Atividade: Matrizes de Rotação e Reflexão

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a matriz da transformação linear que roda cada vetor um dado ângulo e reflete-os nos eixos Ox ou Oy.

Q1:

Seja que a matriz 𝐴 representa a rotação no plano através de um ângulo de 𝜃 e seja que a matriz 𝐵 representa a reflexão no eixo 𝑥.

Qual é a matriz 𝐴?

  • A𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • B𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • C𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen
  • D𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • E𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen

Qual é a matriz 𝐵?

  • A1001
  • B1001
  • C0110
  • D0110
  • E1001

Qual é a matriz 𝐴𝐵?

  • A𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • B𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • C𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen
  • D𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • E𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen

Q2:

Suponha que a matriz 𝐴 representa rotação sobre a origem através de um ângulo de 𝜃 (medindo entre 0 e 90) e a matriz 𝐵 representa a reflexão no eixo 𝑥.

Determine 𝑀=𝐴𝐵.

  • A𝑀=𝐴𝐵=𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • B𝑀=𝐴𝐵=𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • C𝑀=𝐴𝐵=𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • D𝑀=𝐴𝐵=𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • E𝑀=𝐴𝐵=𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos

Note que 𝑀 é uma reflexão em um eixo através da origem. Deixe este eixo de reflexão ter a equação 𝑦=𝑘𝑥. Considerando a imagem do vetor 1;0, determine a medida do ângulo entre o eixo 𝑥 e o eixo de reflexão.

  • A𝜋2𝜃
  • B𝜃2
  • C𝜃2
  • D𝜃
  • E𝜃

Qual é, portanto, a inclinação 𝑘 do eixo de reflexão?

  • Atg𝜃
  • Btg𝜃2
  • C𝜃tg
  • D𝜃2tg
  • Ecotg𝜃

Se 𝑣 está na direção do eixo de reflexão, qual é 𝑀𝑣?

  • A1;0
  • B𝑣
  • C0;1
  • D𝑣
  • E0;0

Resolvendo a equação obtida na parte anterior, encontre outra expressão para a inclinação 𝑘 do eixo de reflexão.

  • A𝑘=𝜃1+𝜃=1𝜃𝜃sencoscossen
  • B𝑘=𝜃1𝜃=1+𝜃𝜃cossensencos
  • C𝑘=𝜃1𝜃=1+𝜃𝜃sencoscossen
  • D𝑘=𝜃1𝜃=1𝜃𝜃sencoscossen
  • E𝑘=𝜃1+𝜃=1𝜃𝜃cossencossen

Q3:

Suponha que 𝐴 e 𝐵 são matrizes 2×2, com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 30 em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O𝑥. O que é que a matriz 𝐵𝐴 representa?

  • Auma reflexão na reta que passa pela origem com 75 de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa pela origem com 15 de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa pela origem com 75 de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa pela origem com 45 de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação

Q4:

Suponha 𝐴 e 𝐵 matrizes 2×2, com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 30 em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O𝑥. O que representa a matriz 𝐴𝐵?

  • Auma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa na origem com 75 de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa na origem com75 de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa na origem com 45 de inclinação

Q5:

Descreva o efeito geométrico da transformação produzida pela matriz 0330.

  • Auma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Buma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 90 em torno da origem
  • Cuma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Duma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 180 em torno da origem
  • Euma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 90 em torno da origem

Q6:

Qual das seguintes composições de transformações é representada pela matriz 0220?

  • Auma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Buma rotação de 180 em torno da origem seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Cuma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Duma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Euma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥

Q7:

Uma dilatação de centro na origem é composta com uma rotação em torno da origem para formar uma nova transformação linear. A transformação formada manda o vetor 34 para 3356.

Determine a matriz que representa a transformação formada.

  • A110014
  • B12,921,441,4412,92
  • C512125
  • D512125
  • E512125

Determine o fator da dilatação original.

  • Afator = 154
  • Bfator = 13
  • Cfator = 169
  • Dfator = 13
  • Efator =119

Q8:

O quadrado unitário de vértices 𝑂(0;0);𝐴(1;0);𝐵(1;1) e 𝐶(0;1), é transformado por uma rotação e depois uma dilatação. A sua imagem sob esta transformação combinada é 𝑂𝐴𝐵𝐶, como se mostra no diagrama.

Quais são as coordenadas de 𝐴?

  • A23;23
  • B32;32
  • C32;32
  • D23;23
  • E32;32

Qual é a matriz da transformação combinada?

  • A32323233
  • B32323232
  • C23232323
  • D32323232
  • E23232323

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