Atividade: Base Ortonormal

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os autovalores e a base ortonormal dos autovetores para uma matriz.

Q1:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz 3 0 0 0 3 2 1 2 0 1 2 3 2 .

  • A 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • D 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q2:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz 2 0 0 0 5 1 0 1 5 .

  • A 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • D 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q3:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz 1 7 7 4 7 1 7 4 4 4 1 4 .

  • A 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • B 1 1 1 , 1 1 2 , 1 1 0
  • C 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1
  • D 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q4:

Encontrar uma base ortonormal de autovetores para a matriz 1 1 1 4 1 1 1 4 4 4 1 4 .

  • A 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • B 1 1 1 , 1 1 0 , 1 1 2
  • C 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1
  • D 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q5:

Dado que 𝐴 = 1 3 1 4 1 1 3 4 4 4 1 0 , encontrar os autovalores e uma base ortonormal de autovetores para 𝐴 .

  • Aautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 1 6 1 1 2 2 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 6
  • Bautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 6 1 1 2 1 2 , 1 2 1 1 0 6 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Cautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 6 1 1 2 6 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Dautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1 6 1 1 2 6 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Eautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 1 6 1 1 2 2 , 1 2 1 1 0 6 , 1 3 1 1 1 1 2

Q6:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz 5 3 3 0 1 5 8 5 1 5 3 0 1 5 1 4 5 6 1 5 8 5 1 5 6 1 5 7 1 5 .

  • A 1 0 5 , 1 0 3 2 , 5 2 4 1
  • B 1 0 5 , 5 6 2 1 , 5 2 6 1
  • C 1 2 6 1 0 5 , 1 1 1 3 1 0 3 2 , 1 6 0 2 5 2 4 1
  • D 1 6 1 0 5 , 3 0 1 5 5 6 2 1 , 1 3 0 5 2 6 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q7:

As duas superfícies de nível 2 𝑥 + 3 𝑦 𝑧 + 𝑤 = 0 e 3 𝑥 𝑦 + 𝑧 + 2 𝑤 = 0 se cruzam em um subespaço de 4 . Encontre uma base para este subespaço e depois encontre uma base ortonormal para este subespaço.

  • Abase: 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , base ortonormal: 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9
  • Bbase: 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , base ortonormal: 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9
  • Cbase: 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , base ortonormal: 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9
  • Dbase: 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , base ortonormal: 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9
  • Ebase: 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , base ortonormal: 1 6 6 1 1 5 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9

Q8:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , e ( 1 , 0 , 0 ) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3

Q9:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores ( 3 , 4 , 0 ) , ( 7 , 1 , 0 ) , e ( 1 , 7 , 1 ) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • B 4 5 3 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • C 4 5 3 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • D 3 5 4 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • E 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1

Q10:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores ( 1 , 2 , 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , 3 , 1 ) , e ( 1 , 0 , 0 , 1 ) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3

Q11:

Qual dos seguintes é um conjunto ortonormal de vetores em ?

  • A 2 0 0 , 0 1 0 , 0 0 3
  • B 0 1 0 , 0 0 1 , 0 0 0
  • C 1 1 1 , 1 0 1
  • D 1 3 1 3 1 3 , 1 2 0 1 2

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