فيديو الدرس: طاقة وضع الجاذبية الفيزياء

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن طاقة وضع الجاذبية. وهي نوع من الطاقة يكتسبها الجسم بناء على موضعه داخل مجال للجاذبية. لمعرفة كيف يحدث ذلك، دعونا نفترض وجود كرة ملقاة على الأرض. بعد ذلك، لنفترض أننا التقطنا هذه الكرة، وهو ما يتطلب بذل بعض المجهود كما نعلم. إذا أفلتنا الكرة من أيدينا، فإننا نعرف من واقع خبرتنا ما سيحدث. ستكتسب الكرة سرعة ثم تسقط على الأرض مرة أخرى. وأثناء سقوطها، وقبل اصطدامها بالأرض مباشرة، نعرف أنها ستكتسب قدرًا من طاقة الحركة. ويعود سبب اكتساب هذه الطاقة إلى حقيقة أن الكرة تتحرك. عندما نفكر في هذه الطاقة، يمكننا تذكر أن الطاقة لا بد أن تأتي من مصدر معين. وذلك لأن الطاقة كمية محفوظة. إذن، من أين تأتي طاقة الحركة التي تكتسبها الكرة قبل اصطدامها مباشرة بالأرض؟

حسنًا، لنتخيل أن الكرة عادت إلى أيدينا، وعندما تفعل ذلك تكون على ارتفاع معين — يمكن أن نسميه ‪ℎ ‬‏— فوق سطح الأرض. نعرف أن هذه الكرة ارتفعت إلى هذا الارتفاع داخل مجال للجاذبية. يمكننا التفكير في الأمر بالطريقة التالية. إذا افترضنا أن هذه هي الأرض، وهذه هي الكرة التي تقع على مسافة قريبة من سطحها، فإن الكرة يؤثر عليها مجال الجاذبية الناتج عن الأرض. والطريقة التي يؤثر بها هذا المجال هي أنه يؤثر بقوة، وهذه القوة هي قوة الجاذبية المؤثرة على الأجسام. وعندما نمسك الكرة بأيدينا، يمكننا القول إن القوة تؤثر بهذا الشكل. فيكون اتجاهها للأسفل، وهو ما يؤدي إلى سحب الكرة إلى الأرض مرة أخرى. ونعرف أن قوة الجاذبية تؤثر على الكرة بصرف النظر عن موضعها. فحتى عندما تكون الكرة في حالة سكون على الأرض، حيث لا يمكنها السقوط أكثر من ذلك لأنها تلامس سطح الأرض بالفعل، ستظل الجاذبية تؤثر عليها.

وهذه القوة هي التي تسببت في سقوط الكرة عندما تركناها من أيدينا. كما أن هذه القوة تؤثر على الكرة أثناء سقوطها. فالشغل الذي تبذله الجاذبية على الكرة أثناء سقوطها يظهر في طاقة حركة الكرة. وبهذا نكون قد أجبنا جزئيًا على السؤال. طاقة حركة الكرة تأتي من تأثير قوة الجاذبية على الكرة. لكن كيف تمكنت الجاذبية من فعل ذلك من البداية؟ في البداية تعين علينا رفع الكرة لمسافة ما فوق سطح الأرض، ثم تركها من أيدينا. ولكي نفعل ذلك، أي لكي نرفع الكرة من هذا الموضع إلى هذا الموضع، كان علينا بذل شغل على الكرة في اتجاه مضاد لقوة الجاذبية.

