Atividade: Linha de Regressão dos Mínimos Quadrados

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar e utilizar a equação de linha de regressão dos mínimos quadrados.

Q1:

O gráfico de dispersão mostra um conjunto de dados para os quais um modelo de regressão linear parece apropriado.

Os dados utilizados para construir este gráfico de dispersão são fornecidos na tabela abaixo.

𝑥 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
𝑦 9,25 7,6 8,25 6,5 5,45 4,5 1,75 1,8

Calcule a equação da linha de regressão de mínimos quadrados de 𝑦 em 𝑥, arredondando os coeficientes de regressão para o milésimo mais próximo.

  • A 𝑦 = 1 0 , 6 5 7 2 , 2 3 1 𝑥
  • B 𝑦 = 4 , 0 9 4 + 0 , 6 8 6 𝑥
  • C 𝑦 = 9 , 9 7 3 2 , 1 5 0 𝑥
  • D 𝑦 = 6 , 8 1 9 0 , 5 2 5 𝑥
  • E 𝑦 = 1 0 , 2 3 5 1 , 0 7 8 𝑥

Q2:

Utilizando a informação da tabela, encontre a reta de regressão ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Aproxime 𝑎 e 𝑏 para a terceira casa decimal.

Área Cultivada em Feddan 126 13 104 180 38 161 14 99 55 177
Colheita da Produção de Verão em Quilogramas 160 40 80 340 260 200 280 280 140 100
  • A ̂ 𝑦 = 0 , 2 0 1 𝑥 + 1 6 8 , 5 6 3
  • B ̂ 𝑦 = 0 , 2 0 1 𝑥 + 2 0 7 , 4 3 7
  • C ̂ 𝑦 = 0 , 0 3 4 𝑥 + 1 6 8 , 5 6 3
  • D ̂ 𝑦 = 1 6 8 , 5 6 3 𝑥 + 0 , 2 0 1

Q3:

A tabela mostra o preço do barril de petróleo e o crescimento econômico. Usando as informações da tabela, encontre a equação da reta de regressão ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Aproxime 𝑎 e 𝑏 para a terceira casa decimal.

Preço de um Barril de Petróleo em Dólares 50,40 55,30 63 70,70 83,60 94,10 102,50 118
Taxa de Crescimento Econômico 1 0,5 0,5 1 2,8 3,9 4,9 5
  • A ̂ 𝑦 = 0 , 0 0 4 𝑥 5 , 1 3 2
  • B ̂ 𝑦 = 5 , 1 3 2 𝑥 + 0 , 0 9 2
  • C ̂ 𝑦 = 0 , 0 9 2 𝑥 + 9 , 5 3 2
  • D ̂ 𝑦 = 0 , 0 9 2 𝑥 5 , 1 3 2

Q4:

A tabela mostra a relação entre as variáveis 𝑥 e 𝑦. Encontre a equação da reta de regressão da forma ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Aproxime 𝑎 e 𝑏 para a terceira casa decimal.

𝑥 10 22 22 13 16 21
𝑦 25 18 24 25 12 17
  • A ̂ 𝑦 = 2 6 , 6 8 4 𝑥 0 , 3 7 6
  • B ̂ 𝑦 = 0 , 3 7 6 𝑥 + 1 3 , 6 4 9
  • C ̂ 𝑦 = 0 , 0 1 3 𝑥 + 2 6 , 6 8 4
  • D ̂ 𝑦 = 0 , 3 7 6 𝑥 + 2 6 , 6 8 4

Q5:

Utilizando as informações da tabela, estime o valor de 𝑦 quando 𝑥=13. Dê sua resposta aproximada ao inteiro mais próximo.

𝑥 23 9 24 15 7 12
𝑦 22 24 25 13 21 9

Q6:

Utilizando as informações da tabela, encontre o erro em 𝑦 se 𝑥=22. Dê sua resposta aproximada ao inteiro mais próximo.

𝑥 26 22 28 15 30 10 25 29
𝑦 5 4 12 7 14 10 13 15
  • A1
  • B0
  • C17
  • D6

Q7:

A tabela mostra o preço do barril de petróleo e o crescimento econômico. Usando as informações da tabela, estime o crescimento econômico se o preço do barril de petróleo for de 35,40 dólares.

Preço de um Barril de Petróleo em Dólares 26 13,30 22,90 12,40 26,70 17,90 23,60 37,40
Taxa de Crescimento Econômico 1,8 0,4 3,7 2,3 3,2 2,7 0,5 0,3
  • A2,5
  • B0,2
  • C1,5
  • D2,4

Q8:

Dado que os pontos (3,9) e (2,4) encontram-se em uma reta de regressão 𝑦 em 𝑥, qual dos seguintes pontos não está na mesma reta?

