نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال حدث بسيط. سنبدأ بتعريف الاحتمال. وسنرى بعد ذلك كيف ننتقل من استخدام كلمات مثل «محتمل» أو «مؤكد» لوصف احتمال حدث ما إلى استخدام عدد لوصف احتماله.
الاحتمال هو إمكانية أو فرصة وقوع حدث ما. في أغلب الأحيان، تكون الاحتمالات ممثلة في صورة مقياس. ونستخدم كلمات مثل «مستحيل» و«مؤكد» لوصف هذه الاحتمالات. العدد الذي نستخدمه لتمثيل حدث مستحيل هو العدد صفر. ولتمثيل حدث مؤكد، فإننا نستخدم العدد واحدًا. يمكن وصف الأحداث التي تتساوى إمكانية وقوعها مع إمكانية عدم وقوعها باستخدام الأعداد في صورة كسر أو عدد عشري أو نسبة مئوية؛ أي نصف أو ٠٫٥ أو ٥٠ بالمائة. إذن، يمكننا وصف أي احتمال في صورة كسر أو عدد عشري أو نسبة مئوية.
لإيجاد احتمال وقوع حدث ما، علينا إيجاد عدد النواتج الممكنة وقسمته على إجمالي عدد النواتج. سنتناول مثالًا على إلقاء حجر نرد مرقم من واحد إلى ستة. سنفترض أننا نريد حساب احتمال ظهور العدد اثنين. يمكننا كتابة ذلك على الصورة ﻝ اثنين (ﻝ وقوس بداخله العدد اثنان). عدد النواتج الممكنة هو عدد مرات وجود العدد اثنين على حجر النرد، وإجمالي عدد النواتج هو ستة؛ حيث يوجد ست قيم مختلفة على حجر النرد. وبذلك، يكون احتمال ظهور العدد اثنين على حجر النرد هو سدس.
يمكننا أيضًا تعريف احتمال الحدث بطريقة أكثر منهجية. إذا كان ﺃ حدثًا في فضاء العينة ﻑ، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو احتمال ﺃ يساوي ﻥﺃ على ﻥﻑ؛ حيث ﻥﺃ هو عدد العناصر في الحدث ﺃ ، وﻥﻑ هو عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ. قد يبدو هذا الأمر أكثر تعقيدًا مما هو عليه، لكن دعونا نرجع إلى مثال إلقاء حجر النرد. عندما نفكر في احتمال ظهور العدد اثنين، نجد أن القيمة الموجودة في البسط هي عدد العناصر في الحدث ﺃ . إذن، في مثال حجر النرد، هذا يعني القيمة التي تعبر عن عدد مرات ظهور العدد اثنين. أما في المقام، فسنجد أن القيمة تعبر عن إجمالي عدد العناصر الموجودة على حجر النرد. وهي ستة؛ حيث يوجد ستة أعداد مختلفة. وعليه، فإن احتمال ظهور العدد اثنين عند إلقاء حجر النرد هو سدس.
قبل أن نتناول بعض الأمثلة، هناك أمر مهم متعلق بالاحتمال علينا أن نتذكره. وقد لاحظنا ذلك بالفعل عندما نظرنا إلى خط الأعداد. يجب أن يكون احتمال أي حدث بين صفر وواحد. بالنسبة لأي حدث ﺃ، يمكننا القول إن صفر أقل من أو يساوي احتمال ﺃ أقل من أو يساوي واحدًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون احتمال أي حدث بين صفر وواحد، لكنه بالطبع يمكن أن يساوي صفرًا أو واحدًا. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة. وفي المثال الأول، سنوجد احتمال حدث له ثلاثة نواتج ممكنة.
حقيبة تحتوي على سبع كرات بيضاء وثماني كرات سوداء وسبع كرات حمراء. إذا سحبت كرة عشوائيًّا من الحقيبة، فما احتمال أن تكون بيضاء؟
إننا نعلم أنه لإيجاد احتمال وقوع أي حدث، فإننا نقسم عدد النواتج الممكنة على إجمالي عدد النواتج. ومطلوب منا في هذا السؤال حساب احتمال الحصول على كرة بيضاء. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة ﻝﺏ، وهو احتمال الحصول على كرة بيضاء. علينا بعد ذلك تحديد عدد الكرات البيضاء. لقد علمنا من السؤال أن عددها سبعة. إذن، ستكون هذه هي القيمة في البسط. أما بالنسبة للقيمة في المقام، فستكون إجمالي عدد الكرات. نحن نعلم أنه يوجد سبع كرات بيضاء وثماني كرات سوداء وسبع كرات حمراء. لذا، سنجمع هذه القيم معًا. وهذا يعطينا الكسر سبعة على ٢٢. ولا يمكننا تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك. إذن، احتمال الحصول على كرة بيضاء هو سبعة على ٢٢.
