Atividade: Modelando com Funções Periódicas

Nesta atividade, nós vamos praticar a modelar situações do mundo real utilizando funções periódicas.

Q1:

Uma massa presa à extremidade inferior de uma mola executa oscilações onde ( 𝑡 ) , o deslocamento em centímetros da massa a partir da sua posição de equilíbrio, pode ser modelado pela função ( 𝑡 ) = 8 ( 6 𝜋 𝑡 ) , s e n

onde 𝑡 é medido em segundos.

Encontre a amplitude, período e frequência do deslocamento.

  • Aamplitude: 8 cm, período: 3 s, frequência: 1 3 Hz
  • Bamplitude: 6 cm, período: 1 8 s, frequência: 8 Hz
  • Camplitude: 8 cm, período: 1 6 s, frequência: 6 Hz
  • Damplitude: 8 cm, período: 1 3 s, frequência: 3 Hz
  • Eamplitude: 4 cm, período: 1 6 s, frequência: 6 Hz

Q2:

Uma massa presa à extremidade inferior de uma mola executa oscilações onde ( 𝑡 ) , o deslocamento em centímetros da massa a partir da sua posição de equilíbrio, pode ser modelado pela função ( 𝑡 ) = 5 ( 6 0 𝜋 𝑡 ) , c o s

onde 𝑡 é medido em segundos.

Encontre a amplitude, período e frequência do deslocamento.

  • AAmplitude: 5 cm, período: 30 s, frequência: 1 3 0 Hz
  • BAmplitude: 5 cm, período: 1 6 0 s, frequência: 60 Hz
  • CAmplitude: 5 cm, período: 60 s, frequência: 1 6 0 Hz
  • DAmplitude: 5 cm, período: 1 3 0 s, frequência: 30 Hz
  • EAmplitude: 30 cm, período: 1 5 s, frequência: 5 Hz

Q3:

Uma massa presa à extremidade inferior de uma corda realiza oscilações em que ( 𝑡 ) , o deslocamento em centímetros da massa a partir da sua posição de equilíbrio, pode ser modelada pela função ( 𝑡 ) = 4 c o s 𝜋 2 𝑡 ,

em que 𝑡 é medida em segundos. Determine a amplitude, o período e a frequência do deslocamento.

  • Aamplitude: 4 cm, período: 1 4 s, frequência: 4 Hz
  • Bamplitude: 4 cm, período: 2 s, frequência: 1 2 Hz
  • Camplitude: 4 cm, período: 1 2 s, frequência: 2 Hz
  • Damplitude: 4 cm, período: 4 s, frequência: 1 4 Hz
  • Eamplitude: 2 cm, período: 4 s, frequência: 1 4 Hz

Q4:

Uma massa presa à extremidade inferior de uma mola executa oscilações onde ( 𝑡 ) , o deslocamento em centímetros da massa a partir da sua posição de equilíbrio, pode ser modelado pela função ( 𝑡 ) = 1 1 ( 1 2 𝜋 𝑡 ) , s e n onde 𝑡 é medido em segundos. Encontre a amplitude, período e frequência do deslocamento.

  • Aamplitude: 11 cm, período: 6 s, frequência: 1 6 H z
  • Bamplitude: 12 cm, período: 1 1 1 s, frequência: 10 Hz
  • Camplitude: 11 cm, período: 1 1 2 s, frequência: 12 Hz
  • Damplitude: 11 cm, período: 1 6 s, frequência: 6 Hz
  • Eamplitude: 5,5 cm, período: 1 1 2 s, frequência: 12 Hz

Q5:

Uma roda gigante tem 20 m de diâmetro. Um passeio nela demora 6 minutos e consiste numa revolução completa, começando e terminando no ponto mais baixo. Quando passageiros entram na roda gigante, os seus assentos estão 2 m acima do chão. Quanto tempo do passeio é passado a mais de 13 m acima do chão?

