Atividade: Integrais Triplos

Nesta atividade, nós vamos praticar a resolver problemas com integrais triplos assim como aplicações com integrais triplos.

Q1:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ π‘₯ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑦 𝑧       d d d .

Q2:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ 1 π‘₯ 𝑦 𝑧 2 1 4 2 3 0 d d d .

Q3:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑧 𝑦 π‘₯       d d d .

  • A 1 1 2
  • B 1 2 4
  • C 1 6
  • D 1 4 8
  • E 1 3 0

Q4:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ 𝑧 π‘₯ π‘₯ 𝑧 𝑦 𝑒 1 𝑦 0 0 2 1 𝑦 d d d .

  • A1
  • B 1 2
  • C 1 3
  • D 1 6
  • E βˆ’ 5 6

Q5:

Calcule o integral triplo ο„Έ ο„Έ ο„Έ 𝑦 𝑧 π‘₯ 𝑧 𝑦 2 1 𝑦 0 𝑧 0 2 2 d d d .

  • A 1 0 2 3
  • B 1 2 8 5
  • C 5 1 2 2 0
  • D 1 0 2 3 4 0
  • E 3 4 1 9

Q6:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ 1 𝑧 𝑦 π‘₯ 1 0 1 βˆ’ π‘₯ 0 1 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 𝑦 0 d d d .

  • A 1 3
  • B βˆ’ 1 2
  • C 1 2
  • D 1 6
  • E 1 4

Q7:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ 𝑧 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 1 0 𝑧 0 𝑦 0 𝑦 2 d d d .

  • A 𝑒 4
  • B 1 2 ( 𝑒 βˆ’ 2 )
  • C ( 𝑒 βˆ’ 2 )
  • D 1 4 ( 𝑒 βˆ’ 2 )
  • E ( 𝑒 βˆ’ 4 )

Q8:

Determine o centro de massa do sΓ³lido 𝑆 = { ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , 0 ≀ 𝑦 ≀ 1 , 0 ≀ 𝑧 ≀ 1 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 𝑦 } : com a seguinte função densidade 𝜌 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 1 .

  • A ο€Ό 1 2 , 1 2 , 1 2 
  • B ο€Ό 1 8 , 1 8 , 1 8 
  • C ο€Ό 1 6 , 1 6 , 1 6 
  • D ο€Ό 1 4 , 1 4 , 1 4 
  • E ( 4 , 4 , 4 )

Q9:

Determine o centro de massa do sΓ³lido 𝑆 =  ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) π‘₯ β‰₯ 0 , 𝑦 β‰₯ 0 , 𝑧 β‰₯ 0 , π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 ≀ π‘Ž  : 2 2 2 2 com a seguinte função densidade 𝜌 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 1 .

  • A ο€Ό 2 π‘Ž 3 , 2 π‘Ž 3 , 2 π‘Ž 3 
  • B ο€Ό 3 π‘Ž 1 6 , 3 π‘Ž 1 6 , 3 π‘Ž 1 6 
  • C ο€» π‘Ž 2 , π‘Ž 2 , π‘Ž 2 
  • D ο€Ό 3 π‘Ž 8 , 3 π‘Ž 8 , 3 π‘Ž 8 
  • E ο€Ό 8 3 π‘Ž , 8 3 π‘Ž , 8 3 π‘Ž 

Q10:

Determine o centro de massa do sΓ³lido 𝑆 = { ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , 0 ≀ 𝑦 ≀ 1 , 0 ≀ 𝑧 ≀ 1 } : com a seguinte função densidade 𝜌 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ 𝑦 𝑧 .

  • A ( 1 , 1 , 1 )
  • B ο€Ό 1 3 , 1 3 , 1 3 
  • C ο€Ό 1 2 , 1 2 , 1 2 
  • D ο€Ό 2 3 , 2 3 , 2 3 
  • E ο€Ό 3 2 , 3 2 , 3 2 

Q11:

Determine o centro de massa de um sΓ³lido 𝑆 = { ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 0 ≀ π‘₯ ≀ 1 , 0 ≀ 𝑦 ≀ 1 , 0 ≀ 𝑧 ≀ 1 } : com a seguinte função densidade 𝜌 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 2 2 2 .

