Atividade: Método dos Discos para Rotações em torno da Horizontal

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular o volume de um sólido por revolução de uma região bidimensional em torno do eixo Ox utilizando o método do disco.

Q1:

Considera a região limitada pelas curvas 𝑦=𝑥+4, 𝑦=0, 𝑥=0, e 𝑥=3. Determine o volume do sólido de revolução criado pela rotação desta região em torno do eixo O𝑥.

  • A186
  • B 3 3 𝜋 2
  • C93
  • D 9 3 𝜋
  • E 1 8 6 𝜋

Q2:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦=𝑥+1 e as retas 𝑦=0 e 𝑥=4 em torno do eixo O𝑥.

  • A 2 5 𝜋
  • B25
  • C 2 5 𝜋 4
  • D 2 5 𝜋 2
  • E 2 5 2

Q3:

Considere a região limitada pela curva 𝑦=5𝑒 e as retas 𝑦=0, 𝑥=4, e 𝑥=4. Formule o integral para o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno do eixo O𝑥.

  • A 2 5 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • B 5 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • C 5 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • D 1 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • E 2 5 𝜋 𝑒 𝑥 d

Q4:

Considere a região limitada pela curva 𝑦=33𝑥cos e as retas 𝑦=0, 𝑥=𝜋6, e 𝑥=𝜋6. Formule um integral para o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno do eixo O𝑥.

  • A 6 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • B 3 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • C 1 2 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • D 9 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • E 1 8 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d

Q5:

Encontre o volume do sólido gerado girando a região limitada pela curva 𝑦=1𝑥 e a linha reta 𝑥=4 numa revolução completa sobre o eixo 𝑥.

  • A 1 6 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • B 2 5 𝜋 2 unidades cúbicas
  • C 1 6 1 5 unidades cúbicas
  • D 2 5 2 unidades cúbicas

Q6:

Encontre o volume do sólido obtido girando a região limitada pelas curvas 𝑦=4+𝑥sec e 𝑦=6 sobre 𝑦=4 onde 𝑥(𝜋2,𝜋2). Dê sua resposta aproximada a duas casas decimais.

Q7:

Considere a região limitada pela curva 𝑦=34𝑥cos e as retas 𝑦=0, 𝑥=𝜋8, e 𝑥=𝜋8. Forme uma integral para o volume do sólido obtido girando aquela região sobre 𝑦=4.

  • A 𝜋 9 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • B 𝜋 2 4 4 𝑥 9 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • C 𝜋 6 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • D 𝜋 4 8 4 𝑥 1 8 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • E 𝜋 3 4 𝑥 𝑥 c o s d

Q8:

Escreva um integral para o volume de um sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦=𝑒 e as retas 𝑦=0, 𝑥=5 e 𝑥=5 em torno de 𝑦=5.

  • A 2 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • B 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d
  • C 𝜋 𝑒 2 5 𝑥 d
  • D 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • E 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d

Q9:

Considere a região entre as curvas 𝑦=5𝑥 e 𝑥+𝑦=2, para 𝑦0. Determine o volume do sólido de revolução obtido por rotação dessa região em torno do eixo O𝑥, apresentando a resposta arredondada com duas casas decimais.

Q10:

Encontre o volume do sólido obtido girando a região limitada pelas curvas 𝑦=𝑥sen, 𝑦=𝑥cos, 𝑥=𝜋6, e 𝑥=𝜋4 sobre 𝑦=1. Dê sua resposta aproximada a duas casas decimais.

Q11:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦=6𝑥 e a reta 𝑦=5 em torno do eixo O𝑥.

  • A 7 2 𝜋 5
  • B 3 6 𝜋 5
  • C 4 𝜋 3
  • D 1 4 4 𝜋 5
  • E 3 2 2 𝜋 5

Q12:

Calcule o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva 𝑦=45𝑥 e as retas 𝑥=2, 𝑥=8, e 𝑦=0 considerando uma revolução completa em torno do eixo 𝑥.

  • A 6 2 5 unidades cúbicas
  • B 6 𝜋 2 5 unidades cúbicas
  • C 2 𝜋 5 unidades cúbicas
  • D 3 𝜋 1 0 unidades cúbicas

Q13:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pelas curvas 𝑦=8𝑥 e 𝑥=𝑦 em torno de 𝑦=5.