  • A ( 2 0 , 9 4 )
  • B ( 1 0 , 5 6 )
  • C ( 1 6 , 6 9 )
  • D ( 1 2 , 5 4 )

Q9:

A tabela a seguir mostra a relação entre a vida útil dos carros em anos e seu preço de venda em milhares de libras. Encontre a equação da reta de regressão na forma ̂𝑦=𝑎+𝑏𝑥, escrevendo 𝑎 e 𝑏 para 3 casas decimais.

Vida Útil do Carro (𝑥) 5 2 2 3 5 5 1 2
Preço de Venda (𝑦) 71 83 60 90 93 70 41 45
  • A ̂ 𝑦 = 6 , 8 2 8 𝑥 + 9 0 , 4 6 3
  • B ̂ 𝑦 = 0 , 7 3 6 𝑥 + 4 7 , 7 8 8
  • C ̂ 𝑦 = 4 7 , 7 8 8 𝑥 + 6 , 8 2 8
  • D ̂ 𝑦 = 6 , 8 2 8 𝑥 + 4 7 , 7 8 8

Q10:

Para um determinado conjunto de dados, 𝑥=47, 𝑦=45,75, 𝑥=329, 𝑦=389,3125, 𝑥𝑦=310,25, e 𝑛=8. Calcular o valor do coeficiente de regressão 𝑏 no modelo de regressão de mínimos quadrados 𝑦=𝑎+𝑏𝑥. Dê sua resposta correta para três casas decimais.

  • A 𝑏 = 0 , 7 8 4
  • B 𝑏 = 0 , 1 8 8
  • C 𝑏 = 0 , 6 1 6
  • D 𝑏 = 0 , 1 7 6
  • E 𝑏 = 0 , 9 8 9

Q11:

A latitude (𝑥) e as temperaturas médias em fevereiro (𝑦, medidas em C) de 10 cidades do mundo foram medidas. O modelo de regressão linear dos mínimos quadrados calculado para esses dados foi 𝑦=35,70,713𝑥.

Qual é a interpretação do valor de 0,713 no modelo?

  • APara cada grau adicional de latitude, a temperatura média diminuiu 0,713C.
  • BPara cada grau adicional de latitude, a temperatura média aumentou 0,713C.
  • CPara cada adicional 0,713 graus de latitude, a temperatura média diminuiu 1C.
  • DÉ a temperatura média em fevereiro para uma cidade de latitude 0 (no equador).
  • EÉ o 𝑦 interceptado da reta de regressão.

Qual é a interpretação do valor de 35,7 no modelo?

  • APara cada grau adicional de latitude, a temperatura média aumentou 0,713C.
  • BÉ o gradiente da reta de regressão.
  • CPara cada grau adicional de latitude, a temperatura média diminuiu 0,713C.
  • DPara cada adicional 0,713 graus de latitude, a temperatura média diminuiu 1C.
  • EÉ a temperatura média em fevereiro para uma cidade de latitude 0 (no equador).

Q12:

A câmara municipal está a investir em melhorar os seus serviços com autocarros. Num período de cinco anos, recolheram dados sobre a quantidade de dinheiro investido na carreira de cada autocarro (𝑥, medida em centenas de dólares) e a percentagem de serviços de autocarros com pontualidade (𝑦, medida em %). Verificam que os dados podem ser descritos pelo modelo de regressão linear 𝑦=52,3+2,7𝑥.

Qual é a interpretação do valor 2,7 no modelo de regressão?

  • ARepresenta a percentagem de serviços de autocarro que são pontuais sem investimento.
  • BÉ o valor da interseção com O𝑦 da reta de regressão.
  • CPor cada $100 de investimento, 2,7% dos serviços de autocarros são pontuais.
  • DPor cada $52,3 de investimento, 2,7% dos serviços de autocarro são pontuais.

Qual é a interpretação do valor 52,3 no modelo de regressão?

  • ARepresenta a percentagem de serviços de autocarro que são pontuais sem investimento.
  • BPor cada $100 de investimento, 2,7% dos serviços de autocarros são pontuais.
  • CÉ o declive da reta de regressão.
  • DRepresenta a percentagem de serviços de autocarro que são pontuais com $100 de investimento.

Q13:

A relação entre as distâncias saltadas por atletas de salto em comprimento (𝑥)metros e salto em altura (𝑦)metros durante o heptatlo feminino no Jogos Olímpicos no Rio em 2016 pode ser modelada pela regressão linear 𝑦=0,218𝑥+0,483.

Qual é a interpretação do valor 0,218 no modelo de regressão?

  • APara cada metro a mais saltado no salto em altura, os atletas saltaram em média uns 0,218 metros a mais no salto em comprimento.
  • BPor cada metro a mais saltado no salto em comprimento, os atletas saltaram, em média, uns 0,218 metros a mais no salto em altura.
  • CEste é o resultado previsto no salto em altura para um atleta que saltou 0 metros na competição de salto em comprimento.
  • DEste é o valor da interseção com O𝑦 da reta de regressão.