سنلقي نظرة الآن على مثال آخر لحساب احتمال حدث ما.
ما احتمال الاختيار العشوائي لعدد أولي من مجموعة الأعداد ثمانية، تسعة، ٢٠، ١٩، ثلاثة، ١٥؟
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر أمرين؛ أولًا، كيفية إيجاد احتمال حدث ما، وثانيًا، المقصود بالعدد الأولي. لحساب الاحتمال، يمكننا استخدام صيغة حساب احتمال الحدث ﺃ ؛ حيث يكون عدد العناصر في الحدث ﺃ مقسومًا على عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ. قد نجد هذه الصيغة مكتوبة أيضًا على هذه الصورة؛ احتمال الحدث يساوي عدد النواتج الممكنة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج. ما نحاول فعله هنا هو حساب احتمال اختيار عدد أولي. العدد الأولي هو عدد له عاملان فقط؛ أحدهما هو العدد واحد والآخر هو العدد نفسه.
حسنًا، دعونا ننظر إلى قائمة الأعداد المعطاة. القيم الثلاثة الأولى؛ وهي ثمانية وتسعة و٢٠، ليست أعدادًا أولية لأن لها أكثر من عاملين. لدينا بعد ذلك العددان ١٩ وثلاثة، وكلاهما عدد أولي. لكن العدد ١٥ ليس عددًا أوليًّا. إذن، عندما نستخدم الصيغة، سنجد أن عدد الأعداد الأولية الموجودة لدينا هو اثنان. وهو يعبر عن العددين ثلاثة و١٩. القيمة في المقام ستكون ستة؛ حيث يوجد ستة أعداد إجمالًا. من الأفضل دائمًا تبسيط الكسور قدر الإمكان. وبذلك، يمكننا القول إن احتمال اختيار عدد أولي من قائمة الأعداد المعطاة هو ثلث.
في المثال التالي، سنتعرف على كيفية إيجاد عدد العناصر في فضاء العينة، بمعلومية عدد العناصر في الحدث واحتمال حدث مختلف.
تحتوي حقيبة على ٢٤ كرة بيضاء وعدد غير معلوم من الكرات الحمراء. احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًّا هو سبعة على ٣١. ما عدد الكرات الموجودة بالحقيبة؟
بما أننا نريد حساب احتمال، يمكننا أن نسترجع معًا أنه لإيجاد احتمال الحدث ﺃ ، فإننا نحسب ﻥﺃ مقسومًا على ﻥﻑ؛ حيث ﻥﺃ هو عدد العناصر الموجودة في الحدث ﺃ ، وﻥﻑ هو عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ. دعونا نفكر جيدًا في هذا السؤال. لقد علمنا أن هناك ٢٤ كرة بيضاء في الحقيبة، لكن عدد الكرات الحمراء غير معلوم. يمكننا إذن استخدام نفس طريقة الترميز لتوضيح أن عدد الكرات البيضاء لا بد أن يساوي ٢٤. إننا لا نعلم عدد الكرات الحمراء، ولكن يمكننا استخدام متغير مثل ﺹ لتمثيل ذلك. يمكن كتابة إجمالي عدد الكرات في الحقيبة على هذه الصورة؛ عدد الكرات البيضاء؛ أي ٢٤، زائد عدد الكرات الحمراء، الذي أشرنا إليه بـ ﺹ. إجمالي عدد الكرات في الحقيبة هو عدد العناصر في فضاء العينة. إذن، يمكننا القول إن ﻥﻑ يساوي ٢٤ زائد ﺹ.
بعد ذلك، سنفكر في الاحتمالات لدينا. لقد علمنا من السؤال أن احتمال سحب كرة حمراء يساوي سبعة على ٣١. يمكننا الآن كتابة صيغة الاحتمال بدلالة احتمال الحصول على كرة حمراء. وبعد ذلك نرى ما إذا كانت لدينا معلومات كافية للحل لإيجاد قيمة ﺹ. لحساب احتمال الحصول على كرة حمراء، سنجد أن عدد العناصر في الحدث ﺃ — أي احتمال الحصول على كرة حمراء — يساوي عدد الكرات الحمراء في الحقيبة؛ وهي القيمة في البسط. أما المقام — وهو عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ في هذا السياق — فهو إجمالي عدد الكرات في الحقيبة. يمكننا الآن التعويض بالقيم التي لدينا في هذه التعبيرات. وبذلك، يصبح لدينا سبعة على ٣١ يساوي ﺹ على ٢٤ زائد ﺹ.