  • A 4 minutos 24 segundos
  • B 2 minutos 19 segundos
  • C 3 minutos 54 segundos
  • D 2 minutos 49 segundos
  • E 3 minutos 18 segundos

Q6:

Em uma determinada região, os picos mensais de precipitação são 24 polegadas em setembro e cai para um mínimo de 4 polegadas em março. Identifique os períodos em que a região está sob condições de inundação (maior que 22 polegadas) e condições de seca (menor de 5 polegadas). Dê sua resposta em termos do dia mais próximo.

  • Ainundações: do princípio de 23 de Janeiro ao fim de 6 de Abril, secas: do princípio de 4 de Agosto ao fim de 25 de Setembro
  • Binundações: do princípio de 4 de Fevereiro ao fim de 27 de Março, secas: do princípio de 24 de Julho ao fim de 7 de Outubro
  • Cinundações: do princípio de 4 de Agosto ao fim de 25 de Setembro 25, secas: do princípio de 23 de Janeiro ao fim de 6 de Abril
  • Dinundações: do princípio de 24 de Julho ao fim de 7 de Outubro , secas: do princípio de 4 de Fevereiro ao fim de 27 de Março
  • Einundações: do princípio de 7 de Outubro ao fim de 4 de Fevereiro , secas: do princípio de 27 de Março ao fim de 24 de Julho

Q7:

Uma mola está fixada numa extremidade e pende verticalmente. A sua extremidade inferior é puxada 11 cm abaixo da sua posição de equilíbrio e largada. Ela realiza 8 oscilações por segundo, e, após 2 segundos, a amplitude das oscilações é 6 cm. Quanto tempo demora para que a amplitude das oscilações diminua para 0,1 cm? Apresente a resposta com uma casa decimal.

Q8:

Durante a época de 90 dias de monção, a precipitação diária pode ser modelada por funções sinusoidais. Se a precipitação flutua entre 2 polegadas no dia 10 e 12 polegadas no dia 55, durante que período a precipitação é superior a 10 polegadas?

  • Ado dia 9 ao dia 35
  • Bdo dia 43 ao dia 66
  • Cdo dia 19 ao dia 45
  • Ddo dia 41 ao dia 68
  • Edo dia 64 ao dia 90

Q9:

Qual dos seguintes é o melhor modelo para as flutuações da temperatura num dia frio de inverno numa localidade em que a parte mais quente do dia é por volta das 2 da tarde e a mais fria por volta das 2 da manhã? Seja 𝑇 a temperatura em graus celsius e 𝑡 o tempo após a meia noite em horas.

  • A 𝑇 = 4 𝜋 6 ( 𝑡 + 1 3 ) + 5 s e n
  • B 𝑇 = 3 𝜋 1 2 ( 𝑡 + 7 ) + 3 0 s e n
  • C 𝑇 = 1 0 𝜋 6 ( 𝑡 8 ) + 9 s e n
  • D 𝑇 = 3 𝜋 1 2 ( 𝑡 1 4 ) + 2 c o s
  • E 𝑇 = 5 𝜋 1 2 ( 𝑡 1 5 ) + 3 c o s

Q10:

Londres fica no hemisfério norte e o número de horas de exposição solar varia ao longo do ano. A 21 de dezembro há cerca de 7 h e 49 min de luz solar, enquanto a 21 de junho há cerca de 16 h e 38 min. Qual dos seguintes modelos aproximaria melhor o número de horas de exposição solar em Londres num dado dia, em que é o número de horas de luz solar e 𝑑 o número de dias desde o primeiro de janeiro?

  • A = 5 4 4 𝜋 3 6 5 ( 𝑑 1 3 ) s e n
  • B = 2 4 3 2 𝜋 3 6 5 ( 𝑑 7 ) s e n
  • C = 9 9 4 𝜋 3 6 5 ( 𝑑 3 0 ) s e n
  • D = 1 2 4 , 4 2 𝜋 3 6 5 ( 𝑑 + 1 1 ) c o s
  • E = 3 5 2 𝜋 3 6 5 ( 𝑑 + 1 1 ) c o s

Q11:

Pedro e seus amigos foram em uma viagem a London Eye. Toda a viagem durou 30 minutos. Quando eles entraram na cabine, eles estavam 15 m acima do Rio Tâmisa. Dado que o diâmetro da London Eye é 120 m, escreva a equação para a altura, , da cabine acima do Rio Tâmisa 𝑡 minutos depois que eles entraram.