Qual é a interpretação do valor 0,483 no modelo de regressão?

  • AEste é o resultado previsto no salto em altura, em metros, para um atleta que saltou 0 metros na competição de salto em comprimento.
  • BÉ o declive da reta de regressão.
  • CPara cada metro a mais saltado no salto em comprimento, os atletas saltaram em média uns 0,483 metros no salto em altura.
  • DÉ o valor da interseção com O𝑥 da reta de regressão.
  • EEste é o resultado previsto no salto em comprimento, em metros, para um atleta que saltou 0 metros na competição de salto em altura.

A interpretação do valor 0,483 será razoável tendo em conta o contexto dos dados?

  • Asim
  • BNão, o modelo foi excessivamente extrapolado e, portanto, não é de confiança.

Faça uma estimativa, arredondando às centésimas do metro, do resultado de salto em altura esperado para um atleta que saltou 6,03 m na competição de salto em comprimento.

  • A1,31 metros
  • B1,80 metros
  • C5,55 metros
  • D4,22 metros
  • E3,13 metros

Q14:

Um modelo linear foi ajustado a três conjuntos de dados. O gráfico residual para cada conjunto de dados é mostrado. Para qual conjunto de dados é um modelo linear apropriado?

  • A B
  • B C
  • C A

Q15:

Dada a reta de regressão ̂𝑦=7,3𝑥5,9, determine o valor esperado de 𝑦 quando 𝑥=30.

Q16:

Um vendedor de sorvetes registra dados sobre o número de sorvetes vendidos todos os dias e a temperatura ao meio-dia durante o período de abril a novembro. Ele encaixa um modelo de regressão linear da forma 𝑦=𝑎+𝑏𝑥 aos dados. Você espera que o coeficiente de regressão 𝑏 seja positivo ou negativo neste contexto?

  • Apositivo
  • Bnegativo

Q17:

Duas variáveis 𝑋 e 𝑌 tem um coeficiente de correlação de 𝑟 e seus desvios médio e padrão são denotados por 𝑋,𝑌,𝑠, e 𝑠, respectivamente. Qual das seguintes é a fórmula para calcular a inclinação, 𝑏, da linha de regressão de mínimos quadrados 𝑌=𝑎+𝑏𝑋?

  • A 𝑠 𝑟 𝑠
  • B 𝑟 𝑠 𝑠
  • C 𝑟 𝑠 𝑠
  • D 𝑠 𝑠
  • E 𝑠 𝑠

Q18:

O gráfico de dispersão mostra os resultados de salto em altura e salto em distancia conseguidos por 15 competidores na competição de heptathlon feminino nas Olimpíadas do Rio de 2016.

Um modelo linear parece ser apropriado para modelar esse conjunto de dados?

  • Anão
  • Bsim

Você esperaria que o coeficiente de regressão desse modelo fosse positivo ou negativo?

  • Apositivo
  • Bnegativo

A tabela de dados mostra os dados numéricos usados para produzir o diagrama de dispersão.

Salto em Distância (m) 5,51 5,72 5,81 5,88 5,91 6,05 6,08 6,10 6,16 6,19 6,31 6,31 6,34 6,48 6,58
Salto em Altura (m) 1,65 1,77 1,83 1,77 1,77 1,77 1,8 1,77 1,8 1,86 1,86 1,83 1,89 1,86 1,98

Representando salto em distância por 𝑥 e salto em altura por 𝑦, encontre os valores de 𝑆,𝑆, e 𝑆 para o milésimo mais próximo.

  • A 𝑆 = 1 , 0 0 2 , 𝑆 = 0 , 1 2 1 , 𝑆 = 0 , 6 3 7
  • B 𝑆 = 0 , 1 6 4 , 𝑆 = 0 , 5 5 , 𝑆 = 1 , 2 3 7
  • C 𝑆 = 1 , 1 9 6 , 𝑆 = 0 , 0 7 7 , 𝑆 = 0 , 2 6 1
  • D 𝑆 = 0 , 4 0 7 , 𝑆 = 1 , 1 5 7 , 𝑆 = 0 , 4 7 1
  • E 𝑆 = 1 , 3 9 2 , 𝑆 = 0 , 1 1 , 𝑆 = 0 , 0 5 7

Então, calcule a equação da reta de regressão de 𝑦 em 𝑥.

