Atividade: Base Ortonormal

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os autovalores e a base ortonormal dos autovetores para uma matriz.

Q1:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz 3000321201232.

  • A 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1
  • B 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • D 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • E 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1

Q2:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz 200051015.

  • A 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1
  • B 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • C 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • D 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q3:

Determine uma base ortonormada de vetores próprios para a matriz 177471744414.

  • A 1 1 1 , 1 1 2 , 1 1 0
  • B 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • C 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • D 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1
  • E 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1

Q4:

Encontrar uma base ortonormal de autovetores para a matriz 111411144414.

  • A 1 1 1 , 1 1 0 , 1 1 2
  • B 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • C 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • D 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

Q5:

Dado que 𝐴=131411344410, encontrar os autovalores e uma base ortonormal de autovetores para 𝐴.

  • Aautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 1611212,121106,1311118
  • Bautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 161126,1211012,1311118
  • Cautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 161122,121106,1311112
  • Dautovalores: 6, 12 e 18, autovetores: 161126,1211012,1311118
  • Eautovalores: 2, 6 e 12, autovetores: 161122,1211012,131116

Q6:

Determine uma base ortogonal de vetores próprios para a matriz 533015851530151456158515615715.

  • A 1 0 5 , 1 0 3 2 , 5 2 4 1
  • B 1 6 1 0 5 , 3 0 1 5 5 6 2 1 , 1 3 0 5 2 6 1
  • C 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1
  • D 1 0 5 , 5 6 2 1 , 5 2 6 1
  • E 1 2 6 1 0 5 , 1 1 1 3 1 0 3 2 , 1 6 0 2 5 2 4 1

Q7:

As duas superfícies de nível 2𝑥+3𝑦𝑧+𝑤=0 e 3𝑥𝑦+𝑧+2𝑤=0 se cruzam em um subespaço de . Encontre uma base para este subespaço e depois encontre uma base ortonormal para este subespaço.

  • Abase: 25110, 71011, base ortonormal: 1156166113060, 46313562091125462091330620952096209
  • Bbase: 25110, 71011, base ortonormal: 1156166113060, 46313562091125462091330620952096209
  • Cbase: 25110, 71011, base ortonormal: 1661156113060, 46313562091125462091330620952096209
  • Dbase: 25110, 71011, base ortonormal: 1156166113060, 46313562091125462091330620952096209
  • Ebase: 25110, 71011, base ortonormal: 1156166113060, 46313562091125462091330620952096209

Q8:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores (1,2,1), (2,1,3), e (1,0,0) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3

Q9:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores (3,4,0), (7,1,0), e (1,7,1) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 4 5 3 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • B 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • C 3 5 4 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • D 4 5 3 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • E 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1

Q10:

Aplique o processo Gram-Schmidt aos vetores (1,2,1,0), (2,1,3,1), e (1,0,0,1) para encontrar uma base ortonormal para o seu período.

  • A 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3

Q11:

Qual dos seguintes é um conjunto ortonormal de vetores em ?

  • A 2 0 0 , 0 1 0 , 0 0 3
  • B 0 1 0 , 0 0 1 , 0 0 0
  • C 1 1 1 , 1 0 1
  • D 1 3 1 3 1 3 , 1 2 0 1 2

Q12:

O conjunto 𝑉={(𝑥,𝑦,𝑧)2𝑥+3𝑦𝑧=0} é um subespaço de . Encontre uma base ortonormal para este subespaço.

  • A 5 5 0 2 5 5 , 3 7 0 3 5 7 0 1 4 3 7 0 7 0
  • B 5 5 0 2 5 5 , 3 7 0 3 5 7 0 1 4 3 7 0 7 0
  • C 2 5 5 0 5 5 , 3 7 0 3 5 7 0 1 4 3 7 0 7 0
  • D 2 5 5 0 6 6 , 7 0 3 5 7 0 1 4 7 0 7 0
  • E 2 5 5 0 5 5 , 3 7 0 3 5 7 0 1 4 3 7 0 7 0

Q13:

Preencha o espaço em branco. Colunas de uma matriz 𝑛×𝑛𝐴 são uma base ortonormal para , se e somente se 𝐴 é uma matriz .

  • Aunitária
  • Bsimétrica
  • Cquadrada
  • Dnormal

Q14:

Preencha o espaço em branco. O de 𝑚 vetores ortogonais possui dimensão 𝑚.

  • Acoleção
  • Bperíodo
  • Cnúcleo
  • Dtransformação

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