Atividade: Método dos Discos para Rotações em torno da Horizontal

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular o volume de um sólido por revolução de uma região bidimensional em torno do eixo Ox utilizando o método do disco.

Q1:

Considera a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥 + 4 , 𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 , e 𝑥 = 3 . Determine o volume do sólido de revolução criado pela rotação desta região em torno do eixo O 𝑥 .

  • A 1 8 6 𝜋
  • B93
  • C186
  • D 9 3 𝜋
  • E 3 3 𝜋 2

Q2:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 + 1 e as retas 𝑦 = 0 e 𝑥 = 4 em torno do eixo O 𝑥 .

  • A 2 5 𝜋
  • B 2 5 2
  • C25
  • D 2 5 𝜋 2
  • E 2 5 𝜋 4

Q3:

Considere a região limitada pela curva 𝑦 = 5 𝑒 e as retas 𝑦 = 0 , 𝑥 = 4 , e 𝑥 = 4 . Formule o integral para o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno do eixo O 𝑥 .

  • A 2 5 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • B 5 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • C 1 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • D 5 0 𝜋 𝑒 𝑥 d
  • E 2 5 𝜋 𝑒 𝑥 d

Q4:

Considere a região limitada pela curva 𝑦 = 3 3 𝑥 c o s e as retas 𝑦 = 0 , 𝑥 = 𝜋 6 , e 𝑥 = 𝜋 6 . Formule um integral para o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno do eixo O 𝑥 .

  • A 6 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • B 9 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • C 3 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • D 1 8 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d
  • E 1 2 𝜋 3 𝑥 𝑥 c o s d

Q5:

Encontre o volume do sólido obtido girando a região limitada pelas curvas 𝑦 = 4 + 𝑥 s e c e 𝑦 = 6 sobre 𝑦 = 4 onde 𝑥 ( 𝜋 2 , 𝜋 2 ) . Dê sua resposta aproximada a duas casas decimais.

Q6:

Considere a região limitada pela curva 𝑦 = 3 4 𝑥 c o s e as retas 𝑦 = 0 , 𝑥 = 𝜋 8 , e 𝑥 = 𝜋 8 . Forme uma integral para o volume do sólido obtido girando aquela região sobre 𝑦 = 4 .

  • A 𝜋 9 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • B 𝜋 3 4 𝑥 𝑥 c o s d
  • C 𝜋 4 8 4 𝑥 1 8 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • D 𝜋 2 4 4 𝑥 9 4 𝑥 𝑥 c o s c o s d
  • E 𝜋 6 4 𝑥 𝑥 c o s d

Q7:

Escreva um integral para o volume de um sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑒 e as retas 𝑦 = 0 , 𝑥 = 5 e 𝑥 = 5 em torno de 𝑦 = 5 .

  • A 2 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • B 𝜋 𝑒 2 5 𝑥 d
  • C 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d
  • D 𝜋 𝑒 + 1 0 𝑒 𝑥 d
  • E 𝜋 𝑒 + 2 5 𝑥 d

Q8:

Considere a região entre as curvas 𝑦 = 5 𝑥 e 𝑥 + 𝑦 = 2 , para 𝑦 0 . Determine o volume do sólido de revolução obtido por rotação dessa região em torno do eixo O 𝑥 , apresentando a resposta arredondada com duas casas decimais.

Q9:

Encontre o volume do sólido obtido girando a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥 s e n , 𝑦 = 𝑥 c o s , 𝑥 = 𝜋 6 , e 𝑥 = 𝜋 4 sobre 𝑦 = 1 . Dê sua resposta aproximada a duas casas decimais.

Q10:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 6 𝑥 e a reta 𝑦 = 5 em torno do eixo O 𝑥 .

  • A 1 4 4 𝜋 5
  • B 3 2 2 𝜋 5
  • C 3 6 𝜋 5
  • D 7 2 𝜋 5
  • E 4 𝜋 3

Q11:

Calcule o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 4 5 𝑥 e as retas 𝑥 = 2 , 𝑥 = 8 , e 𝑦 = 0 considerando uma revolução completa em torno do eixo 𝑥 .

  • A 3 𝜋 1 0 unidades cúbicas
  • B 6 2 5 unidades cúbicas
  • C 2 𝜋 5 unidades cúbicas
  • D 6 𝜋 2 5 unidades cúbicas

Q12:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pelas curvas 𝑦 = 8 𝑥 e 𝑥 = 𝑦 em torno de 𝑦 = 5 .