والآن، يمكننا إجراء الضرب التبادلي والحل لإيجاد قيمة ﺹ. بعد ذلك، سنوزع سبعة على القوس، وهو ما يعطينا ١٦٨ زائد سبعة ﺹ يساوي ٣١ﺹ. والآن، سنطرح سبعة ﺹ من كلا الطرفين. وأخيرًا، بقسمة كلا الطرفين على ٢٤، نجد أن سبعة يساوي ﺹ، وعليه، فإن ﺹ يساوي سبعة. تذكر أننا أوضحنا أن عدد الكرات الحمراء هو ﺹ؛ ومن ثم نجد أن عدد الكرات الحمراء لا بد أن يساوي سبعة. قد تعتقد أن هذه هي آخر خطوة في الحل. لكن تذكر أن المطلوب منا هو تحديد إجمالي عدد الكرات في الحقيبة. لقد أوجدنا بالفعل تعبيرًا يدل على عدد الكرات في الحقيبة. إنه ذلك التعبير الذي حصلنا عليه لعدد العناصر في فضاء العينة. إذن، إجمالي عدد الكرات يساوي ٢٤ زائد ﺹ؛ أي زائد سبعة. وبجمع هاتين القيمتين معًا، نحصل على القيمة ٣١. إذن، الإجابة هي أن هناك ٣١ كرة في الحقيبة.
في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية إيجاد إجمالي عدد العناصر في فضاء العينة بمعلومية احتمال حدثين وعدد مرات وقوع حدث ثالث.
تحتوي حقيبة على عدد غير معلوم من الكرات. توجد ثلاث كرات حمراء، وبعض الكرات البيضاء، وبعض الكرات السوداء. احتمال الحصول على كرة بيضاء هو ثلث، واحتمال الحصول على كرة سوداء هو نصف. احسب عدد الكرات في الحقيبة.
حسنًا، بما أن هذا السؤال عن الاحتمال، دعونا نسترجع معًا أنه لإيجاد احتمال الحدث ﺃ ، فإننا نحسب عدد العناصر في الحدث ﺃ ، والذي يمكن كتابته على الصورة ﻥﺃ ، مقسومًا على عدد العناصر في فضاء العينة ﻑ، والذي يمكن كتابته على الصورة ﻥﻑ. إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أن الكرات الموجودة في الحقيبة لها ثلاثة ألوان؛ الأحمر والأبيض والأسود. لذا، دعونا نكتب سريعًا بعض المعطيات الواردة في السؤال. يمكننا استخدام نفس الترميز؛ حيث نكتب عدد الكرات الحمراء على الصورة ﻥﺡ، وهذا يساوي ثلاثة.
لم يذكر في المعطيات لدينا عدد الكرات البيضاء أو عدد الكرات السوداء، لكن دعونا نشر إلى عدد الكرات البيضاء بالحرف ﺏ، ونشر إلى عدد الكرات السوداء بالحرف ﺱ. بمعرفة هذه القيم الثلاثة أو التعبيرات التي تدل على هذه القيم، سيكون بإمكاننا كتابة إجمالي عدد الكرات في الحقيبة، وهو نفس عدد العناصر في فضاء العينة؛ أي عدد الكرات في الحقيبة. وهذا يساوي ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ. بعد ذلك، سنلقي نظرة على الاحتمالات. لقد علمنا من السؤال أن احتمال الحصول على كرة بيضاء يساوي ثلثًا، واحتمال الحصول على كرة سوداء يساوي نصفًا.
والآن، إذا نظرنا إلى المعطيات التي كتبناها، فسنلاحظ أن لدينا كميتين مجهولتين؛ وهما ﺏ وﺱ، واللتان تشيران إلى عدد الكرات البيضاء وعدد الكرات السوداء. ما نريده هو معرفة المعلومات اللازمة لتكوين معادلتين لحلهما وإيجاد هاتين القيمتين المجهولتين. يمكننا كتابة الصيغة العامة للاحتمال بدلالة احتمال الحصول على كرة بيضاء. في هذه الحالة، سنجد أنه يساوي عدد الكرات البيضاء على إجمالي عدد الكرات.
