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Lição de casa da aula: Raízes Arbitrárias de Números Complexos Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o teorema de Moivre para encontrar as enésimas raízes de um número complexo e explorar suas propriedades.

Q1:

Determine as raízes quadradas de 𝑧, sendo 𝑧=−8𝑖.

  • A{1,−1}
  • B{𝑖,−𝑖}
  • C√32+12𝑖,−√32−12𝑖
  • D{2−2𝑖,−2+2𝑖}
  • E1√2−1√2𝑖,−1√2+1√2𝑖

Q2:

Sendo 𝑧=−28+96𝑖, determine as raízes quadradas de 𝑧, sem convertê-lo para a forma trigonométrica.

  • A(8+6𝑖),−(8+6𝑖)
  • B2425−725𝑖,−2425−725𝑖
  • C−725+2425𝑖,−−725+2425𝑖
  • D(6+8𝑖),−(6+8𝑖)
  • E√2−12𝑖,−√2−12𝑖

Q3:

Utilize o teorema de De Moivre para encontrar as duas raízes quadradas de 165𝜋3−𝑖5𝜋3cossen.

  • A±2√3+2𝑖
  • B±√32+12𝑖
  • C±12−1√2𝑖
  • D±4𝑖

Q4:

Dado que 𝑧=𝜋6+𝑖𝜋6sencos, determine as raízes cúbicas de 𝑧.

  • A5𝜋9+𝑖5𝜋9cossen, −7𝜋9+𝑖−7𝜋9cossen, −𝜋9+𝑖−𝜋9cossen
  • B7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, −5𝜋9+𝑖−5𝜋9cossen, 𝜋9+𝑖𝜋9cossen
  • C5𝜋18+𝑖5𝜋18cossen, 17𝜋18+𝑖17𝜋18cossen, −7𝜋18+𝑖−7𝜋18cossen
  • D7𝜋9+𝑖7𝜋9cossen, −8𝜋9+𝑖−8𝜋9cossen, −5𝜋9+𝑖−5𝜋9cossen
  • E−7𝜋9+𝑖−7𝜋9cossen, −4𝜋9+𝑖−4𝜋9cossen, −𝜋9+𝑖−𝜋9cossen

Q5:

Encontre os valores possíveis de 1√3(𝑖)+(𝑖).

  • A−2√3, 0, e 2√3
  • B−1√3, 0, e 1√3
  • C−2, 0, e 2
  • D−1, 0, e 1
  • E−13, 0, e 13

Q6:

Resolva 𝑧=16√2+16𝑖√2.

  • A𝑧=2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • B𝑧=2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • C𝑧=4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒
  • D𝑧=32𝑒, 32𝑒, 32𝑒, 32𝑒, 32𝑒
  • E𝑧=4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒, 4𝑒

Ao desenhar essas soluções em um diagrama de Argand, ou de outra forma, descreva as propriedades geométricas das soluções.

  • AAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 2 na origem.
  • BAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1 na origem.
  • CAs raízes estão em uma linha reta.
  • DAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 4 na origem.
  • EAs raízes estão nos vértices de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 32 na origem.

Q7:

Encontre as soluções para a equação 𝑧=125𝑒. Quais são as suas propriedades geométricas?

  • A√5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio √5.
  • B5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio 5.
  • C125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒, 125𝑒; as raízes estão em uma linha reta que passa pela origem.
  • D√5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio √5.
  • E5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒, 5𝑒; as raízes estão nos vértices de um hexágono regular centrado na origem, inscrito em um círculo de raio √5.

Dê as 6ª raízes da unidade.

  • A1, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
  • B1, 𝑒, 𝑒, −1, 𝑒, 𝑒
  • C1, 𝑒, 𝑖, −1, 𝑒, −𝑖
  • D1, 𝑒, 𝑒, −1, 𝑒, 𝑒
  • E𝑒, 𝑖, 𝑒, 𝑒, −𝑖, 𝑒

Qual é a relação entre as 6ª raízes da unidade e as soluções para a equação 𝑧=125𝑒?

  • AAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • BAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 5𝑒.
  • CAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por √5𝑒.
  • DAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por √5𝑒.
  • EAs soluções para a equação são as 6ª raízes da unidade multiplicadas por 125𝑒.

Q8:

Encontre as raízes de 𝑧+16=0.

  • A√2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒.
  • B√2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒, √2𝑒
  • C2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒
  • D𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
  • E2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒

Os números complexos que representam as raízes de 𝑧+16=0 são cada um ao quadrado para formar os vértices de uma nova forma. Qual é a área dessa forma?

Q9:

Encontre as coordenadas dos vértices de um hexágono regular centralizado em (−1,2) com um vértice na origem.

Dê sua resposta como coordenadas cartesianas exatas.

  • A(0,0), 2+√32,2√3−12, 6+√32,2√3−32, (4,−2), 6−√32,−2√3−32, 2−√32,−2√3−12
  • B(0,0), (−2,0), (−3,2), (−2,4), (0,4), (1,2)
  • C(0,0), 3+2√32,√3−62, 1+2√32,√3−22, (2,−4), 1−2√32,−√3−22, 3−2√32,−√3−62
  • D(0,0), −1+2√32,√3+22, −3+2√32,√3+62, (−2,4), −3−2√32,−√3+62, −1−2√32,−√3+22
  • E(0,0), −2−√32,−2√3+12, −6−√32,−2√3+12, (−4,2), −6+√32,2√3+32, −2+√32,2√3+12

Q10:

Encontre as coordenadas dos vértices de um pentágono regular centralizado na origem com um vértice em (3,3).

Dê sua resposta como coordenadas cartesianas exatas.

  • A(3,3), 3√211𝜋15,3√211𝜋15cossen, 3√2−13𝜋15,3√2−13𝜋15cossen, 3√2−7𝜋15,3√2−7𝜋15cossen, 3√2−𝜋15,3√2−𝜋15cossen
  • B(3,3), 3√213𝜋20,3√213𝜋20cossen, 3√2−19𝜋20,3√2−19𝜋20cossen, 3√2−11𝜋20,3√2−11𝜋20cossen, 3√2−3𝜋20,3√2−3𝜋20cossen
  • C(3,3), 313𝜋20,313𝜋20sencos, 3−19𝜋20,3−19𝜋20sencos, 3−11𝜋20,3𝑐𝑜𝑠−11𝜋20sen, 3−3𝜋20,3−3𝜋20sencos
  • D(3,3), 3√213𝜋20,3√213𝜋20sencos, 3√2−19𝜋20,3√2−19𝜋20sencos, 3√2−11𝜋20,3√2−11𝜋20sencos, 3√2−3𝜋20,3√2−3𝜋20sencos
  • E(3,3), 313𝜋20,313𝜋20cossen, 3−19𝜋20,3−19𝜋20cossen, 3−11𝜋20,3−11𝜋20cossen, 3−3𝜋20,3−3𝜋20cossen

Esta aula inclui 25 questões adicionais e 155 variações de questões adicionais para assinantes.

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