  • A 1 9 1 𝜋 9 6 0
  • B 3 𝜋 1 6 0
  • C 3 𝜋 8 0
  • D 1 9 1 𝜋 4 8 0
  • E 1 9 1 𝜋 2 4 0

Q13:

Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑥 e pelo eixo 𝑥 por uma revolução completa sobre o eixo 𝑥 .

  • A 8 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • B 3 2 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • C 1 6 𝜋 1 5 unidades cúbicas
  • D 1 6 𝜋 1 5 unidades cúbicas

Q14:

Encontre o volume do sólido gerado rotacionando a região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 + 2 , o eixo 𝑥 , e as duas retas 𝑥 = 2 e 𝑥 = 1 através de uma revolução completa sobre o eixo 𝑥 .

  • A9 unidades cúbicas
  • B 1 5 3 5 unidades cúbicas
  • C 9 𝜋 unidades cúbicas
  • D 1 5 3 𝜋 5 unidades cúbicas

Q15:

Determine, com duas casas decimais, o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 3 𝑒 e as retas 𝑦 = 0 , 𝑥 = 1 , e 𝑥 = 1 em torno do eixo O 𝑥 .

Q16:

Formule um integral para o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 9 𝑥 + 𝑦 = 9 em torno de 𝑦 = 5 .

  • A 6 0 1 𝑥 𝑥 d
  • B 3 0 𝜋 1 𝑥 𝑥 d
  • C 1 5 𝜋 1 𝑥 𝑥 d
  • D 6 0 𝜋 1 𝑥 𝑥 d
  • E 3 0 1 𝑥 𝑥 d

Q17:

Determine o volume do sólido gerado por revolução da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 2 e as retas 𝑥 = 1 e 𝑦 = 3 numa rotação completa em torno do eixo O 𝑥 .

  • A14 unidades cúbicas
  • B 2 8 3 unidades cúbicas
  • C 1 4 𝜋 unidades cúbicas
  • D 2 8 𝜋 3 unidades cúbicas

Q18:

Qual das seguintes opções tem um volume de 𝜋 2 5 𝑥 d ?

  • A um cone circular reto cuja altura é 15 unidades
  • B uma esfera cujo comprimento do raio é 25 unidades
  • C uma esfera cujo comprimento do raio é 5 unidades
  • D um cilindro circular reto cuja altura é 15 unidades
  • E um cilindro circular reto cuja altura é 5 unidades

Q19:

Determine, para duas casas decimais, o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas 𝑥 = 5 𝑦 e 𝑥 = 2 𝑦 sobre 𝑥 = 3 .

Q20:

Configure uma integral para o volume do sólido obtido girando a região limitada pela curva 4 𝑥 + 𝑦 = 4 sobre 𝑥 = 2 .

  • A 1 6 1 𝑦 4 𝑦 d
  • B 8 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • C 4 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • D 1 6 𝜋 1 𝑦 4 𝑦 d
  • E 8 1 𝑦 4 𝑦 d

Q21:

Considere a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 0 , e 𝑥 = 2 . Determine o volume do sólido obtido por rotação desta região em torno de 𝑥 = 3 .

  • A 9 6 𝜋 5
  • B 6 4 𝜋 5
  • C 1 2 8 𝜋 5
  • D 5 6 𝜋 5
  • E 1 1 2 𝜋 5

Q22:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pelas curvas 𝑥 = 6 5 𝑦 e 𝑥 = 𝑦 em torno do eixo O 𝑦 .

  • A 1 8 8 𝜋 9
  • B 4 2 𝜋
  • C 2 𝜋 9
  • D 3 7 6 𝜋 9
  • E 1 2 4 𝜋 1 5

Q23:

Encontre o volume do sólido gerado rotacionando, através de uma revolução completa sobre o eixo 𝑦 , a região limitada pela curva 9 𝑥 𝑦 = 0 e as retas 𝑥 = 0 , 𝑦 = 9 , e 𝑦 = 0 .

  • A 2 7 𝜋 unidades cúbicas
  • B3 unidades cúbicas
  • C27 unidades cúbicas
  • D 3 𝜋 unidades cúbicas

Q24:

Determine o volume do sólido obtido por rotação da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑥 e a reta 𝑥 = 3 𝑦 em torno do eixo O 𝑦 .

  • A 3 2 4 𝜋 5
  • B 2 4 3 𝜋 5
  • C 8 1 𝜋
  • D 1 6 2 𝜋 5
  • E 9 𝜋 2

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