Lição de casa da aula: Prova por Contradição Mathematics

Começar a praticar

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a prova por contradição para mostrar que uma afirmação matemática é sempre verdadeira.

Q1:

Um aluno tentou provar a seguinte afirmação por contradição: “Para todos os inteiros pares 𝑚 e 𝑛, o produto deles 𝑚𝑛 é divisível por 4. ” O trabalho do aluno é mostrado abaixo.

  1. Suposição: Todos os inteiros 𝑛 tal que 𝑛 é ímpar são pares.
  2. 𝑛 é par; então escreva 𝑛=2𝑘
  3. Então, 𝑛=(2𝑘)=4𝑘=22𝑘, então 𝑛 é par.
  4. Isso contradiz a suposição de que 𝑛 é ímpar.
  5. Portanto, se 𝑛 é ímpar, então 𝑛 deve ser ímpar.

Identifique o erro em seu trabalho.

  • ANa segunda frase, eles deveriam ter escrito 𝑚=2𝑘+1 e 𝑛=2𝑙+1.
  • BNa frase final, eles tiraram a conclusão errada.
  • CNa quarta frase, eles declararam a suposição errada.
  • DNa terceira frase, a álgebra está incorreta.
  • ENa primeira frase, eles deram a negação incorreta da afirmação que desejam provar.

Q2:

A Mariana quer provar por contradição que se 𝑝+𝑞 é um número irracional, então 𝑝 ou 𝑞 é irracional.

Qual das seguintes hipóteses deve o Mariana utilizar no início da sua demonstração?

  • ASuponha que 𝑝+𝑞 é um número irracional e que nem 𝑝 nem 𝑞 é irracional.
  • BSuponha que 𝑝+𝑞 é um número irracional e que tanto 𝑝 e 𝑞 são irracionais.
  • CSuponha que 𝑝+𝑞 é um número racional e que nem 𝑝 nem 𝑞 é irracional.
  • DSuponha que 𝑝+𝑞 é um número racional e que 𝑝 ou 𝑞 é irracional.
  • ESuponha que 𝑝 ou 𝑞 é um número irracional e que 𝑝+𝑞 é irracional.

Qual das seguintes afirmações é a contradição que Mariana deve obter perto do final de sua demonstração?

  • ASupor que nem 𝑝 nem 𝑞 é irracional leva à contradição de que 𝑝+𝑞 é racional.
  • BSupor que nem 𝑝 nem 𝑞 é irracional leva à contradição de que 𝑝+𝑞 é irracional.
  • CSupor que 𝑝 ou 𝑞 é irracional leva à contradição de que 𝑝+𝑞 é irracional.
  • DSupor que tanto 𝑝 e 𝑞 são irracionais leva à contradição de que 𝑝+𝑞 é racional.
  • ESupor que 𝑝+𝑞 é irracional leva à contradição de que nem 𝑝 nem 𝑞 é irracional.

O colega de turma do Mariana faz a seguinte declaração: “se 𝑝+𝑞 é um número racional, então 𝑝 ou 𝑞 deve ser racional.”

Refute a afirmação selecionando um contraexemplo adequado de entre os seguintes.

  • A𝑝=√2 e 𝑞=𝜋−√2
  • B𝑝=√2 e √3
  • C𝑝=2 e 𝑞=−3
  • D𝑝=√2 e 𝑞=2
  • E𝑝=√2 e 𝑞=2−√2

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