  • A ο€Ό 1 2 7 , 1 2 7 , 1 2 7 
  • B ( 1 , 1 , 1 )
  • C ο€Ό 5 1 2 , 5 1 2 , 5 1 2 
  • D ο€Ό 7 1 2 , 7 1 2 , 7 1 2 
  • E ο€Ό 5 7 , 5 7 , 5 7 

Q12:

Encontre o centro de massa do sΓ³lido 𝑆 =  ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑧 β‰₯ 0 , π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 ≀ π‘Ž  :     com a função densidade dada 𝜌 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ + 𝑦 + 𝑧    .

  • A ο€Ό 0 , 0 , 5 π‘Ž 3 
  • B ο€Ό 0 , 0 , 5 π‘Ž 6 
  • C ο€Ό 0 , 0 , 5 π‘Ž 8 
  • D ο€Ό 0 , 0 , 5 π‘Ž 1 2 
  • E ο€Ό 0 , 0 , 1 2 5 π‘Ž 

Q13:

Calcule a integral tripla ο„Έ ο„Έ ο„Έ 𝑧 π‘₯ π‘₯ 𝑦 𝑧        d d d .

  • A1
  • B 1 2
  • C 1 3
  • D 1 7 2
  • E 1 1 2

Q14:

Encontre o volume dentro do cone 𝑧 = √ π‘₯  + 𝑦  , onde 0 ≀ 𝑧 ≀ 3 .

  • A ο€» 9 βˆ’ 2 √ 3  πœ‹
  • B 1 8 πœ‹
  • C √ 3 πœ‹
  • D 9 πœ‹
  • E 9 2

Q15:

Encontre o volume interno do cone 𝑧 = π‘₯  + 𝑦  , onde 0 ≀ 𝑧 ≀ 4 .

  • A 4 πœ‹
  • B 1 6 πœ‹
  • C 6 πœ‹
  • D 8 πœ‹
  • E 3 πœ‹

Q16:

Encontre o volume interno do cilindro elΓ­ptico π‘₯  π‘Ž  + 𝑦  𝑏  = 1 , onde 0 ≀ 𝑧 ≀ 2 .

  • A πœ‹ π‘Ž 𝑏
  • B 4 πœ‹ π‘Ž 𝑏
  • C πœ‹ ( π‘Ž 𝑏 ) 
  • D 2 πœ‹ π‘Ž 𝑏
  • E 4 πœ‹ ( π‘Ž 𝑏 ) 

Q17:

Encontre, em termos de πœ‹ , o volume da regiΓ£o que se encontra dentro da esfera com equação π‘₯  + 𝑦  + 𝑧  = 4 e do cilindro com equação π‘₯  + 𝑦  = 1 .

  • A πœ‹ 3 ο€½ 8 βˆ’ 3   
  • B 2 √ 3 πœ‹
  • C 2 πœ‹ 3 ο€½ 8 βˆ’ 3   
  • D 4 πœ‹ 3 ο€½ 8 βˆ’ 3   
  • E √ 3 πœ‹

Q18:

Encontre o volume interior da esfera π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 = 1    e do cone 𝑧 = √ π‘₯ + 𝑦   .

  • A πœ‹ 3 ο€Ώ 1 βˆ’ 1 √ 2 
  • B πœ‹ 1 2 ο€» 7 βˆ’ 3 √ 3 
  • C πœ‹ 9 ο€Ώ 1 βˆ’ 1 √ 2 
  • D 2 πœ‹ 3 ο€Ώ 1 βˆ’ 1 √ 2 
  • E πœ‹ 6 ο€Ώ 1 βˆ’ 1 √ 2 

Q19:

Determine o volume 𝑉 do sΓ³lido limitado pelos trΓͺs planos coordenados e o plano 3 π‘₯ + 2 𝑦 + 5 𝑧 = 6 .

Q20:

Sejam π‘Ž , 𝑏 e 𝑐 nΓΊmeros reais selecionados ao acaso do intervalo ] 0 , 1 [ . Qual Γ© a probabilidade de a equação π‘Ž π‘₯ + 𝑏 π‘₯ + 𝑐 = 0  ter pelo menos uma solução para π‘₯ ? Arredonde a resposta a quatro casas decimais.

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