  • A = 1 5 + 𝜋 𝑡 1 5 c o s
  • B = 1 5 𝜋 𝑡 1 5 c o s
  • C = 7 5 + 6 0 𝜋 𝑡 1 5 c o s
  • D = 7 5 6 0 𝜋 𝑡 1 5 c o s
  • E = 7 5 6 0 𝜋 𝑡 3 0 c o s

Q12:

A profundidade da água em um porto de pesca é geralmente 28 metros. O movimento das marés é representado por 𝑆 = 4 ( 1 5 𝑛 ) + 2 8 s e n , onde 𝑛 é o tempo decorrido em horas após a meia-noite. Quantas vezes em um dia a profundidade da água está em 24 metros?

  • Atrês vezes
  • Bduas vezes
  • Cquatro vezes
  • Duma vez

Q13:

A flutuação da temperatura em Londres ao longo de um dia pode ser modelado utilizando uma função sinusoidal.

Sabendo que a temperatura máxima de 2 1 C foi às 3 da tarde e a temperatura mínima de 1 0 C foi às 3 da manhã, escreva uma expressão para a temperatura em ordem a 𝑡 , o número de horas após a meia-noite.

  • A 𝑇 = 5 , 5 𝜋 1 2 ( 𝑡 + 1 5 ) + 1 5 , 5 c o s
  • B 𝑇 = 5 , 5 𝜋 1 2 ( 𝑡 1 5 ) + 2 1 c o s
  • C 𝑇 = 𝜋 1 2 ( 𝑡 1 5 ) + 2 1 c o s
  • D 𝑇 = 5 , 5 𝜋 1 2 ( 𝑡 1 5 ) + 1 5 , 5 c o s
  • E 𝑇 = 𝜋 1 2 ( 𝑡 + 1 5 ) + 2 1 c o s

Por fim, determine a temperatura às 7 da tarde.

  • A 𝑇 = 1 8 , 2 5 C
  • B 𝑇 = 2 1 , 5 C
  • C 𝑇 = 1 0 , 7 4 C
  • D 𝑇 = 2 3 , 7 5 C
  • E 𝑇 = 2 0 , 1 3 C

Q14:

Temperaturas externas durante 24 h podem ser modeladas como uma função sinusoidal. Em um dia com uma temperatura média de 7 0 F , a temperatura máxima de 8 4 F é gravada às 6 da tarde. Encontre, ao mais próximo grau, a temperatura às 7 da manhã.

Q15:

Numa certa localidade, a temperatura ao longo de vários dias varia entre um mínimo de 6 4 F às 6 da manhã e um máximo de 8 6 F . Se a temperatura é modelada por uma função sinusoidal, qual é a primeira hora do dia em que a temperatura é de 7 0 F ?

  • A4h12 da manhã
  • B7h49 da manhã
  • C11h49 da noite
  • D1h49 da manhã
  • E10h12 da manhã

Q16:

O grau percentual de uma estrada é definido como a mudança na altura da estrada ao longo de uma distância horizontal de 100 pés. Por exemplo, se a estrada subir 5 pés a uma distância horizontal de 100 pés, terá um grau de 5 % .

Qual é o grau percentual de uma estrada que faz um ângulo de 4 com a horizontal?

Q17:

Uma corda está fixa numa extremidade e está pendurada verticalmente. Se a sua extremidade inferior é puxada 10 cm abaixo do seu ponto de equilíbrio e libertada. Ela realiza 22 oscilações por segundo, e, após 3 s, a amplitude das oscilações é 2 cm. Quanto tempo demora para que a amplitude das suas oscilações diminuam para 0,1 cm? Apresente a resposta com três casas decimais.

Q18:

Rafael e Lúcia foram nadar no mar às 2 da tarde, quando estava maré alta. A mudança na altura da água em relação à média anual é dada por = 5 4 𝜋 2 5 𝑡 c o s , onde 𝑡 é o tempo, em horas, depois de qualquer maré alta.