  • A 1 9 1 𝜋 9 6 0
  • B 1 9 1 𝜋 2 4 0
  • C 3 𝜋 8 0
  • D 3 𝜋 1 6 0
  • E 1 9 1 𝜋 4 8 0

Q14:

Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva 𝑦=𝑥+2𝑥 e pelo eixo 𝑥 por uma revolução completa sobre o eixo 𝑥.

  • A 1 6 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • B 8 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • C 3 2 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • D 1 6 𝜋 1 5 unidades cúbicas

Q15:

Encontre o volume do sólido gerado rotacionando a região limitada pela curva 𝑦=𝑥+2, o eixo 𝑥, e as duas retas 𝑥=2 e 𝑥=1 através de uma revolução completa sobre o eixo 𝑥.

  • A 1 5 3 5 unidades cúbicas
  • B 9 𝜋 unidades cúbicas
  • C9 unidades cúbicas
  • D 1 5 3 𝜋 5 unidades cúbicas

Q16:

Determine, com duas casas decimais, o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦=3𝑒 e as retas 𝑦=0, 𝑥=1, e 𝑥=1 em torno do eixo O𝑥.

Q17:

Formule um integral para o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 9𝑥+𝑦=9 em torno de 𝑦=5.

  • A 3 0 1 𝑥 𝑥 d
  • B 6 0 𝜋 1 𝑥 𝑥 d
  • C 6 0 1 𝑥 𝑥 d
  • D 3 0 𝜋 1 𝑥 𝑥 d
  • E 1 5 𝜋 1 𝑥 𝑥 d

Q18:

Determine o volume do sólido gerado por revolução da região limitada pela curva 𝑦=𝑥2 e as retas 𝑥=1 e 𝑦=3 numa rotação completa em torno do eixo O𝑥.

  • A 2 8 𝜋 3 unidades cúbicas
  • B 1 4 𝜋 unidades cúbicas
  • C 2 8 3 unidades cúbicas
  • D14 unidades cúbicas

Q19:

Qual das seguintes opções tem um volume de 𝜋25𝑥d?

  • A um cilindro circular reto cuja altura é 5 unidades
  • B um cilindro circular reto cuja altura é 15 unidades
  • C uma esfera cujo comprimento do raio é 25 unidades
  • D uma esfera cujo comprimento do raio é 5 unidades
  • E um cone circular reto cuja altura é 15 unidades

Q20:

Determine, para duas casas decimais, o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas 𝑥=5𝑦 e 𝑥=2𝑦 sobre 𝑥=3.

Q21:

Configure uma integral para o volume do sólido obtido girando a região limitada pela curva 4𝑥+𝑦=4 sobre 𝑥=2.

  • A 1 6 1 𝑦 4 𝑦 d
  • B 1 6 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • C 8 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • D 4 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • E 8 1 𝑦 4 𝑦 d

Q22:

Considere a região limitada pelas curvas 𝑦=𝑥, 𝑦=0, e 𝑥=2. Determine o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno de 𝑥=3.

  • A 1 1 2 𝜋 5
  • B 1 2 8 𝜋 5
  • C 5 6 𝜋 5
  • D 9 6 𝜋 5
  • E 6 4 𝜋 5

Q23:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pelas curvas 𝑥=65𝑦 e 𝑥=𝑦 em torno do eixo O𝑦.

  • A 1 2 4 𝜋 1 5
  • B 2 𝜋 9
  • C 4 2 𝜋
  • D 3 7 6 𝜋 9
  • E 1 8 8 𝜋 9

Q24:

Encontre o volume do sólido gerado rotacionando, através de uma revolução completa sobre o eixo 𝑦, a região limitada pela curva 9𝑥𝑦=0 e as retas 𝑥=0, 𝑦=9, e 𝑦=0.

  • A27 unidades cúbicas
  • B 3 𝜋 unidades cúbicas
  • C 2 7 𝜋 unidades cúbicas
  • D3 unidades cúbicas

Q25:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦=𝑥 e a reta 𝑥=3𝑦 em torno do eixo O𝑦.

  • A 3 2 4 𝜋 5
  • B 8 1 𝜋
  • C 1 6 2 𝜋 5
  • D 9 𝜋 2
  • E 2 4 3 𝜋 5

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