وعندما بذلت الجاذبية شغلًا على الكرة، متسببة في سقوطها لأسفل، رأينا أن هذا أكسب الكرة مقدارًا من طاقة الحركة. من ناحية أخرى، عندما بذلنا شغلًا على الكرة برفعها إلى الارتفاع ‪ℎ‬‏ فوق سطح الأرض، أكسبنا الكرة طاقة أيضًا. لكنها ليست طاقة حركة. فقد أكسبناها طاقة وضع الجاذبية التي نسميها اختصارًا ‪GPE‬‏. والآن، نستطيع الإجابة بالكامل عن سؤال: «من أين أتت طاقة الحركة التي اكتسبتها الكرة؟». أتت هذه الطاقة من طاقة وضع الجاذبية للكرة، والتي أكسبناها للكرة برفعها لأعلى. خلاصة هذه العملية هي أننا نبذل شغلًا على الكرة عكس اتجاه الجاذبية، وهو ما يكسب الكرة طاقة وضع الجاذبية. وعند ترك الكرة من أيدينا، تبذل الجاذبية شغلًا على الكرة، وتتحول طاقة وضع الجاذبية للكرة إلى طاقة حركة. ونرى أنه خلال عمليتي تحول الطاقة، أي اكتساب الكرة لطاقة وضع الجاذبية ثم تحولها لطاقة حركة، يوجد شغل مبذول على الكرة.

عند التفكير في كيفية تحديد مقدار طاقة وضع الجاذبية لأي جسم، نجد أننا نعبر عنها بدلالة ثلاثة عوامل. العامل الأول هو كتلة الجسم التي يمكن أن نطلق عليها ‪𝑚‬‏. والعامل الثاني هو شدة مجال الجاذبية الذي يوجد فيه الجسم. ونشير إليه عادة بحرف ‪𝑔‬‏، وهو يعني عجلة الجاذبية التي يتحرك بها الجسم. والعامل الأخير هو ارتفاع الجسم فوق مستوى أدنى معين، ونطلق عليه ‪ℎ‬‏. فنرى في مثال الكرة أن الارتفاع مقيس بالنسبة إلى سطح الأرض. إذا ضربنا هذه الحدود الثلاثة معًا، ‪𝑚‬‏ و‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏، فإن الناتج سيساوي مقدار طاقة وضع الجاذبية التي اكتسبها الجسم. لنفترض أننا نعرف كتلة الجسم، وشدة مجال الجاذبية الذي يقع فيه، ونعرف أيضًا ارتفاعه فوق أدنى مستوى ممكن. في هذه الحالة، سنتمكن من حساب طاقة وضع الجاذبية لهذا الجسم.

يكون الارتفاع ‪ℎ‬‏ مذكورًا في المسألة عادة. وهو المسافة الرأسية لارتفاع الجسم فوق أدنى مستوى ممكن. مرة أخرى، في مثال الكرة، كان أدنى مستوى ممكن هو مستوى الأرض. وبالمثل، تذكر كتلة الجسم عادة في المسألة أو يمكننا إيجاد قيمتها. أما عجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏، فأمرها مختلف. فهي لا تكون من القيم المعطاة، وإنما هي ثابت يمكننا حفظه. إذا أعدنا النظر إلى شكل الأرض هنا، فسنرى أن جميع خطوط مجال الجاذبية تشير إلى الداخل، باتجاه مركز الأرض. لكن لنفترض أننا نلقي نظرة مقربة جدًا على الكرة وهي فوق سطح الأرض. من هذا المنظور، سيبدو سطح الأرض مستويًا وجميع خطوط مجال الجاذبية ستكون متوازية.

في هذا الإطار، ستساوي ‪𝑔‬‏، أو عجلة جاذبية الأرض، ‪9.8‬‏ متر لكل ثانية تربيع تقريبًا. ولذلك، عند حساب طاقة وضع الجاذبية باستخدام هذه المعادلة، سنعوض عن ‪𝑔‬‏ بهذه القيمة. وكما ذكرنا من قبل، يجب حفظ هذه القيمة لأنها لا تذكر عادة في المسألة. بالعودة إلى معادلة طاقة وضع الجاذبية، إذا نظرنا إلى الطرف الأيسر، فربما نتذكر أنه عند ضرب كتلة جسم ما في عجلة الجاذبية، يسمى حاصل ضرب هاتين القيمتين وزن الجسم.