A que horas foi a próxima maré alta?

  • A2:00 am
  • B2:30 pm
  • C2:00 pm
  • D2:30 am
  • E12:00 am

Quando será a maré alta à tarde, três dias depois?

  • A5 pm
  • B12 am
  • C12 pm
  • D5 am
  • E5:30 pm

Eles querem voltar para a mesma praia três dias depois, à tarde, e gostariam que a altura da água fosse pelo menos 4 metros acima da média anual de altura. Entre que horas eles deveriam ir?

  • Aentre 6:15 pm e 4:12 am
  • Bentre 12:42 pm e 3:17 pm
  • Centre 3:42 pm e 6:17 pm
  • Dentre 3:17 pm e 1:12 am
  • Eentre 1:17 pm e 11:12 pm

Q19:

A altura de um pistão, , em polegadas pode ser modelada pela equação 𝑦 = 2 𝑥 + 5 c o s , onde 𝑥 representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela é 5 5 .

Q20:

O número de horas de luz do dia em Paris depende da estação, e é modelado por 𝑑 = 1 2 4 2 𝜋 3 6 5 ( 𝑡 + 1 0 ) c o s , onde 𝑡 é o número do dia em um ano ( 1 de Janeiro é o dia 1). De acordo com este modelo, quando a duração do dia em Paris é de 10 horas?

  • A20 de Fevereiro, 21 de Abril
  • B21 de Abril, 21 de Agosto
  • C21 de Agosto, 21 de Outubro
  • D20 de Fevereiro, 21 de Outubro
  • E20 de Janeiro, 22 de Maio

Q21:

As temperaturas exteriores ao longo de 24 h podem ser modeladas por uma função sinusoidal. Num dado dia com uma temperatura média de 8 5 F , a temperatura máxima de 1 0 5 F é registada às 5h da tarde. Determine, arredondando às unidades, a temperatura às 9h da manhã.

Q22:

Uma partícula se move ao longo do eixo 𝑥 de modo que seu deslocamento da origem 𝑂 depois de 𝑡 segundos é 7 ( 1 2 𝑡 ) s e n metros. Encontre o tempo em que o deslocamento da partícula é 7 2 metros. Use 𝑛 para denotar um inteiro não negativo arbitrário.

  • A 𝑡 = 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s , 𝑡 = 7 2 + 2 𝑛 𝜋 s e g u n d o s
  • B 𝑡 = 𝜋 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s , 𝑡 = 7 𝜋 6 + 2 𝑛 𝜋 s e g u n d o s
  • C 𝑡 = 7 𝜋 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s , 𝑡 = 7 𝜋 6 + 2 𝑛 𝜋 s e g u n d o s
  • D 𝑡 = 7 𝜋 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s , 𝑡 = 1 1 𝜋 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s
  • E 𝑡 = 𝜋 7 2 + 𝑛 𝜋 6 s e g u n d o s , 𝑡 = 7 2 + 2 𝑛 𝜋 s e g u n d o s

Q23:

As temperaturas exteriores ao longo de 24 h podem ser modeladas por uma função sinusoidal com a temperatura máxima diária a ocorrer após o meio dia. Num dado dia quando a primeira temperatura média é registada às 10h da manhã, a temperatura varia entre 4 7 F e 6 3 F . Após a meia noite, quando é que a temperatura alcança pela primeira vez os 5 1 F ?

Q24:

A área de gelo no mar do Pólo Sul flutua entre os 18 milhões de quilómetros quadrados em setembro e os 3 milhões de quilómetros quadrados em março. Assumindo uma flutuação sinusoidal, quando é que há mais de 15 milhões de quilómetros quadrados de gelo no mar? Apresente a resposta como um intervalo de datas.

  • Ade 15 de janeiro a 16 de junho
  • Bde 10 de setembro a 19 de fevereiro
  • Cde 7 de julho a 24 de novembro
  • Dde 7 de julho a 24 de outubro
  • Ede 10 de julho a 1 de setembro

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