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Ajuda com a lição de casa
Comece a praticar

Atividade: Encontrando Base Ortonormal

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os autovalores e a base ortonormal dos autovetores para uma matriz.

Q1:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz

  • A 1 0 0 , 1 √ 5 0 2 1 , 1 √ 5 0 − 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 − 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 − 1 2
  • D 1 0 0 , 1 √ 2 0 1 1 , 1 √ 2 0 − 1 1
  • E 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 1 0 − 1 , 1 √ 6 1 − 2 1

Q2:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz

  • A 1 0 5 , 1 0 3 2 , 5 2 4 1
  • B ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 0 √ 5 , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 5 − √ 6 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 5 2 √ 6 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
  • C 1 √ 2 6 1 0 5 , 1 √ 1 1 3 1 0 3 2 , 1 √ 6 0 2 5 2 4 1
  • D ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 √ 6 1 0 √ 5 , √ 3 0 1 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 5 − √ 6 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 1 √ 3 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 5 2 √ 6 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
  • E 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 1 0 − 1 , 1 √ 6 1 − 2 1

Q3:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz

  • A 1 3 1 1 1 , 1 6 − 1 − 1 2 , 1 2 − 1 − 1 0
  • B 1 1 1 , − 1 − 1 2 , − 1 − 1 0
  • C 1 1 1 , 1 0 − 1 , 1 − 2 1
  • D 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 6 − 1 − 1 2 , 1 √ 2 − 1 − 1 0
  • E 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 1 0 − 1 , 1 √ 6 1 − 2 1

Q4:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz

  • A 1 0 0 , 1 √ 5 0 2 1 , 1 √ 5 0 − 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 − 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 − 1 2
  • D 1 0 0 , 1 √ 2 0 1 1 , 1 √ 2 0 − 1 1
  • E 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 1 0 − 1 , 1 √ 6 1 − 2 1

Q5:

Dado que encontrar os autovalores e uma base ortonormal de autovetores para 𝐴 .

  • Aautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 1 √ 6 − 1 − 1 2 ⟷ 2 , 1 √ 2 − 1 1 0 ⟷ 1 2 , 1 √ 3 1 1 1 ⟷ 6
  • Bautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 √ 6 − 1 − 1 2 ⟷ 1 2 , 1 √ 2 − 1 1 0 ⟷ 6 , 1 √ 3 1 1 1 ⟷ 1 8
  • Cautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 √ 6 − 1 1 2 ⟷ 6 , 1 √ 2 1 1 0 ⟷ 1 2 , 1 √ 3 1 1 1 ⟷ 1 8
  • Dautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 √ 6 − 1 − 1 2 ⟷ 6 , 1 √ 2 − 1 1 0 ⟷ 1 2 , 1 √ 3 1 1 1 ⟷ 1 8
  • Eautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 1 √ 6 − 1 1 2 ⟷ 2 , 1 √ 2 1 1 0 ⟷ 6 , 1 √ 3 1 1 1 ⟷ 1 2

Q6:

Encontrar uma base ortonormal de autovetores para a matriz

  • A 1 3 1 1 1 , 1 2 − 1 1 0 , 1 6 − 1 − 1 2
  • B 1 1 1 , − 1 1 0 , − 1 − 1 2
  • C 1 1 1 , 1 0 − 1 , 1 − 2 1
  • D 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 − 1 1 0 , 1 √ 6 − 1 − 1 2
  • E 1 √ 3 1 1 1 , 1 √ 2 1 0 − 1 , 1 √ 6 1 − 2 1

Q7:

As duas superfícies de nível 2 𝑥 + 3 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0 e 3 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 𝑤 = 0 se cruzam em um subespaço de ℝ 4 . Encontre uma base para este subespaço e depois encontre uma base ortonormal para este subespaço.

  • Abase: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 2 5 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 7 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , base ortonormal: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 5 √ 6 1 6 √ 6 1 1 3 0 √ 6 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 4 6 3 1 3 5 √ 6 √ 2 0 9 1 1 2 5 4 √ 6 √ 2 0 9 1 3 3 0 √ 6 √ 2 0 9 5 2 0 9 √ 6 √ 2 0 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • Bbase: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 5 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 7 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , base ortonormal: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 5 √ 6 1 6 √ 6 1 1 3 0 √ 6 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 6 3 1 3 5 √ 6 √ 2 0 9 1 1 2 5 4 √ 6 √ 2 0 9 − 1 3 3 0 √ 6 √ 2 0 9 5 2 0 9 √ 6 √ 2 0 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • Cbase: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 5 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 7 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , base ortonormal: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 5 √ 6 1 6 √ 6 1 1 3 0 √ 6 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 4 6 3 1 3 5 √ 6 √ 2 0 9 1 1 2 5 4 √ 6 √ 2 0 9 1 3 3 0 √ 6 √ 2 0 9 5 2 0 9 √ 6 √ 2 0 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • Dbase: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 2 5 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 7 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , base ortonormal: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 5 √ 6 1 6 √ 6 1 1 3 0 √ 6 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 4 6 3 1 3 5 √ 6 √ 2 0 9 1 1 2 5 4 √ 6 √ 2 0 9 − 1 3 3 0 √ 6 √ 2 0 9 5 2 0 9 √ 6 √ 2 0 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • Ebase: ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 5 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 7 1 0 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , base ortonormal: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 6 √ 6 1 1 5 √ 6 1 1 3 0 √ 6 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 4 6 3 1 3 5 √ 6 √ 2 0 9 1 1 2 5 4 √ 6 √ 2 0 9 − 1 3 3 0 √ 6 √ 2 0 9 5 2 0 9 √ 6 √ 2 0 9 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

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