نستخدم الحرف ‪𝑊‬‏ للإشارة إلى وزن الجسم، وهو يساوي كتلته مضروبة في ‪𝑔‬‏. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بـ ‪𝑊‬‏ عن ‪𝑚‬‏ في ‪𝑔‬‏ في معادلة طاقة وضع الجاذبية. وبذلك، سنرى معادلة طاقة وضع الجاذبية مكتوبة أحيانًا بصيغة الوزن مضروبًا في الارتفاع. وعندها، نتذكر أن هذا يساوي ‪𝑚‬‏ في ‪𝑔‬‏ في ‪ℎ‬‏ رياضيًا. بعد أن عرفنا هذه الأفكار عن طاقة وضع الجاذبية، هيا نتدرب عليها من خلال أحد الأمثلة.

جسم كتلته ‪15‬‏ كيلوجرامًا يوجد على ارتفاع ‪10‬‏ أمتار فوق سطح الأرض. فما طاقة وضع الجاذبية للجسم؟

لنفترض أن هذا هو مستوى الأرض. ونعلم من السؤال أن الجسم موجود فوق هذا المستوى بمسافة ‪10‬‏ أمتار. ونعلم أيضًا أن كتلة الجسم، التي نطلق عليها ‪𝑚‬‏، تساوي ‪15‬‏ كيلوجرامًا. ونريد أن نعرف طاقة وضع الجاذبية لهذا الجسم. لنعرف هذه القيمة، نتذكر أن طاقة وضع الجاذبية للجسم، التي نشير إليها بـ ‪GPE‬‏، تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في شدة مجال الجاذبية الذي يقع فيه الجسم، الكل مضروب في ارتفاع الجسم فوق أدنى مستوى ممكن. لجسم يعلو عن سطح الأرض بمسافة ‪10‬‏ أمتار، كالجسم الذي لدينا هنا، يمكننا القول إن ‪𝑔‬‏، أو عجلة الجاذبية، تساوي ‪9.8‬‏ متر لكل ثانية تربيع.

إذن عند حساب طاقة وضع الجاذبية لهذا الجسم، فإننا نعرف كتلته، وهي ‪15‬‏ كيلوجرامًا. ونعرف أن ‪𝑔‬‏، وهو ثابت، يساوي ‪9.8‬‏ متر لكل ثانية تربيع. كما أننا نعرف قيمة ‪ℎ‬‏، أي ارتفاع الجسم فوق سطح الأرض، وهي ‪10‬‏ أمتار. عند التعويض بهذه القيم ثم ضربها معًا، نحصل على ‪1470‬‏ نيوتن متر. وذلك لأن وحدة النيوتن تساوي كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع. نتذكر أيضًا أن حاصل ضرب نيوتن في متر يساوي وحدة نطلق عليها الجول. وهي الوحدة المستخدمة عادة للتعبير عن الطاقة. لذا فإن إجابتنا النهائية هي ‪1470‬‏ جول.

لنلق نظرة الآن على تدريب آخر.

جسم معلق عند نقطة على ارتفاع ‪1.5‬‏ متر فوق سطح الأرض، طاقة وضع الجاذبية له ‪1176‬‏ جول. ما كتلة الجسم؟

في هذا المثال، سنفترض أن هذا هو مستوى سطح الأرض، وهذا هو الجسم. نعلم من المعطيات أن هذا الجسم يرتفع عن الأرض ‪1.5‬‏ متر، وطاقة وضع الجاذبية له ‪1176‬‏ جول. وبمعلومية ذلك، نريد إيجاد كتلة الجسم. لنتمكن من ذلك، نتذكر العلاقة الرياضية بين الكتلة والارتفاع وطاقة وضع الجاذبية. تنص هذه العلاقة على أن طاقة وضع الجاذبية لأي جسم تساوي كتلته مضروبة في عجلة الجاذبية التي يتحرك بها الجسم مضروبة في ارتفاعه فوق مستوى أدنى معين. في هذا السؤال، لا نريد إيجاد طاقة وضع الجاذبية، وإنما كتلة الجسم ‪𝑚‬‏.

