Atividade: Matrizes de Rotação e Reflexão

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a matriz da transformação linear que roda cada vetor um dado ângulo e reflete-os nos eixos Ox ou Oy.

Q1:

Determine a matriz em relação a uma base canónica para a transformação linear que roda cada vetor em um ângulo de 𝜋3 e depois reflete-os pelo eixo O𝑦.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 3 2 1 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q2:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋4. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 0 0 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

Q3:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 𝜋6, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥 e, finalmente, refletindo esse vetor no eixo 𝑦. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 0 0 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q4:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 2𝜋3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 1 2 0 0 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q5:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em no eixo 𝑦 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋6. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 0 0 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q6:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 𝜋3 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 1 2 0 0 1 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

Q7:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋6. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 0 0 3 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

Q8:

Uma transformação linear é formada refletindo cada vetor em no eixo 𝑥 e, em seguida, girando o vetor resultante através de um ângulo de 𝜋4. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 0 0 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

Q9:

Seja que a matriz 𝐴 representa a rotação no plano através de um ângulo de 𝜃 e seja que a matriz 𝐵 representa a reflexão no eixo 𝑥.

Qual é a matriz 𝐴?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n

Qual é a matriz 𝐵?

  • A 1 0 0 1
  • B 1 0 0 1
  • C 0 1 1 0
  • D 0 1 1 0
  • E 1 0 0 1

Qual é a matriz 𝐴𝐵?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s

Q10:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 30 no sentido anti-horário (quando visto do positivo eixo 𝑧) sobre o eixo 𝑧 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no plano 𝑥𝑦. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1
  • B 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • C 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • D 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • E 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1

Q11:

Uma transformação linear é formada girando cada vetor em através de um ângulo de 𝜋4 e, em seguida, refletindo o vetor resultante no eixo 𝑥. Encontre a matriz dessa transformação linear.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 2 2 2 2 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 0 0 2 2
  • E 2 2 2 2 2 2 2 2

Q12:

Um vetor em roda em sentido anti-horário em torno da origem um ângulo de 2𝜋3, e o resultado é refletido pelo eixo O𝑥. Determine, em relação a uma base canónica, a matriz desta transformação combinada.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 3 2 1 2 3 2 1 2

Q13:

Suponha que 𝐴 e 𝐵 são matrizes 2×2, com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 30 em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O𝑥. O que é que a matriz 𝐵𝐴 representa?

  • Auma reflexão na reta que passa pela origem com 45 de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa pela origem com 75 de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa pela origem com 15 de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa pela origem com 75 de inclinação

Q14:

Suponha 𝐴 e 𝐵 matrizes 2×2, com 𝐴 a representar uma rotação em sentido horário de 30 em torno da origem e 𝐵 a representar uma reflexão em O𝑥. O que representa a matriz 𝐴𝐵?

  • Auma reflexão na reta que passa na origem com 75 de inclinação
  • Buma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação
  • Cuma reflexão na reta que passa na origem com75 de inclinação
  • Duma reflexão na reta que passa na origem com 45 de inclinação
  • Euma reflexão na reta que passa na origem com 15 de inclinação

Q15:

Descreva o efeito geométrico da transformação produzida pela matriz 0330.

  • Auma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Buma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 90 em torno da origem
  • Cuma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Duma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 180 em torno da origem
  • Euma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 90 em torno da origem

Q16:

Qual das seguintes composições de transformações é representada pela matriz 0220?

  • A uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • Buma rotação de 180 em torno da origem seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • C uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • D uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥
  • E uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦=𝑥

Q17:

Uma dilatação de centro na origem é composta com uma rotação em torno da origem para formar uma nova transformação linear. A transformação formada manda o vetor 34 para 3356.

Determine a matriz que representa a transformação formada.

  • A 1 1 0 0 1 4
  • B 1 2 , 9 2 1 , 4 4 1 , 4 4 1 2 , 9 2
  • C 5 1 2 1 2 5
  • D 5 1 2 1 2 5
  • E 5 1 2 1 2 5

Determine o fator da dilatação original.

  • Afator = 154
  • Bfator = 13
  • Cfator = 169
  • Dfator = 13
  • Efator =119

Q18:

O quadrado unitário de vértices 𝑂(0,0),𝐴(1,0),𝐵(1,1) e 𝐶(0,1), é transformado por uma rotação e depois uma dilatação. A sua imagem sob esta transformação combinada é 𝑂𝐴𝐵𝐶, como se mostra no diagrama.

Quais são as coordenadas de 𝐴?

  • A 3 2 , 3 2
  • B 3 2 , 3 2
  • C 2 3 , 2 3
  • D 3 2 , 3 2
  • E 2 3 , 2 3

Qual é a matriz da transformação combinada?

  • A 2 3 2 3 2 3 2 3
  • B 3 2 3 2 3 2 3 2
  • C 2 3 2 3 2 3 2 3
  • D 3 2 3 2 3 2 3 3
  • E 3 2 3 2 3 2 3 2

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