Lição de casa da aula: Raízes Arbitrárias de Números Complexos Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a usar o teorema de Moivre para encontrar as n-ésimas raízes de um número complexo e explorar suas propriedades.

Questรฃo 1

Sendo ๐‘ง=โˆ’8๐‘–, determine as raรญzes quadradas de ๐‘ง sem convertรช-lo para a forma trigonomรฉtrica.

  • A{1,โˆ’1}
  • B๏ฏโˆ’12+โˆš32๐‘–,12โˆ’โˆš32๐‘–๏ป
  • C{๐‘–,โˆ’๐‘–}
  • D๏ฏ1โˆš2โˆ’1โˆš2๐‘–,โˆ’1โˆš2+1โˆš2๐‘–๏ป
  • E{2โˆ’2๐‘–,โˆ’2+2๐‘–}

Questรฃo 2

Sem converter ๐‘ง para a forma trigonomรฉtrica, determine as raรญzes quadradas de ๐‘ง, em que ๐‘ง=โˆ’8+2๐‘–1+4๐‘–.

  • A๐‘–, โˆ’๐‘–
  • B1โˆ’๐‘–, 1+๐‘–
  • C1, โˆ’1
  • D1+๐‘–, โˆ’1โˆ’๐‘–

Questรฃo 3

Determine as duas raรญzes quadradas de ๐‘ง=8+๐‘–โˆ’1โˆ’2๐‘–+โˆ’9+2๐‘–โˆ’4โˆ’๐‘– em โ„‚, sem escrever ๐‘ง na forma trigonomรฉtrica.

  • Aยฑ(1+๐‘–)
  • Bยฑ(1โˆ’๐‘–)
  • Cยฑ๐‘–
  • Dยฑ1

Questรฃo 4

Dado que ๐‘ง=๏€ป๏€ป๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡๏‡sencos, determine as raรญzes cรบbicas de ๏€น๐‘ง๏…๏Šซ.

  • A๏€ผ๏€ผ5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡๏‡cossen
  • B๏€ผ๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ป๏€ป๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹9๏‡๏‡cossen
  • C๏€ผ๏€ผ5๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผ5๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผ17๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผ17๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹18๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹18๏ˆ๏ˆcossen
  • D๏€ผ๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผ7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’8๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’8๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’5๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen
  • E๏€ผ๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’7๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹9๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹9๏ˆ๏ˆcossen, ๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹9๏‡๏‡cossen

Questรฃo 5

Encontre as cubo raรญzes de 64, fornecendo suas respostas na forma trigonomรฉtrica.

  • A๐‘=4๏Šง, ๐‘=4๏€ผ๏€ผ4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจsencos, ๐‘=4๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉsencos
  • B๐‘=8๏Šง, ๐‘=8๏€ผ๏€ผ4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจsencos, ๐‘=8๏€ผ๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’4๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉsencos
  • C๐‘=8๏Šง, ๐‘=8๏€ผ๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจcossen, ๐‘=8๏€ผ๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉcossen
  • D๐‘=4๏Šง, ๐‘=4๏€ผ๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šจcossen, ๐‘=4๏€ผ๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ๏ˆ๏Šฉcossen

Questรฃo 6

Determine as raรญzes quartas de โˆ’1, apresentando as respostas na forma trigonomรฉtrica.

  • A๐‘=๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šงsencos, ๐‘=๏€ผ๏€ผ5๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจsencos, ๐‘=๏€ผ๏€ผ7๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ7๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šฉsencos,ย ๐‘=๏€ผ๏€ผ9๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ9๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชsencos
  • B๐‘=2๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šงsencos, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ5๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ5๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจsencos, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ7๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ7๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šฉsencos,ย ๐‘=2๏€ผ๏€ผ9๐œ‹4๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ9๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชsencos
  • C๐‘=2๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡๏Šงcossen, ๐‘=2๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจcossen, ๐‘=2๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡๏Šฉcossen,ย ๐‘=2๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชcossen
  • D๐‘=๏€ป๏€ป๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹4๏‡๏‡๏Šงcossen, ๐‘=๏€ผ๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šจcossen, ๐‘=๏€ป๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹4๏‡๏‡๏Šฉcossen,ย ๐‘=๏€ผ๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹4๏ˆ๏ˆ๏Šชcossen

Questรฃo 7

Encontre as raรญzes de ๐‘ง+16=0๏Šฎ.

  • Aโˆš2๐‘’๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žง, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žง.
  • Bโˆš2๐‘’๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ, โˆš2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฃ
  • C2๐‘’๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žง, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žง
  • D๐‘’๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Žจ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Ž ๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Žข๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ, ๐‘’๏Ž ๏Žค๏‘ฝ๏Ž ๏Žฅ
  • E2๐‘’๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฆ๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žข๏‘ฝ๏Žฃ, 2๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏‘ฝ๏Žฃ

Os nรบmeros complexos que representam as raรญzes de ๐‘ง+16=0๏Šฎ sรฃo cada um ao quadrado para formar os vรฉrtices de uma nova forma. Qual รฉ a รกrea dessa forma?

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