ولكي نتمكن من ذلك، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ‪𝑔‬‏ في ‪ℎ‬‏. وبهذا، سيحذف المعامل ‪𝑔‬‏ من البسط والمقام في الطرف الأيمن، وكذلك المعامل ‪ℎ‬‏. إذن، كتلة الجسم تساوي طاقة وضع الجاذبية الخاصة به مقسومة على ‪𝑔‬‏ في ‪ℎ‬‏. وفي هذا السؤال، نعرف أن ارتفاع الجسم هو ‪1.5‬‏ متر فوق سطح الأرض، ويمكننا اعتبار أن عجلة الجاذبية تساوي بالضبط ‪9.8‬‏ متر لكل ثانية تربيع. ومن ثم، فإن كتلة الجسم ‪𝑚‬‏ تساوي طاقة وضع الجاذبية له، التي نعلم من المعطيات أنها تساوي ‪1176‬‏ جول، مقسومة على ‪𝑔‬‏ في ‪ℎ‬‏. وفي هذه الحالة، ‪ℎ‬‏، أو ارتفاع الجسم، يساوي ‪1.5‬‏ متر. بعد التعويض بكل هذه القيم في المعادلة وقبل المتابعة وحساب قيمة ‪𝑚‬‏، لنتوقف لحظات مع وحدات هذه القيم.

إذا نظرنا إلى المقام، فسنرى أن لدينا وحدة المتر لكل ثانية تربيع مضروبة في وحدة المتر. إذا ضربنا الوحدتين ووضعنا حاصل ضربهما في الطرف الأيمن من المقام، فسيصبح لدينا متر مربع لكل ثانية تربيع. والآن، لننظر إلى الوحدة الموجودة في البسط، وهي الجول. الجول يساوي نيوتن في متر. ووحدة النيوتن نفسها تساوي كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع. معنى هذا أن نيوتن متر يساوي كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع في متر، أو كيلوجرام متر مربع لكل ثانية تربيع. لكن، لاحظ أن وحدة متر مربع لكل ثانية تربيع موجودة في البسط والمقام. لذا عند حساب قيمة هذا الكسر، نحذف هاتين الوحدتين معًا. وبالتالي تكون الوحدة النهائية هي الكيلوجرام. وهذا ما يجب أن يحدث لأننا نحسب كتلة. وعند المتابعة وحساب قيمة ‪𝑚‬‏، نجد أن الناتج هو ‪80‬‏ كيلوجرامًا. هذه هي كتلة الجسم.

لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي آخر.

وضع جسم كتلته ‪10‬‏ كيلوجرامات على ارتفاع ‪15‬‏ مترًا من سطح كوكب مجهول. طاقة وضع الجاذبية لهذا الجسم تساوي ‪1800‬‏ جول. ما عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب؟

لنفترض أن هذا هو الكوكب المجهول. ونعلم من المعطيات أن جسمًا — لنقل أن هذا هو الجسم — كتلته ‪10‬‏ كيلوجرامات وضع على ارتفاع سنطلق عليه ‪ℎ‬‏ مقداره ‪15‬‏ مترًا فوق سطح الكوكب. بالإضافة إلى ذلك، نعرف طاقة وضع الجاذبية لهذا الجسم. سنطلق عليها ‪GPE‬‏، ونعرف أنها تساوي ‪1800‬‏ جول. بناء على هذه المعطيات، نريد إيجاد عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب المجهول. لنبدأ ذلك، يمكننا تذكر معادلة طاقة وضع الجاذبية. تنص هذه العلاقة على أن طاقة وضع الجاذبية للجسم تساوي كتلته مضروبة في شدة مجال الجاذبية الذي تقع فيه الكتلة مضروبة في ارتفاعه فوق مستوى أدنى معين.