وبما أننا نعلم أن احتمال الحصول على كرة بيضاء يساوي ثلثًا، فسنكتب ذلك في الطرف الأيمن، ولدينا في الطرف الأيسر عدد الكرات البيضاء يساوي ﺏ. وإجمالي عدد الكرات يساوي ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ. بإجراء الضرب التبادلي، يصبح لدينا ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ يساوي ثلاثة ﺏ. يمكننا بعد ذلك طرح ﺏ من كلا الطرفين لنحصل على ثلاثة زائد ﺱ يساوي اثنين ﺏ. لا يمكننا القيام بأي شيء آخر في هذه المعادلة الآن، لكن دعونا نطلق عليها المعادلة الأولى. وسنكتبها على أي الجانبين هنا لتوفير بعض المساحة. ولعلنا نتمكن من تكوين معادلة ثانية بدلالة ﺏ وﺱ؛ ومن ثم نقوم بحل المعادلتين آنيًّا لإيجاد قيمتي ﺱ وﺏ.
إذن، ما يمكننا فعله بعد ذلك هو كتابة صيغة الاحتمال لإيجاد احتمال الحصول على كرة سوداء. هذه المرة، سيكون لدينا عدد الكرات السوداء مقسومًا على إجمالي عدد الكرات. وبذلك، يصبح لدينا في الطرف الأيمن نصف؛ لأن هذا هو احتمال الحصول على كرة سوداء. وفي الطرف الأيسر، يكون لدينا ﺱ مقسومًا على ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ. سنستخدم هنا الضرب التبادلي، ليصبح لدينا ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ يساوي اثنين ﺱ. بطرح ﺱ من كلا الطرفين، نحصل على ثلاثة زائد ﺏ يساوي ﺱ. وبذلك، نكون قد أوجدنا معادلة ثانية بدلالة ﺏ وﺱ.
إذا نظرنا إلى هاتين المعادلتين، فسنلاحظ أن هناك طرقًا مختلفة لحلهما. لكن إذا نظرنا إلى المعادلة الثانية، فسنجد أن لدينا تعبيرًا لـ ﺱ. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذا التعبير في المعادلة الأولى عن ﺱ. وهذا يعطينا ثلاثة زائد ثلاثة زائد ﺏ يساوي اثنين ﺏ. بعد ذلك، سنبسط هذا ونطرح ﺏ من الطرفين، وهذا يعطينا ستة يساوي ﺏ. هذا يعني أن عدد الكرات البيضاء هو ستة.
لإيجاد قيمة ﺱ؛ أي عدد الكرات السوداء، يمكننا التعويض بـ ﺏ يساوي ستة في أي من المعادلتين لدينا، لكن دعونا نعوض به في المعادلة الثانية. هذا يعطينا ثلاثة زائد ستة يساوي ﺱ. أي إن تسعة يساوي ﺱ، وبذلك نجد أن قيمة ﺱ هي تسعة. عدد الكرات السوداء هو تسعة. ونحن نريد إيجاد إجمالي عدد الكرات في الحقيبة، ولدينا بالفعل تعبير لذلك. إنه ثلاثة زائد ﺏ زائد ﺱ. ومن ثم، بالتعويض بالقيمتين ﺏ يساوي ستة وﺱ يساوي تسعة، يصبح لدينا ثلاثة زائد ستة زائد تسعة. بحل هذه المعادلة، نحصل على الإجابة وهي أن عدد الكرات في الحقيبة لا بد أن يساوي ١٨.
من المهم دائمًا التحقق من الإجابة التي توصلنا إليها. لقد علمنا من المعطيات أن هناك ثلاث كرات حمراء. واستنتجنا أنه لا بد من وجود ست كرات بيضاء وتسع كرات سوداء. ومجموع ذلك ١٨. بدلالة الاحتمالات، علمنا أن احتمال الحصول على كرة بيضاء يساوي ثلثًا، واحتمال الحصول على كرة سوداء يساوي نصفًا. يمكننا من ذلك معرفة أن احتمال الحصول على كرة حمراء هو ثلاثة على ١٨، ويمكن تبسيط ذلك إلى سدس. عند جمع هذه الاحتمالات الثلاثة؛ السدس والثلث والنصف، فإننا نحصل على واحد. وبما أن مجموع الاحتمالات لا بد أن يساوي واحدًا، فهذا يؤكد أن القيم التي توصلنا إليها لمعرفة أن إجمالي عدد الكرات يساوي ١٨ هي قيم صحيحة.
سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد علمنا أن هناك صيغتين يمكننا استخدامهما لحساب احتمال حدث ما. الصيغة الثانية تكون مفيدة تحديدًا عند التعامل مع احتمالات عدة أحداث كما رأينا في السؤال السابق. وأخيرًا، علمنا أن جميع الاحتمالات يجب أن تقع في الفترة بين صفر وواحد. الاحتمال الأقرب إلى الصفر يشير إلى الحدث الأقل إمكانية للحدوث، والاحتمال الأقرب إلى الواحد يشير إلى الحدث الأكثر إمكانية للحدوث.
