore une fois, ces choses sont les mêmes. La valeur de 𝜃 est racine 35. Maintenant, vous pourriez penser qu’il est étrange que ce nombre complexe ait un module de trois 𝜋 sur quatre et un argument de racine 35. Ils devraient sûrement être l’inverse, non ? Mais techniquement parlant, il n’y a rien de mal à cela. C’est sous forme polaire. Cependant, si vous écrivez un nombre complexe comme celui-ci où le module est un multiple de 𝜋 et l’argument est la racine carrée d’un nombre, alors vous devriez probablement vous assurer que vous n’avez pas accidentellement changé ces deux valeurs.

Enfin, l’option E, nous avons une valeur positive de 𝑟 en dehors des parenthèses et cos de quelque chose plus 𝑖 sin de quelque chose à l’intérieur des parenthèses. Mais ces choses ne sont pas les mêmes. Et nous avons 35𝜋 sur sept et 35𝜋 sur six. Ce devrait être la même valeur 𝜃 qui est l’argument du nombre complexe. Comme ils ne sont pas identiques, ce nombre n’est pas correctement exprimé sous forme polaire.

Notre réponse est donc que seuls B et D sont correctement exprimés sous forme polaire. En tant qu’extension, vous souhaiterez peut-être utiliser certaines identités que vous connaissez sur le sinus et le cosinus pour exprimer correctement les options A et C sous forme polaire. Malheureusement, il n’y a pas de moyen facile de le faire pour l’option E.

Voyons un exemple rapide de conversion d’une forme trigonométrique en forme rectangulaire avant d’essayer de convertir dans l’autre sens.

Trouvez cos 𝜋 sur six. Trouvez le sin 𝜋 sur six. Et par conséquent, exprimez le nombre complexe 10 cos 𝜋 sur six plus 𝑖 sin 𝜋 sur six sous forme rectangulaire.

Eh bien, 𝜋 sur six radians qui est de 30 degrés est un angle spécial. Et donc, nous nous souvenons que cos de 𝜋 sur six est racine trois sur deux et le sin de 𝜋 sur six est la moitié. Alternativement, votre calculatrice peut vous donner ces valeurs. Et maintenant que nous avons ces deux valeurs, nous pouvons les remplacer par notre nombre complexe sous forme trigonométrique, obtenant 10 fois la racine trois sur deux plus un demi 𝑖. Et en répartissant ce 10 sur les termes entre parenthèses, nous obtenons cinq racine trois plus cinq 𝑖 qui, selon les besoins, sont sous forme rectangulaire, également connue sous la forme algébrique ou forme cartésienne, la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖. Maintenant, convertissons un nombre complexe de forme algébrique en forme polaire.

Trouvez le module du nombre complexe un plus 𝑖. Trouvez l’argument du nombre complexe un plus 𝑖. Et donc, écrivez le nombre complexe un plus 𝑖 sous forme polaire.

Nous pouvons dessiner un diagramme d’Argand pour nous aider. Et nous pouvons dessiner le vecteur de l’origine zéro sur le diagramme d’Argand au nombre complexe un plus 𝑖. Le module de un plus 𝑖 n’est que la norme de ce vecteur. Et en considérant un triangle rectangle et en appliquant le théorème de Pythagore, nous constatons que c’est la racine carrée d’un carré plus un carré, qui est la racine carrée de deux. Bien sûr, la formule du module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 nous aurait donné la même réponse. C’est un module de un plus 𝑖. Et son argument ?

Eh bien, c’est une mesure de cet angle ici, que nous appellerons 𝜃. Et parce que nous avons un triangle rectangle avec la longueur du côté opposé un et la longueur du côté adjacent un, nous savons que tan 𝜃 est égal à l’opposé de celui adjacent. Et donc, 𝜃 est arctan un sur un qui est arctan un qui est 𝜋 sur quatre. Nous aurions également pu le constater en remarquant que nous avons affaire à un triangle rectangle isocèle. Et donc, 𝜃 doit être de 45 degrés, ce qui est 𝜋 sur quatre en radians. Maintenant que nous avons le module et l’argument de notre nombre complexe, nous pouvons l’écrire sous forme polaire.

On dit que notre nombre complexe est écrit sous forme polaire s’il est écrit sous la forme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Et surtout pour nous, si le nombre complexe 𝑧 est écrit sous cette forme, alors son module est 𝑟 et son argument est 𝜃. Eh bien, nous connaissons le module et l’argument de notre nombre complexe, nous pouvons donc simplement les remplacer par des valeurs de 𝑟 et 𝜃. La valeur de 𝑟 est la racine du module deux et la valeur de 𝜃 est l’argument 𝜋 sur quatre. Il s’agit alors d’un nombre complexe un plus 𝑖 sous forme polaire. C’est ainsi que nous convertissons un nombre de la forme algébrique en forme polaire. Nous trouvons son module et son argument puis nous les substituons dans la formule.

Voyons un autre exemple.

Exprimez le nombre complexe 𝑧 est égal à quatre 𝑖 sous forme trigonométrique.

Nous le faisons en trois étapes. On trouve 𝑟 qui est le module de 𝑧. On trouve 𝜃 qui est son argument. Et nous substituons ces valeurs en 𝑧 égal à 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Mais d’abord, dessinons un diagramme d’Argand avec quatre 𝑖 bien sûr se trouvant sur l’axe imaginaire. On peut voir son module, sa distance par rapport à l’origine, est de quatre. Nous aurions pu obtenir cela en utilisant notre formule à la place. Dans tous les cas, 𝑟 vaut quatre. Et son argument ?

Essayer d’utiliser une formule impliquant arctan 𝑏 sur 𝑎 ne fonctionnera pas car 𝑎 est nul. Et nous ne pouvons pas diviser par zéro. Mais heureusement, nous avons notre diagramme où l’argument est juste cet angle ici, dont la mesure est de 90 degrés ou 𝜋 sur deux radians. L’argument de 𝑧 est donc 𝜋 sur deux. C’est une valeur que nous devons remplacer par 𝜃. Et nous sommes maintenant prêts à remplacer. Et ce faisant, nous obtenons quatre fois cos 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin 𝜋 sur deux.

Voici les points clés que nous avons couverts dans la vidéo. Tout comme les points dans le plan peuvent être donnés en utilisant des coordonnées cartésiennes ou polaires, les nombres complexes peuvent être donnés sous forme algébrique ou polaire. La forme polaire d’un nombre complexe 𝑧 est 𝑧 égale 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, où 𝑟 qui est supérieur ou égal à zéro est le module et 𝜃 est l’argument. Pour convertir 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖 qui est sous forme algébrique en forme polaire, nous calculons son module 𝑟 et son argument 𝜃 et substituons ces valeurs dans la formule ci-dessus. Pour convertir en 𝑧 égal à 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 qui est sous forme trigonométrique en forme algébrique, nous évaluons le sinus et le cosinus, distribuons 𝑟 et simplifions.