نستخدم عادة قيمة معينة للتعويض عن ‪𝑔‬‏. فإذا كان الجسم فوق سطح الأرض وليس فوق كوكب مجهول، كنا سنستخدم ‪9.8‬‏ متر لكل ثانية تربيع للتعويض عن ‪𝑔‬‏. لكن بما أن الجسم ليس على سطح الأرض، وإنما على سطح كوكب مجهول، فلن يمكننا افتراض هذه القيمة. وإنما علينا إيجاد عجلة الجاذبية على سطح ذلك الكوكب باستخدام المعلومات المعطاة الأخرى. لنبدأ في إيجادها، سنقسم طرفي المعادلة على ‪𝑚‬‏ في ‪ℎ‬‏. وبذلك يحذف هذان الحدان من الطرف الأيمن. ونعرف أن عجلة الجاذبية ‪𝑔‬‏ تساوي طاقة وضع الجاذبية مقسومة على الكتلة في الارتفاع. وبما أننا نعرف في هذا المثال قيم ‪GPE‬‏ و‪𝑚‬‏ و‪ℎ‬‏، يمكننا التعويض بها لإيجاد قيمة ‪𝑔‬‏. قيمة ‪GPE‬‏ هي ‪1800‬‏ جول، و‪𝑚‬‏ يساوي ‪10‬‏ كيلوجرامات، و‪ℎ‬‏ يساوي ‪15‬‏ مترًا.

عند التفكير للحظة في الوحدات المستخدمة في هذا المقدار، نتذكر أن الجول يساوي نيوتن مضروبًا في متر. ومن ثم إذا عوضنا بذلك، فسنرى أن معامل المتر سيحذف من البسط والمقام. وبعد ذلك، نجد أن النيوتن يساوي كيلوجرام متر لكل ثانية تربيع. وعند التعويض بذلك، يحذف معامل الكيلوجرام من البسط والمقام. بذلك، عند إكمال العملية الحسابية، ستكون الإجابة بوحدة المتر لكل ثانية تربيع. ‏‏‪1800‬‏ مقسومًا على ‪10‬‏ في ‪15‬‏ يساوي ‪12‬‏. إذن، ‪𝑔‬‏ تساوي ‪12‬‏ مترًا لكل ثانية تربيع. وهذه هي عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب المجهول.

دعونا نلخص الآن ما تعلمناه حول طاقة وضع الجاذبية. في البداية، عرفنا أن طاقة وضع الجاذبية، التي يرمز لها اختصارًا بـ ‪GPE‬‏، هي طاقة يكتسبها الجسم نتيجة لوجوده في مجال للجاذبية. ورأينا أن الشغل المبذول عكس اتجاه الجاذبية يكسب الجسم طاقة وضع الجاذبية، أما الشغل الذي تبذله الجاذبية على الجسم فيسلبه هذه الطاقة. وهذا ما رأيناه في مثال الكرة؛ فعندما رفعنا الكرة فوق مستوى سطح الأرض ببذل شغل عكس اتجاه الجاذبية، أكسبنا الكرة طاقة وضع الجاذبية. لكن عندما تركنا الكرة من أيدينا وسمحنا للجاذبية ببذل شغل عليها، تحولت طاقة وضع الجاذبية إلى طاقة حركة.

تعلمنا أيضًا أن طاقة وضع الجاذبية لأي جسم تساوي كتلته مضروبة في عجلة جاذبية المجال الذي يقع فيه مضروبة في ارتفاعه فوق مستوى أدنى معين. ورأينا بعد ذلك أنه بما أن وزن الجسم، ‪𝑊‬‏، يساوي كتلته مضروبة في شدة مجال الجاذبية، فإن طاقة وضع الجاذبية للجسم تساوي أيضًا الوزن مضروبًا في الارتفاع. وهذا ملخص ما عرفناه عن طاقة وضع الجاذبية.