  • A 𝑦 = 0 , 3 4 9 𝑥 + 1 , 1 5 7
  • B 𝑦 = 1 , 1 5 7 𝑥 + 0 , 3 4 9
  • C 𝑦 = 0 , 4 8 3 𝑥 + 0 , 2 1 8
  • D 𝑦 = 1 , 2 4 5 𝑥 + 0 , 4 8 3
  • E 𝑦 = 0 , 2 1 8 𝑥 + 0 , 4 8 3

Q19:

Leonardo realizou um experimento estatístico para medir o número de gols em função do número de jogos de futebol. Com o número de jogos de futebol como sua variável independente e o número de gols como sua variável dependente, a reta de melhor ajuste teve uma inclinação de 2,28. O que isto significa?

  • AA unidade da inclinação é de 2,28 gols por jogo.
  • BPara cada gol, foram jogados 2,28 jogos.
  • CA unidade da inclinação é de 2,28 jogos por gol.

Q20:

A variável 𝑋 tem uma média de 67,9 com um desvio padrão de 3,1.

A variável 𝑌 tem uma média de 29,3 com um desvio padrão de 1,2.

Dado que o coeficiente de correlação entre 𝑋 e 𝑌 é 0,37, calcule a reta de regressão dos mínimos quadrados de 𝑌 em 𝑋. Arredonde os valores finais para 𝑎 e 𝑏 para 3 casas decimais.

  • A 𝑦 = 2 8 , 9 2 0 + 0 , 8 5 7 𝑥
  • B 𝑦 = 0 , 7 0 4 + 0 , 1 6 0 𝑥
  • C 𝑦 = 3 , 0 2 2 7 + 0 , 3 8 7 𝑥
  • D 𝑦 = 3 5 , 6 1 2 + 0 , 9 5 6 𝑥
  • E 𝑦 = 1 9 , 5 7 5 + 0 , 1 4 3 𝑥

Q21:

Use as informações na tabela para calcular a reta de regressão de mínimos quadrados de 𝑦 em 𝑥. Escreva os valores finais do coeficiente de correlação e constante com precisão de três casas decimais.

𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
1 22 18 396 484 324
2 22 19 418 484 361
3 23 20 460 529 400
4 26 18 468 676 324
5 31 23 713 961 529
6 32 24 768 1‎ ‎024 576
7 34 22 748 1‎ ‎156 484
8 37 25 925 1‎ ‎369 625
9 41 29 1‎ ‎189 1‎ ‎681 841
10 42 27 1‎ ‎134 1‎ ‎764 729
Soma 310 225 7‎ ‎219 10‎ ‎128 5‎ ‎193
  • A 𝑦 = 0 , 2 3 6 𝑥 + 3 , 9 6 5
  • B 𝑦 = 3 , 7 2 5 𝑥 + 6 2 , 4 6 7
  • C 𝑦 = 0 , 4 7 1 𝑥 + 7 , 8 9 8
  • D 𝑦 = 0 , 9 3 9 𝑥 + 1 5 , 7 4 6
  • E 𝑦 = 0 , 2 5 1 𝑥 + 4 , 2 0 9

Q22:

Se 𝑠 e 𝑠 são desvios padrões de 𝑥 e 𝑦, e 𝑟 é o coeficiente de correlação da amostra entre 𝑥 e 𝑦, qual das seguintes opções é o declive de uma regressão linear simples 𝑦=𝛼+𝛽𝑥?

  • A 𝑟 𝑠 𝑠
  • B 𝑟 𝑠 𝑠
  • C 𝑠 𝑠
  • D 𝑟

Q23:

Camila acerta uma bola de golfe. Ela sabe que a altura , da bola de golfe acima do solo é 0 no momento 𝑡=0. Ela suspeita que, posteriormente é uma função quadrática de 𝑡. Se Camila está correta, traçando qual das seguintes opções daria um gráfico linear?

  • A contra 𝑡
  • B 𝑡 contra 𝑡
  • C contra 𝑡
  • D 𝑡 contra 𝑡
  • E contra 𝑡

Q24:

O Rafael recolheu dados acerca da quantidade de fertilizante, 𝑥, que utilizou em cada uma das plantas de tomate e a quantidade que cresceu como resultado disso, 𝑦. Ele suspeita existir uma relação linear entre estas duas variáveis. Se o Rafael estiver certo, qual das seguintes opções representa graficamente uma reta?

  • A 𝑦 em ordem a 𝑥
  • B 𝑦 em ordem a 𝑥
  • C 𝑦 em ordem a 𝑥
  • D l o g 𝑦 em ordem a 𝑥
  • E 𝑦 em ordem a 𝑥

Q25:

Uma jardineira está investigando o efeito que o volume de herbicidas usado (𝑥) tem sobre o número de ervas daninhas (𝑦) no seu jardim. Ela coleta dados e depois ajusta um modelo de regressão linear da forma 𝑦=𝑎+𝑏𝑥 aos dados. Você espera que o coeficiente de regressão 𝑏 seja positivo ou negativo neste contexto?

  • Anegativo
  • Bpositivo

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