Lição de casa da aula: Raízes Arbitrárias de Números Complexos Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o teorema de Moivre para encontrar as enésimas raízes de um número complexo e explorar suas propriedades.

Q1:

Determine as raízes quadradas de 𝑧, sendo 𝑧=8𝑖.

  • A{1,1}
  • B{𝑖,𝑖}
  • C32+12𝑖,3212𝑖
  • D{22𝑖,2+2𝑖}
  • E1212𝑖,12+12𝑖

Q2:

Sendo 𝑧=28+96𝑖, determine as raízes quadradas de 𝑧, sem convertê-lo para a forma trigonométrica.

  • A(8+6𝑖),(8+6𝑖)
  • B2425725𝑖,2425725𝑖
  • C725+2425𝑖,725+2425𝑖
  • D(6+8𝑖),(6+8𝑖)
  • E212𝑖,212𝑖

Q3:

Utilize o teorema de De Moivre para encontrar as duas raízes quadradas de 165𝜋3𝑖5𝜋3cossen.

  • A±23+2𝑖
  • B±32+12𝑖
  • C±1212𝑖
  • D±4𝑖

Q4:

Dado que 𝑧=𝜋6+𝑖𝜋6sencos, determine as raízes cúbicas de 𝑧.

  • A5𝜋9+𝑖5𝜋9cossen, 7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, 𝜋9+𝑖𝜋9cossen
  • B7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, 5𝜋9+𝑖5𝜋9cossen, 𝜋9+𝑖𝜋9cossen
  • C5𝜋18+𝑖5𝜋18cossen, 17𝜋18+𝑖17𝜋18cossen, 7𝜋18+𝑖7𝜋18cossen
  • D7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, 8𝜋9+𝑖8𝜋9cossen, 5𝜋9+𝑖5𝜋9cossen
  • E7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, 4𝜋9+𝑖4𝜋9cossen, 𝜋9+𝑖𝜋9cossen

Q5:

Encontre os valores possíveis de 13(𝑖)+(𝑖).

  • A23, 0, e 23
  • B13, 0, e 13
  • C2, 0, e 2
  • D1, 0, e 1
  • E13, 0, e 13

Q6:

Resolva 𝑧=162+16𝑖2.

  • A𝑧=2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • B𝑧=2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • C𝑧=4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒
  • D𝑧=32𝑒, 32𝑒, 32𝑒, 32𝑒, 32𝑒
  • E𝑧=4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒

Ao desenhar essas soluções em um diagrama de Argand, ou de outra forma, descreva as propriedades geométricas das soluções.

  • AAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 2 na origem.
  • BAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1 na origem.
  • CAs raízes estão em uma linha reta.
  • DAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 4 na origem.
  • EAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 32 na origem.

Q7:

Encontre as soluções para a equação 𝑧=125𝑒. Quais são as suas propriedades geométricas?

  • A5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio 5.
  • B5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio 5.
  • C125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒; as raízes estão em uma linha reta que passa pela origem.
  • D5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio 5.
  • E5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio 5.

Dê as 6ª raízes da unidade.

  • A1, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
  • B1, 𝑒, 𝑒, 1, 𝑒, 𝑒
  • C1, 𝑒, 𝑖, 1, 𝑒, 𝑖
  • D1, 𝑒, 𝑒, 1, 𝑒, 𝑒
  • E𝑒, 𝑖, 𝑒, 𝑒, 𝑖, 𝑒

Qual é a relação entre as 6ª raízes da unidade e as soluções para a equação 𝑧=125𝑒?

  • AAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • BAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • CAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • DAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • EAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 125𝑒.

Q8:

Encontre as raízes de 𝑧+16=0.

  • A2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒.
  • B2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • C2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • D𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
  • E2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒

Os números complexos que representam as raízes de 𝑧+16=0 são cada um ao quadrado para formar os vértices de uma nova forma. Qual é a área dessa forma?

Q9:

Encontre as coordenadas dos vértices de um hexágono regular centralizado em (1,2) com um vértice na origem.

Dê sua resposta como coordenadas cartesianas exatas.

  • A(0,0), 2+32,2312, 6+32,2332, (4,2), 632,2332, 232,2312
  • B(0,0), (2,0), (3,2), (2,4), (0,4), (1,2)
  • C(0,0), 3+232,362, 1+232,322, (2,4), 1232,322, 3232,362
  • D(0,0), 1+232,3+22, 3+232,3+62, (2,4), 3232,3+62, 1232,3+22
  • E(0,0), 232,23+12, 632,23+12, (4,2), 6+32,23+32, 2+32,23+12

Q10:

Encontre as coordenadas dos vértices de um pentágono regular centralizado na origem com um vértice em (3,3).

Dê sua resposta como coordenadas cartesianas exatas.

  • A(3,3), 3211𝜋15,3211𝜋15cossen, 3213𝜋15,3213𝜋15cossen, 327𝜋15,327𝜋15cossen, 32𝜋15,32𝜋15cossen
  • B(3,3), 3213𝜋20,3213𝜋20cossen, 3219𝜋20,3219𝜋20cossen, 3211𝜋20,3211𝜋20cossen, 323𝜋20,323𝜋20cossen
  • C(3,3), 313𝜋20,313𝜋20sencos, 319𝜋20,319𝜋20sencos, 311𝜋20,3𝑐𝑜𝑠11𝜋20sen, 33𝜋20,33𝜋20sencos
  • D(3,3), 3213𝜋20,3213𝜋20sencos, 3219𝜋20,3219𝜋20sencos, 3211𝜋20,3211𝜋20sencos, 323𝜋20,323𝜋20sencos
  • E(3,3), 313𝜋20,313𝜋20cossen, 319𝜋20,319𝜋20cossen, 311𝜋20,311𝜋20cossen, 33𝜋20,33𝜋20cossen

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